HARA效用下考慮DC養(yǎng)老金帶有死亡和傷殘返還條款的最優(yōu)投資問題

楊銘 夏登峰 徐文靜 韓雪偉

摘要：考慮了一個帶有死亡和傷殘返還的DC型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資問題。以終端財富期望效用最大化為目標，利用動態(tài)規(guī)劃原理建立相應的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，在雙曲絕對風險厭惡（HARA）效用函數(shù)下得到最優(yōu)解，通過數(shù)值模擬分析重要參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響。

關鍵詞：DC型養(yǎng)老金模型；死亡返還；傷殘返還；HARA效用；HJB方程

中圖分類號：F830.59文獻標志碼：A文章編號：1001-2443（2024）02-0112-06

引言

當前，人口老齡化問題影響著社會保障體系的可持續(xù)性，凸顯了養(yǎng)老管理的重要性。 固定繳款（Defined Contribution， DC）養(yǎng)老金計劃是養(yǎng)老金計劃的主要類型之一，與固定收益（Defined Benefit， DB）養(yǎng)老金計劃相比，DC養(yǎng)老金計劃在減輕壓力方面具有明顯的優(yōu)勢，它將經(jīng)濟和壽命風險從發(fā)起人轉移到退休人員身上。 在DC養(yǎng)老金計劃中，成員持續(xù)向養(yǎng)老基金繳納預定數(shù)額的錢或其工資的固定比例，并根據(jù)基金投資組合的回報，在退休時領取福利。

Vigna和Haberman［1］ 開創(chuàng)性的提出了離散養(yǎng)老金，隨著時間推移讓投資經(jīng)理找到每年的最優(yōu)投資策略；Thomson［2］ 研究了期望效用最大化理論，并且首次采用連續(xù)時間隨機動態(tài)規(guī)劃方法獲得到了養(yǎng)老金參與者退休前的最優(yōu)投資策略；Devolder等［3］ 在Asset-Liability-Management（ALM）約束下求得最優(yōu)投資策略；Deelstra等［4］ 基于Cox-Ingersoll-Rossmodel（CIR）利率引入最低保障，得到終端財富必須大于最低保障的最優(yōu)投資策略； Gerrard等［5］ 應用隨機最優(yōu)控制研究了養(yǎng)老金參與者定期定量提取金額的最優(yōu)投資策略；Xiao等［6］ 巧妙地利用勒讓德變換和對偶理論，找到了DC養(yǎng)老計劃最優(yōu)策略的顯性解；Shao等［7］ 研究了在混合隨機波動模型下考慮通貨膨脹風險和隨機工資的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略。

另外在效用函數(shù)理論研究中，Boulier等［8］ 在常系數(shù)相對風險厭惡（CRRA）冪效用函數(shù)下探析了擔保福利在隨機利率下的最優(yōu)管理問題；Cairns等［9］ 在冪效用函數(shù)下對比了不可對沖的工資風險的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略；李春麗和蔡玉杰［10］ 在對數(shù)效用函數(shù)下研究了資產(chǎn)組合的最優(yōu)長期投資和最優(yōu)消費問題；Gao［11］ 在常系數(shù)絕對風險厭惡（CARA）指數(shù)效用函數(shù)下采用了擴展的幾何布朗運動的恒定方差彈性（CEV）模型研究了DC型養(yǎng)老的最優(yōu)投資組合問題；常浩等［12］ 將最優(yōu)控制理論與勒讓德變換－對偶理論相結合得到了最具代表性的HARA效用下的DC養(yǎng)老金的投資方案；馬娟［13］ 在股票價格服從Heston隨機波動率模型下研究了帶有HARA效用函數(shù)的資產(chǎn)負債管理問題。

