一類含絕對值不等式問題的統(tǒng)一解法

劉榮軍

基金項目：麗水市教育科學(xué)規(guī)劃2023年度規(guī)劃課題（2023SY191）的研究成果.

含絕對值不等式最值問題作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有“入口寬、方法活、能力強”的特點.在數(shù)學(xué)高考中常涉及二次、三次函數(shù)與含絕對值不等式相結(jié)合的試題，這對學(xué)生運用化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的要求較高.在解決此類問題的過程中能夠提高學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，對提升學(xué)生思維能力也大有裨益.本文通過高觀點視域下的基于切比雪夫多項式的模型構(gòu)建，探究含絕對值不等式最值問題的的統(tǒng)一解法，供大家參考.

一、定義與定理

定義（蘇教版數(shù)學(xué)必修第二冊第79頁第19題）由二倍角公式cos2θ=2cos2θ－1，將等式右邊的cosθ換成x，則可以得到二次多項式T2（x）=2x2－1，三倍角公式cos3θ=4cos3θ－3cosθ，將等式右邊的cosθ換成x，則可以得到三次多項式T3（x）=4x3－3x，….一般地，存在一個n（n∈N）次多項式Tn（t）=a0+a0t+a2t2+…+antn（a0，a1，a2，…，an∈R）使得cosnx=Tn（cosx），對于這樣的多項式Tn（t）稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項式.下面證明存在一個n（n∈N）次多項式使得cosnx=Tn（cosx）.

證明：（數(shù)學(xué)歸納法）①當n=1時，cos1·θ=cosθ，即T1（x）=x，當n=2時，cos2θ=2cos2θ－1，即T2（x）=2x2－1.

②當n=k，n=k+1時，假設(shè)成立，存在一個k次和k+1次多項式Tk（x），Tk+1（x），使得cos（kθ）=Tk（cosθ），cos（k+1）θ=Tk+1（cosθ），則當n=k+2時，由于

cos（kθ）=cos［（k+1）θ－θ］=cos［（k+1）θ］cosθ+sin［（k+1）θ］sinθ（1），

cos［（k+2）θ］=cos［（k+1）θ+θ］=cos［（k+1）θ］cosθ－sin［（k+1）θ］sinθ（2），

（1）、（2）式相加可得cos［（k+2）θ］=2cos［（k+1）θ］cosθ－cos（kθ）=2Tk+1（cosθ）cosθ－Tk（cosθ）.綜上所述存在一個n次多項式Tn（x），且n次項系數(shù)為2n－1，使cosnθ=Tn（cosθ）成立.

對于n次的切比雪夫多項式，筆者通過進一步探究，得到了下面的結(jié)論：

定理1? 如果對于切比雪夫多項式Tn（x），當x≤1時，那么Tn（x）≤1，且最值在x=coskπn時取到.

證明：由定義可知Tn（cosθ）=cos（nθ），則令x=cosθ∈［－1，1］，Tn（x）=Tn（cosθ）=cos（nθ），cos（nθ）≤1，且在x=coskπn（k為偶數(shù)）取到1，在x=coskπn（k為奇數(shù)）取到-1.

定理2? 如果對于最高項系數(shù)為1的n次多項式f（x），那么maxx∈［－1，1］f（x）≥12n－1.

證明：（反證法）設(shè)f（x）=xn+an－1xn－1+…+a0，假設(shè)maxx∈［－1，1］f（x）<12n－1.構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）－Tn（x）2n－1，由定理1，取x=cos（kπn），k∈［0，n］，則g（1）=f（1）－12n－1<0，g（cosπn）=f（cosπn）+12n－1>0，g（cos2πn）=f（cos2πn）－12n－1<0，…，由零點存在性定理可知，g（x）在（cos（k－1）πn，coskπn）上至少存在一根，故g（x）至少有n個根，但g（x）=f（x）－Tn（x）2n－1為n－1次多項式，矛盾，即假設(shè)不成立.即maxx∈［－1，1］f（x）≥12n－1.當f（x）=12n－1Tn（x），且在x=cos（kπn）時，取到min{maxx∈［－1，1］f（x）}=12n－1.

特別地，當f（x）=12n－1Tn（x），且在x=cos（kπn）時，取到min{maxx∈［－1，1］f（x）}=12n－1.

對于特殊函數(shù)與絕對值結(jié)合的問題，作為定理2的特例很容易得到以下定理3和推論.

定理3? 如果f（x）=x2+ax+b（p≤x≤q），則令x′=mx+n，滿足mp+n=－1，mq+n=1，即m=2p－q，n=－p+qp－q，x=（p－q）x′+（p+q）2，f（x′）=（p－q）222x'2+a′x′+b′，由定理2可得，maxx∈［p，q］f（x）=M≥（p－q）222·12，且最值在x=p，p+q2，p時取到.

