感知數學符號，深化數學表達

葉妙妙

［摘? 要］ 文章以“用字母表示數”的教學為例，借助“唱不完的兒歌”與“年齡關系”引發(fā)學生的思考與表達，讓學生感知并理解數學符號，培育其數學核心素養(yǎng)。

［關鍵詞］ 符號意識；表達；字母

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出數學抽象能力包括數感、量感與符號意識三類。實踐證明，運用豐富的教學活動引導學生感知數學符號，能發(fā)展學生的抽象思維。重視學生符號意識的發(fā)展和培養(yǎng)，成為越來越多數學教師的共識。規(guī)范學生對數學符號的應用能強化他們的數學表達能力，拔高其數學思維，發(fā)展其數學能力。筆者以“用字母表示數”的教學為例，談談如何從符號意識的角度培養(yǎng)學生的數學表達能力。

一、學情分析：代數表達初探

“用字母表示數”是小學代數知識體系的起點。由于小學生處于抽象思維初步形成的階段，因此對字母（抽象）表達數字（具象）的學習需要有一個知識探索和認知整合的過程。

課前，教師要求學生以舉手的方式回答以下幾個問題：a能否表示數？a+20能否表示數？a+20能否代表數量關系？

表1為學生對這三個問題的認識。

從結論來看，雖然所有學生對字母表示數是認可的，但是也有學生認為數與數量關系并不能用含字母的式子來表示。為了進一步了解學生的想法，教師與持否定態(tài)度的學生進行了交流，他們認為：“a+20”屬于一個式子，要計算完成后才能表示數；同時，算式無法表示數量關系。在問題的引領下，學生的實際認知狀態(tài)完全暴露，即認知停留在用單個字母表示數上，對含字母的式子的本質不夠了解。

二、教學分析與設計：目標導向與認知提升

想要讓學生通過對數學符號的感知來提升表達能力，教師在教學目標的設定上就應明確方向，確定好教學重點與難點，設計出符合真實學情的教學范式?；谇笆鰧W生認知的階段和狀態(tài)，筆者圍繞教學目標，設計循序漸進的教學過程，助力學生的認知螺旋式提升。

1. 設定目標

通過對課標要求、教材內容以及學情的具體剖析，筆者確定了本節(jié)課蘊含培育符號意識、深化數學表達、發(fā)展推理意識等目標。在感知符號深化表達的視角下設定教學目標主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）通過具體情境揭示用字母表示數所蘊含的價值與意義，讓學生感知用字母表示數的重要性、簡捷性與普適性，理解含有字母的式子既可以表示數，又可以表示數量關系；

（2）引導學生親歷“具體—抽象”的過程，用字母或含字母的式子將問題描述出來，深化其符號意識和培養(yǎng)其表達能力；

（3）借助生活與數學的聯(lián)系，引導學生感知本節(jié)課學習的必要性，提升其數學表達能力和發(fā)展其符號意識。

2. 教學實踐

（1）引導學生自主提問，促進自主表達

通過設計師生的討論互動，引導學生自主提出問題：一方面增強學生的探索興趣，提高課堂教學效率；另一方面促使學生自主表達，發(fā)展創(chuàng)新意識。數學知識本就由生活中的一些事物抽象而來，教師根據學生的認知水平設計一個“唱不完的兒歌”情境，不僅能為課堂教學提供生動的素材，而且能促使學生感知生活與數學的聯(lián)系，學會用數學的眼光與思維觀察生活實際，從而提升知識的應用意識。

教學片段1

師：本節(jié)課我們將要探索的知識為“用字母表示數”，當你們看到這個主題時，最想知道的知識是什么？

生1：為什么要用字母表示數？這么做的優(yōu)點與缺點是什么？

生2：該如何用字母來表示數呢？是不是隨便找一個字母都可以？

生3：用字母表示數用在什么地方？

師：很好！提出問題比解決問題更重要，大家在短時間內就提出這么多有價值的問題，值得表揚。

（2）踐行以生為本理念，創(chuàng)設探究場景

學生是課堂的主人，教師要讓學生通過對數學符號的感知發(fā)展語言表達能力，要為學生創(chuàng)造更多參與探究的機會，讓學生在思辨中理解知識的特點，感知用字母表示數的便捷與實際需要。創(chuàng)設探究場景促使學生感知用字母表示數是科學合理的一種方法。由此可以看出，“以生為本”理念下的數學課堂更融洽，也更能提升學生的表達能力。

