初中數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)應(yīng)用題解法研究

丁小玲

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用.本文以二次函數(shù)應(yīng)用題解法研究為主題，探討了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用方法和解題技巧，介紹了二次函數(shù)的基本形式和性質(zhì)，包括二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式、頂點形式和因式分解形式，以及二次函數(shù)的對稱軸、頂點、開口方向等重要概念，總結(jié)了二次函數(shù)應(yīng)用題常見題型以及解法的一般步驟和解題技巧，包括確定問題的關(guān)鍵信息、建立二次函數(shù)模型、求解關(guān)鍵點和解釋結(jié)果等.通過系統(tǒng)的解題方法，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用二次函數(shù)，提高數(shù)學(xué)解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；應(yīng)用題；解題技巧

1 引言

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用.通過研究二次函數(shù)的應(yīng)用題解法，可以更好地理解和掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和特點，進而應(yīng)用于解決實際問題.本文將以初中數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)應(yīng)用題解法為研究對象，探討如何通過建立二次函數(shù)模型、求解方程和分析問題等方法來解決實際問題.通過具體的例子和詳細的解題步驟，幫助學(xué)生理解和掌握二次函數(shù)應(yīng)用題的解題思路和方法.

2 二次函數(shù)應(yīng)用題常用解法

2.1 列出二次函數(shù)表達式

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線y=－x2+bx+c交x軸于另一點C，點D是拋物線的頂點，求此二次函數(shù)的表達式.

解析 為了解決這個問題，我們需要根據(jù)題目中的條件，求出直線y=x+3交x軸于A點的坐標(biāo)，交y軸于B點的坐標(biāo).b、c是常數(shù)，需要求解.

根據(jù)一次函數(shù)y=x+3，可以求出該一次函數(shù)與x軸和y軸的交點，A（-3，0），B（0，3），根據(jù)求出的A（-3，0）和B（0，3），將其代入二次函數(shù)y=－x2+bx+c，可以求出常數(shù)b為-2，常數(shù)c為3，即y=－x2－2x+3.

2.2 利用數(shù)形轉(zhuǎn)換

二次函數(shù)應(yīng)用題常用解法是進行數(shù)形轉(zhuǎn)換.首先，將問題中的條件和要求用數(shù)學(xué)符號表示出來，然后將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式.接著，可以通過求解二次函數(shù)的頂點、判別式等方法來得到問題的解.

例2 中國女排隊員平時刻苦訓(xùn)練，掌握了成熟的技能，在賽場上敢拼敢打，是國民的驕傲，為備戰(zhàn)杭州亞運會，女排隊員克服重重困難，進行封閉集訓(xùn).已知排球場的長度為18m，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m.排球出手后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，排球運動過程中的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x－h(huán)）2+k（a＜0）.若某隊員第一次在0處正上方2m發(fā)球，當(dāng)排球運行至離0的水平距離為6m時，到達最大高度為2.8m.問：這次發(fā)球是否能過網(wǎng)？

解析 首先，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號進行表示：根據(jù)題意可知頂點為（6，2.8）和與y軸的交點（0，2），代入表達式y(tǒng)=a（x－h(huán)）2+k，求出常數(shù)a為－145，常數(shù)h為6，常數(shù)k為2.8.即y=－145（x－6）2+2.8.接下來，可以通過求解二次函數(shù)的點坐標(biāo)來得到排球是否過網(wǎng).

已知球網(wǎng)與球員的距離為9m，即x=9，將其代入二次函數(shù)中，求得y為2.6.因此，排球經(jīng)過球網(wǎng)上方時距離地面的高度為2.6m，而已知球網(wǎng)高度為2.24m，2.6＞2.24代表著球可以過網(wǎng).

通過數(shù)形轉(zhuǎn)換，將二次函數(shù)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)問題，并通過求解二次函數(shù)的頂點來得到問題的解.這種解法可以幫助學(xué)生更好地理解和解決二次函數(shù)應(yīng)用題.

2.3 利用幾何知識

例3 如圖3，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別相交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，其頂點為D.（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）求四邊形ABDC的面積.

解析 我們需要利用已知的A、B、C三點的坐標(biāo)求出該二次函數(shù)，利用該四邊形完全被二次函數(shù)曲線覆蓋來解決求四邊形ABDC面積的問題.

根據(jù)題意可知二次函數(shù)與x軸和y軸的交點分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，3），代入表達式y(tǒng)=ax2+bx+c，可以求出常數(shù)a為-1，常數(shù)b為2，常數(shù)c為3，即y=－x2+2x+3.

由于D點為二次函數(shù)的頂點，將y=－x2+2x+3轉(zhuǎn)換為y=－（x－1）2+4，可知D點的坐標(biāo)為（1，4）.

由于四邊形ABDC的圖形不是規(guī)范的圖形，為求其面積可將四邊形ABDC劃分為其他圖形，由D點向下垂直作一條直線，其與AB的交點為E（1，0）.所以四邊形ABDC的面積為三角形AOC、梯形OCDE以及三角形BDE的面積之和.

即S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE=12×1×3+1×（3+4）2+12×2×4=9.

在解題過程中，我們需要注意二次函數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形之間的關(guān)系，以便能夠正確地求解題目中的問題.同時，也要注意實際問題中的限制條件和影響因素，以確保解題的準(zhǔn)確性和完整性.此外，這道題目也說明了二次函數(shù)和幾何圖形之間的聯(lián)系，提醒我們在學(xué)習(xí)和應(yīng)用二次函數(shù)時，要善于利用幾何知識來解決問題.

利用幾何知識來解決二次函數(shù)應(yīng)用題可以幫助學(xué)生更直觀地理解問題，并且能夠提供簡潔而有效的解決方法.通過將二次函數(shù)的圖像與幾何圖形進行對應(yīng)，可以更好地理解問題的本質(zhì)，并得到準(zhǔn)確的解答.

3 結(jié)語

二次函數(shù)應(yīng)用題解法的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的表達式和解題思路.通過觀察題目中的條件和要求，可以建立二次函數(shù)表達式，并利用函數(shù)的性質(zhì)進行推導(dǎo)和計算.解題過程中需要注意對函數(shù)圖像的分析和理解.通過繪制函數(shù)圖像，可以直觀地了解函數(shù)的特點，如頂點、開口方向等，從而更好地解決問題.此外，解題過程中還需要靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)知識，如平方差公式、配方法等，以便更快地求解問題.解題過程中需要注意思維的靈活性和創(chuàng)造性.有時候，需要通過轉(zhuǎn)化問題、引入輔助變量等方法來簡化問題，從而更好地解決.

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