推論? 更一般的，當f（x）=|xn+an－1xn－1+…+a0|（p≤x≤q），令x′=mx+n可得，f（x′） = （p-q）n2nx'n + an-1 ′x′n-1 + a0 ′，y = |x′n + an-1 ′x′n-1 + a0 ′|在［－1，1］上最大值的最小值為12n－1，由定理2可得maxx∈［p，q］f（x）=M≥（p－q）n2n·12n－1=（p－q）n22n－1.

二、應(yīng)用舉例

例1? 函數(shù)f（x）=x2+ax+b（－1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對于任意a，b恒成立，求k的最小值.

解：由定理2可知k的最小值取到12，由二次型切比雪夫多項式取等條件代入M≥f（0），M≥f（1），M≥f（－1），可得M≥b，M≥1+a+b，M≥1－a+b，4M≥2b+1+a+b+1－a+b≥1+a+b－b+1－a+b－b≥1+a+1－a=2，當且僅當－f（0）=f（1）=f（－1）=12，即b=－12，a=0，f（x）=x2－12時取到.

變式1? 函數(shù)f（x）=x2+ax+b（1≤x≤5）的最大值為M，若M≥k對于任意a，b恒成立，求k的最小值.

解：由定理3，代入f（1）≤M，f（3）≤M，f（5）≤M，可得M≥1+a+b，M≥25+5a+b，M≥9+3a+b，8+2a≤1+a+b+9+3a+b≤2M，16+2a≤25+5a+b+9+3a+b≤2M，所以8≤8+2a+16+2a≤4M，M≥2，當且僅當f（1）=f（5）=－f（3）=2，即a=－6，b=7時成立.

變式2? （2023年寧波市高考數(shù)學(xué)一模試題）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，若不等式f（x）≤2在x∈1，5上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對a，b有（??? ）.

A.0個? B.1個? C.2個? D.無數(shù)個

解：由變式1可知，［f（x）max］min=2，所以滿足要求的有序數(shù)對a，b只有1個.故選B.

評析：三個題目雖問法有所改變，但問題的本質(zhì)不變，都是二次型切比雪夫多項式，根據(jù)相關(guān)定理，可找出關(guān)鍵點：端點及中點的函數(shù)值，進而利用絕對值三角不等式求相關(guān)量的范圍.在高觀點視角下解題，解題思路和過程顯得更為自然.

例2? 已知定義在［－1，1］上的函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d，對于任意b，c，d，求f（x）的最大值的最小值m.

解法1：設(shè)f（x）的最大值為M，分別將x=－1，－12，12，1代入，可得，1+b+c+d≤M，18+b4+c2+d≤M，－18+b4－c2+d≤M，－1+b－c+d≤M，可得M≥14.

當b=1，c=－34，d=0時取到.

解法2：由推論可直接得m=［1－（－1）］322×3－1=14.

評析：解題的關(guān)鍵在于能否看清題目背后的本質(zhì)，對于三次函數(shù)與絕對值結(jié)合問題，分類或數(shù)形結(jié)合對學(xué)生來說“入手難”，但通過三次型切比雪夫多項式模型，可以明白問題本質(zhì)，利用定理2可以快速找到關(guān)鍵點，利用推論可以快速計算m，提高解題速度和正確性.

例3? 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），當x∈［0，1］，f′（x）≤1，求a的最大值.

解法1：f′（x）=3ax2+2bx+c，f′（0）=c，f′（12）=34a+b+c，f′（1）=3a+2b+c，3a≤2f′（0）+2f′（1）－4f′（12）≤2f′（0）+2f′（1）+4f′（12）≤8，可得a的最大值為83.考慮等號成立條件，可知當f′（0）=f′（1）=－f′（12）即a=83，b=－4，c=1，d=0取等，檢驗此時滿足題設(shè).

解法2：由推論可得maxx∈［0，1］f′（x）≥3a8，可得a的最大值為83，檢驗此時滿足題設(shè).

評析：解法1利用定理3求解，對于定義域不在［－1，1］的問題，解題過程如下：

第一步定義域變換——將定義域轉(zhuǎn)化到x′∈［－1，1］，轉(zhuǎn)換為切比雪夫多項式模型；第二步代值——代入x′=cos（kπn）對應(yīng)的x的函數(shù)值，利用絕對值三角不等式消元；第三步檢驗——最值條件是否成立，或利用推論求得min{maxx∈［p，q］f（x）}.

總之，絕對值和函數(shù)結(jié)合是學(xué)生解題的難點，結(jié)合圖像對參數(shù)進行分類討論難度較大，基于切比雪夫多項式的模型來探究含絕對值不等式問題的統(tǒng)一解法，能夠形成一般性解題流程.這樣有助于學(xué)生揭示問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從本源上處理摸清題目的來龍去脈，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的思維能力.