教學片段2

師：帶著問題，咱們來聽一首兒歌。

教師播放兒歌：1只青蛙4條腿，2只青蛙8條腿……

師：如果從數學的角度來分析這首兒歌，它存在什么特點？

生4：如果一直唱下去，唱不完。

生5：不論有幾只青蛙，腿的數量為青蛙數量的4倍。

師：既然這首兒歌怎么也唱不完，那如何用一句話來描述這首兒歌呢？

生6：100只青蛙的腿有400條。

生7：不論有幾只青蛙，都有青蛙數量4倍的腿。

生8：★只青蛙有“★×4”條腿。

師：這些表達方式帶給你們什么體驗？

生9：我認為用具體的數來描述不方便，生7的表達方法雖然能說清楚青蛙與腿的關系，但文字較多，有點煩瑣。用★代表青蛙的數量，比較清晰，就是畫“★”這個符號需要花點時間。

師：思路很清晰，有沒有更便捷的方法來表示青蛙與青蛙腿的數量？

生10：可以借助字母來表示，比如a只青蛙，b條青蛙腿。

生11：可以用一個字母表示，比如a只青蛙，a×4條青蛙腿。

師：這兩位同學借助了字母來表示數，究竟用哪種方式更科學呢？

生12：第一種表達方式應用了兩個字母來表示兩個不同的數，我們無法從這兩個字母中發(fā)現(xiàn)青蛙數量與腿數量的關系，因此這種方式不合理。

生13：第二種表達方式將青蛙與腿的數量關系描述清楚了，它明確了腿的數量為青蛙數量的4倍。

師：對于式子“a×4”，大家有沒有什么疑問？

生14：a×4為一個算式，那么它的結論究竟是多少呢？

生15：a×4就是一個算式，可以用它來表示青蛙腿的數量嗎？因為青蛙腿的數量為一個數。

師：針對以上兩個問題，誰來解釋一下？

生16：a×4的結論究竟是多少，要看a的值，若a=1，a×4=1×4=4；若a=2，a×4=2×4=8；若a=100，a×4=100×4=400……在a不確定的情況下，結論也不確定，但式子a×4確實可以表示數。

（3）具象抽象思維轉換，深化概念理解

問題能激發(fā)學生的潛能，讓學生充分發(fā)散思維，聯(lián)系生活實際說一些可用a×4表達的內容。這不僅為學生提供了表達的機會，更是培育學生發(fā)散思維與創(chuàng)新意識的過程。學生感知由具體到抽象，再從抽象到具體的思路歷程，深化了對數學符號的理解。

教學片段3

師：通過以上探索，大家都知道a×4可以表示數，除此之外，它還能表示什么呢？

生17：還能代表數量關系，因為a×4中的a不論是多少，都代表了它的結論為a的4倍。

師：數學家華羅庚認為數形結合是探索數學問題的重要方法，因為數缺形時少直觀。如圖1，若字母a代表了一個數，我們可借助一條線段來表示該數，在此基礎上用另一條線段來描述a×4。由此，說一說你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生18：a的長短決定了a×4的長短，只要明確了a是多少，a×4就明確了。

生19：我發(fā)現(xiàn)a不論是多少，a×4恒定為a的4倍，這是一個不變的數量關系。

師：結合我們的生活實際，想一想a×4除了能表示兒歌中青蛙腿的數量，還能表示什么？

生20：比如每輛汽車都有4只輪子，那么a輛小汽車的輪子數量是多少呢？

生21：若a為正方形的邊長，那么正方形的周長就是a×4。

生22：若練習本的價格為a，a×4則代表了4冊練習本的價格。

師：非常好！實際生活中有很多情況可借助a×4這個式子來描述，大家所提出的生活現(xiàn)象存在什么共性的東西嗎？

生23：雖然a×4所表達的具體內容不一樣，但是其中的數量關系卻一樣——均為4倍關系。

（4）多維度拓展練習，鞏固抽象認知

數學是一門探索事物間數量關系與空間形式的學科，講究簡潔的數學美。教師要鼓勵學生自主分析不同式子是否可以簡寫，促使其進一步感知數學簡潔美的重要性，這對提升學生的思維能力與理性精神具有重要意義。

教學片段4

師：在書寫含有字母的式子時，請同學們記住字母與字母之間、字母與數之間的乘號都可以用“·”替代或省略不寫，數一般寫在字母的前面，比如a×4可用4a或4·a來表示。現(xiàn)在請大家分析，a×b、a×a、m×3、p+4可否簡寫？該怎么寫？