同時在實際研究過程中我們發(fā)現(xiàn)，當涉及到養(yǎng)老金計劃的設計時，死亡率是一個至關重要的參數(shù)，具有極強的現(xiàn)實意義，于是不少的DC養(yǎng)老金計劃都為此設計保費返還條款，以此來保護退休前發(fā)生意外的成員的權益。 在這類保費返還條款中，死亡的成員可以按照預先簽訂的合同以約定好的金額返還保費，這之間產(chǎn)生的差額將在幸存的成員中均額分配。因此，基金規(guī)模的變化不僅會受到金融市場的影響，還受到參保成員死亡風險的影響。 據(jù)我們所知，He和Liang［14］ 首先將保費返還條款引入到DC養(yǎng)老金計劃的資產(chǎn)配置中；Li等［15］ 考慮了具有違約風險的恒定方差彈性（CEV）模型中的保費返還條款；在多期框架下，Bian等［15］ 討論了保費返還條款和DC養(yǎng)老金計劃中的制度和轉換現(xiàn)象的影響；陳佳辰等［17］ 首次在帶有保費返還條款的DC養(yǎng)老金中考慮投保人傷殘意外情形。

本文在王遠野等［18］ 研究結果的基礎上，引入投保人意外傷殘情形，為了保障這類投保人的權益，應當給予意外返還。在HARA效用函數(shù)下，得到投保人發(fā)生死亡和傷殘情形下帶有保費返還的最優(yōu)投資策略，最后通過數(shù)值模擬分析重要參數(shù)對該最優(yōu)策略的影響。

1 建立模型

設定[（Ω，?，?tt≥0P）]是一個完備概率空間，[?t]為市場上截止到時刻[t]的信息流，所有隨機過程均為[{?t，t∈[0，T]}]適應的。市場上有一種風險資產(chǎn)（股票）和另外一種無風險資產(chǎn)（債券）兩種資產(chǎn)被基金管理者選擇。

無風險資產(chǎn)[S0]在[t]時刻的價格過程為

其中，[r（t）]是在[t]時刻的市場無風險利率。

風險資產(chǎn)被定義為[S1]，[t]時刻的價格過程服從幾何布朗運動

在DC型養(yǎng)老金模型中，設在積累階段養(yǎng)老基金的持有者單位時間內繳納的保費為[L]，初始時刻為[ω0]，終止時刻[ω0+T]。在這個時間段[[0，T]]內，管理者為了使得基金財富值增加，會以投資比例分別為[π（t）]和[1-π（t）]投資在股票和債券上獲取收益?；鸪钟姓咴谕诵輹r領取福利，為了保障在累積階段發(fā)生死亡以及未死亡但存在傷殘情形的基金持有者的權益，本文將保費返還引入養(yǎng)老金計劃。死亡的投保人可以獲得合同上約定的賠償，同理，當被保險人發(fā)生身體傷殘事故時，也可以獲得一定的賠償。假定[M]是合同約定的死亡賠償，[Δtqω0+t]表示年齡為[ω0+t]的人在時間段[[ω0+t，ω0+t+Δt]]內死亡的概率。當基金持有者死亡，基金賠付值與積累值的差額將在存活基金持有者賬戶進行平均分配。意外傷殘賠付，由一個復合泊松過程進行刻畫，此時投保人沒有死亡，賠付后的差額將不會在存活的基金持有者賬戶上進行分配。

2 HJB方程和最優(yōu)投資策略

3 數(shù)值分析

本節(jié)進行數(shù)值模擬分析，分析重要參數(shù)對于最優(yōu)決策的影響。本文參數(shù)設定參考陳佳辰等［17］ 和王遠野等［18］ 研究結果的數(shù)值設置，本文的參數(shù)設置如下表。

4 總結和展望

本文考慮了一個帶有返還條款的DC型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資問題，保障了發(fā)生死亡和傷殘情形基金持有者的權益。通過數(shù)值模擬分析了重要參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響，結果表明模型參數(shù)對投資策略的影響符合實際市場，具有一定的經(jīng)濟意義。鑒于通脹對經(jīng)濟影響較大，本文將進一步研究，考慮通貨膨脹對最優(yōu)投資策略的影響。

參考文獻

［1］ VIGNA E， HABERMAN S. Optimal investment strategy for defined contribution pension schemes［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2001， 28（2）： 233-262.

