奇思妙想巧思維，三角換元妙突破

馮麗娟

所謂三角換元法，就是將題設(shè)中相應(yīng)的代數(shù)式變換成三角表達式，借助三角函數(shù)知識來分析與解決問題的一種基本解題方法．三角換元法的解題關(guān)鍵，就是根據(jù)題設(shè)條件中的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)系起三角函數(shù)知識，巧妙選擇對應(yīng)的合適的三角函數(shù)或三角函數(shù)式去代數(shù)相應(yīng)代數(shù)式中的變數(shù)，進而深入研究與探討，從而得以有效解決數(shù)學問題．

1．方程問題中的三角換元法

在一些方程問題中，特別是方程中的條件或所求結(jié)論等含有特殊的結(jié)構(gòu)特征（特別是平方關(guān)系）時，?？刹捎萌菗Q元法思維切入來分析與求解．

例1? （2024屆遼寧省實驗中學月考16）已知a2+2ab－b2=1，則a2+b2的最小值為．

解析：設(shè)a2+b2=t2，t>0，則有a=tcosα，b=tsinα，α∈［0，2π），代入a2+2ab－b2=1，有t2cos2α+2t2sinαcosα－t2sin2α=1，整理可得t2=1cos2α+2sinαcosα-sin2α=1cosα+sin2α=12sin（2α+π4）≥12=22，當且僅當sin（2α+π4）=1，即α=π8時等號成立，此時t2取得最小值為22，即a2+b2的最小值為22．

評注：題設(shè)條件中涉及a2+b2=1形式或結(jié)論中與a2+b2等結(jié)構(gòu)特征有關(guān)的代數(shù)問題時，往往可以合理聯(lián)想三角函數(shù)中的平方關(guān)系sin2α+cos2α=1，巧妙利用三角換元法思維，將代數(shù)式問題轉(zhuǎn)化對應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式問題，借助三角函數(shù)的知識來分析與求解．

2．函數(shù)問題中的三角換元法

在一些函數(shù)問題中，結(jié)合函數(shù)的解析式等所包含特殊的結(jié)構(gòu)特征時，契合三角函數(shù)中的平方關(guān)系、三角恒等變換公式的結(jié)構(gòu)形式等時，經(jīng)常可以巧妙轉(zhuǎn)化，采用三角換元法思維切入來分析與求解．

例2? 函數(shù)f（x）=x+1-x的值域為．

解析：依題知函數(shù)f（x）=x+1-x的定義域為{x|0≤x≤1}，根據(jù)（x）2+（1-x）2=1，通過三角換元有x=cosθ，1-x=sinθ，其中θ∈［0，π2］，所以函數(shù)f（x）=x+1-x=cosθ+sinθ=2sin（θ+π4），由于θ∈［0，π2］，則有θ+π4∈［π4，3π4］，可得f（x）=2sin（θ+π4）∈［1，2］.

評注：在解決此類涉及兩個根式之和的函數(shù)的值域問題時，合理觀察函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，與三角函數(shù)中的相關(guān)公式等加以對比與聯(lián)系，借助三角換元法引入三角函數(shù)，巧妙將比較復雜且難解決的函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，進而結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識來分析與解決，思維巧妙，方便簡捷．

3．數(shù)列問題中的三角換元法

在一些數(shù)列問題中，利用數(shù)列的遞推關(guān)系式等所具有的特殊結(jié)構(gòu)形式，或直接分析，或變形處理，類比并聯(lián)想到三角恒等變換公式的形式，特別是二倍角的余弦公式等，可以通過知識遷移，采用三角換元法思維切入來分析與求解．

例3? 已知正項數(shù)列{an}中，a1=2，an+12=2an1+an．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）證明：不等式a1a2a3…an<π2恒成立．

解析：（1）由an+12=2an1+an恒等變形可得2an+12－1=1an，設(shè)an=1cosθn（其中θn∈（0，π2）），則2cos2θn+1－1=cosθn，

利用二倍角公式有cos2θn+1=cosθn，又由θn∈（0，π2）可得θn+1=12θn，而cosθ1=1a1=22，解得θ1=π4，所以θn=π4×（12）n－1=π2n+1，所以an=1cosθn=1cosπ2n+1.