學生一致提出：a×b可簡寫為ab，a×a寫作a2，m×3簡寫為3m，p+4屬于加法運算，不可以簡寫，含有字母的乘法式子才可省略運算符號。

（5）運用常見模型，引導數學表達

年齡是學生熟悉的素材，以此作為教學資源可增強學生的表達欲。關于年齡的數量關系屬于常用的數學模型，不論在哪一年，兩個人的年齡差是恒定不變的。以此作為教學素材，可進一步提升學生的數學符號意識，發(fā)展學生的數學表達能力，為培育學生的數學核心素養(yǎng)奠定基礎。

教學片段5

師：吳麗與李強在聊天，李強說他今年9歲，吳麗表示自己比李強大2歲。聰明的你，能否用字母來描述今后任何一年吳麗的年齡？

生24：李強9歲時吳麗的年齡為9+2；李強10歲時，吳麗的年齡為10+2；若李強的年齡為a，那么吳麗的年齡就是a+2。

師：李強14歲時，吳麗幾歲？李強43歲時，吳麗的年齡是多少？

生24：根據a+2可知李強14歲時，吳麗的年齡是16歲；李強在43歲時，吳麗的年齡為45歲。

（6）引入數形結合，助力理解符號

線段圖的應用可將數量關系直觀地展示給學生，讓學生進一步理解數量關系與式子的實際內涵。隨著對線段圖的觀察與分析，學生在充分感知與理解符號的基礎上，能夠理解量之間“變”與“不變”的關系。

教學片段6

師：在這個年齡關系中，a的值有沒有可能為230？由此讓你想到什么？

生25：不能，因為人很難活到那個年齡。因此用字母表示數時，還要考慮實際情況，只有符合邏輯的表達方法才準確。因此，在必要時要給字母限定范圍。

師：現(xiàn)在我們借助線段圖來感知兩名學生的年齡，用一條可伸縮的線段代表a，不論a的長短是多少，均在這個數上“＋2”，進一步確認年齡差恒定不變的規(guī)律。

（7）暢談收獲感悟，深化數學表達

課堂總結是一節(jié)課的重要組成部分。數學的本質就是引導學生在真實的情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題，這是發(fā)展學生“四基與四能”的基礎，是培養(yǎng)學生數感和深化表達能力的關鍵。

教學片段7

師：若吳麗的年齡用字母b來表示，那么兩個人之間的年齡數量關系該如何表示？

生26：根據情境條件可知吳麗比李強大2歲，反之則為李強比吳麗小2歲，由此可確定李強的年齡為b-2。

師：咱們一起探索了用字母或含有字母的式子來表示數的問題，這種表示方法具有什么優(yōu)點？

對于這個問題，學生的回答比較豐富，主要有如下幾類：這樣表示更簡捷；用字母表示數不僅能清楚揭示數的意義，還能將數和數間的關系展示出來；一個明確的數只能描述一種情況，而字母可以表示一類數，范圍更廣……

師：既然用字母表示數存在那么多優(yōu)點，是不是就不需要阿拉伯數字了？

答案是否定的，在明確知道具體的數時，還是用明確的數來表示；若描述未知數或一類數，則需要借助字母來表示。因此，字母與阿拉伯數字缺一不可。

師：現(xiàn)在請大家回顧本節(jié)課所學內容，說一說你們的收獲與感悟，關于課堂伊始所提出的問題有沒有得到解決？通過學習，你們還有什么疑惑嗎？

三、教學評價：經由反建構的數學場景表達

縱觀本節(jié)課，學生在課堂伊始自主提出問題，隨著教學活動的開展分析并解決了問題。這種教學方式充分體現(xiàn)了學生數學邏輯思維螺旋式上升的過程，促進學生在知識建構和反建構中帶著新問題走出課堂，為后續(xù)學習奠定基礎。本節(jié)課體現(xiàn)了數學教學的階段性特征以及學生語言表達能力線性發(fā)展的過程，為后續(xù)研究其他問題奠定了基礎。

下課前，筆者又一次展示了課堂伊始的問題，此時，學生基本能夠準確得出結論，且明白其原理與意義。由此可以看出學生對字母表示數的理解比較到位。

總之，符號意識是小學數學核心素養(yǎng)之一。教師應努力發(fā)展學生的數學符號意識，深化其數學表達能力，提升其數學核心素養(yǎng)。