［2］ THOMSON R J. The use of utility functions for investment channel choice in defined contribution retirement funds. I： Defence［J］. British Actuarial Journal， 2003， 9（3）： 653-709.

［3］ DEVOLDER P， PRINCEP M B， FABIAN I D. Stochastic optimal control of annuity contracts［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2003， 33（2）： 227-238.

［4］ DEELSTRA G， GRASSELLI M， KOEHL P F. Optimal investment strategies in the presence of a minimum guarantee［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2003， 33（1）： 189-207.

［5］ GERRARD R， HABERMAN S， VIGNA E. Optimal investment choices post-retirement in a defined contribution pension scheme［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2004， 35（2）： 321-342.

［6］ XIAO J， HONG Z， QIN C. The constant elasticity of variance （CEV） model and the Legendre transform–dual solution for annuity contracts［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2007， 40（2）： 302-310.

［7］ SHAO Y， XIA D， FEI W. Optimal investment strategy for DC pension plan with inflation risk under the hybrid stochastic volatility model［J］. Systems Science and Control Engineering， 2023， 11： 1.

［8］ BOULIER J F， HUANG S J， TAILLARD G. Optimal management under stochastic interest rates： The case of a protected defined contribution pension fund［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2001， 28（2）： 173-189.

［9］ CAIRNS A J G， BLAKE D， DOWD K. Stochastic lifestyling： Optimal dynamic asset allocation for defined contribution pension plans［J］. Journal of Economic Dynamics and Control， 2006， 30（5）： 843-877.

［10］ 李春麗， 蔡玉杰. CIR利率模型中基于對數(shù)效用的投資組合最優(yōu)化問題（英文）［J］. 數(shù)學雜志， 2015（6）： 1297-1306.

［11］ GAO J. Optimal portfolios for DC pension plans under a CEV model［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（3）： 479-490.

［12］ 常浩， 王春峰， 房振明. 通脹風險下基于HARA效用的DC型養(yǎng)老金計劃［J］. 運籌學學報， 2016， 20（4）： 39-51.

［13］ 馬娟. HESTON模型下資產(chǎn)負債管理問題的研究［D］. 天津：天津工業(yè)大學， 2017.

［14］ HE L， LIANG Z. Optimal investment strategy for the DC plan with the return of premiums clauses in a mean–variance framework［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2013， 53（3）： 643-649.

［15］ LI D， RONG X， ZHAO H， et al. Equilibrium investment strategy for DC pension plan with default risk and return of premiums clauses under CEV model［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2017， 72： 6-20.

［16］ BIAN L， LI Z， YAO H. Pre-commitment and equilibrium investment strategies for the DC pension plan with regime switching and a return of premiums clause［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2018， 81： 78-94.

［17］ 陳佳辰， 榮喜民， 趙慧. 帶有死亡和意外返還條款的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題［J］. 工程數(shù)學學報， 2021，37（6）： 651-663.

［18］ 王遠野， 樊順厚， 常浩. HARA效用下帶保費返還條款的DC型養(yǎng)老金計劃［J］. 哈爾濱商業(yè)大學學報（自然科學版）， 2018， 34（1）： 117-123.

Optimal Investment Problem for DC Pension Plan with the Death and Disability Return Clause under HARA Utility

YANG Ming， XIA Deng-feng， XU Wen-jing， HAN Xue-wei

（School of Mathematics-Physics and Finance， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China）

Abstract： This paper considers the optimal investment problem of a DC pension plan with death and disability returns. Taking the utility maximization problem of terminal wealth expectation as the goal， the corresponding Hamilton Jacobi Bellman （HJB） equation is established by using the principle of dynamic programming. The optimal solution is obtained under the Hyperbolic Absolute Risk Aversion （HARA） utility function， and the impact of important parameters on the optimal investment strategy is analyzed through numerical simulation.

Key words： DC pension model; death return; disability return; HARA utility; HJB equation

（責任編輯：馬乃玉）