（2）由（1）可知an=1cosπ2n+1，所以a1a2a3…an=1cosπ22cosπ23cosπ24…cosπ2n+1=2nsin=π2π+1

2nsinπ2π+1×cos

π22cosπ23cosπ24…cosπ2n+1

=2nsinπ2n+1sinπ2=2n·sinπ2n+1=π2·sinπ2n+1π2n+1，而當x>0時，恒有sinxx<1成立，則有π2·sinπ2n+1π2n+1<π2，所以不等式a1a2a3…an<π2恒成立．

評注：解決此類數(shù)列遞推關(guān)系式問題，不屬于常規(guī)且比較熟悉的類型，無法借助常規(guī)思維來分析與處理．而通過數(shù)列遞推關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，合理與三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以聯(lián)系，進而借助三角換元法思維，引入三角思維，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化并過渡到三角函數(shù)問題中去，借助公式合理化簡、巧妙降冪等處理，再利用三角函數(shù)的知識來分析與轉(zhuǎn)化，得以巧妙解決相應(yīng)的數(shù)列問題．

4．不等式問題中的三角換元法

在一些不等式的求解、判定與證明等問題中，特別是一些根式不等式、分式不等式等，通過不等自身所具備的特殊結(jié)構(gòu)形式，合理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的平方關(guān)系或三角恒等變換公式形式等，利用恒等變形，采用三角換元法思維切入來分析與求解．

例4? 解不等式：4-x2

解析：依題知4－x2≥0，即|x|≤2，三角換元可設(shè)x=2sinθ（其中θ∈［－π2，π2］），代入原不等式，可得2cosθ<4sin2θ－2sinθ－2，移項變形可得（sinθ+cosθ）+（1－2sin2θ）<0，結(jié)合三角公式可得2sin（θ+π4）+cos2θ<0，即2sin（θ+π4）+sin（2θ+π2）<0，整理可得2sin（θ+π4）［1+2cos（θ+π4）］<0，而θ∈［－π2，π2］，可知1+2cos（θ+π4）≥0，則有sin（θ+π4）<0，結(jié)合θ∈［－π2，π2］，解得－π2≤θ<－π4，則有－2≤2sinθ<－2，即－2≤x<－2，所以原不等式的解集為{x|－2≤x<－2}．

評注：在解決一些含有根式、分式以及具有三角函數(shù)特征的不等式求解問題，借助三角換元法，使得對應(yīng)的不等式更加簡捷，更加方便分析與求解．三角換元的根本目的就是合理升、降冪或去分母等處理，將不等式的求解問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，從而得以巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

例5? （多選題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（? ）.

A．a(chǎn)2+b2≥12??? ?B．2a－b>12C．log2a+log2b≥－2? D．a(chǎn)+b≤2

解析：依題a>0，b>0，且a+b=1，三角換元可設(shè)a=cos2θ，b=sin2θ，θ∈（0，π2），對于A，由于a2+b2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2cos2θsin2θ=1－12sin22θ≥1－12=12，當且僅當sin22θ=1，即θ=π4，亦即a=b=12時等號成立，故A正確；對于B，由于2a－b=2cos2θ-sin2θ=2cos2θ>2－1=12，故B正確；對于C，log2a+log2b=log2ab=log2（cos2θsin2θ）=log2（14sin22θ）≤log214=－2，當且僅當sin22θ=1，即θ=π4，亦即a=b=12時等號成立，故C不正確；對于D，因為a+b=cosθ+sinθ=2sin（θ+π4）≤2，當且僅當sin（θ+π4）=1，即θ=π4，亦即a=b=12時等號成立，故D正確.綜上知選ABD．

評注：基于題設(shè)條件場景下進行三角換元法處理，而對于不等式的判定問題，都可以將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識來分析與處理，目標更加明確，處理起來更加方便快捷．在具體判斷不等式問題時，往往離不開不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用等，同時也要注意三角換元法思維下三角函數(shù)相關(guān)知識，特別是三角函數(shù)有界性的應(yīng)用等．

通過以上幾例可見，借助三角換元法，在解決一些函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式等非三角函數(shù)問題時，深刻挖掘問題的內(nèi)涵與本質(zhì)，巧妙通過三角換元處理，利用三角函數(shù)的基本知識，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，特別是三角函數(shù)的有界性等，是解決對應(yīng)問題的一種“巧技妙法”，對一些問題的解決有著非常驚人的效益．三角換元法思維應(yīng)用的關(guān)鍵在于抓住問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，有效發(fā)展學生的認知力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力，全面提升數(shù)學解題能力與核心素養(yǎng)．