一道雙曲線聯(lián)考題的解法、背景探究與推廣

行凱歌 吳婧婧

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)策略研究》（課題編號(hào)：2021JY14－XK16）的階段性成果.

本文以一道高三聯(lián)考試題為例，從不同視角進(jìn)行解析，探索雙曲線中一類與漸近線有關(guān)的弦長(zhǎng)、線段長(zhǎng)度問題的命制背景，對(duì)其逆向探究，并嘗試將所得結(jié)論推廣到“相似”圓錐曲線，試圖對(duì)這類問題的求解策略、命題背景有更深刻的認(rèn)識(shí).

1? 試題呈現(xiàn)

（2023年湖南高三聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)F是雙曲線C：x2a2-y23=1（a>0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的右支于點(diǎn)A，B，分別交兩條漸近線于點(diǎn)M，N，點(diǎn)A，M在第一象限，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，AB=6.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若AB2=60AM·AN，求直線l的斜率.

2? 解法探究

本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理解決弦長(zhǎng)、線段長(zhǎng)度問題，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng)，屬較難題.第（1）問較為容易，答案為x2-y23=1，過程略;第（2）問難度較高，下面分享兩種解法.

解法1：（學(xué)生的“自然”解法）易知F（2，0），設(shè)直線l：x=ty+2，與雙曲線聯(lián)立得（3t2-1）y2+12ty+9=0. 因?yàn)橹本€l交雙曲線C的右支于點(diǎn)A，B，所以3t2-1≠0，△=36t2+36>0，y1y2<0，解得-33

評(píng)注：在處理直線與雙曲線關(guān)系的問題時(shí)，設(shè)出直線方程與雙曲線聯(lián)立消元得出韋達(dá)定理是常用的方法，容易求出AB，但AM·AN不容易求出，借助y1與t的關(guān)系，可將其表示為t的代數(shù)式，進(jìn)而求解即可.此法雖然思維量較小，但對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高，需要學(xué)生有較強(qiáng)的代數(shù)變形能力.

解法2：（試題的“標(biāo)準(zhǔn)”解法）由解法1知，AB=6（1+t2）1-3t2，MN=1+t2·|y3-y4|=431+t21-3t2.取AB中點(diǎn)P，由y1+y2=y3+y4可知，點(diǎn)P也為MN的中點(diǎn)，所以AM·AN=（PM-PA）·（PN+PA）=PM2-PA2=14（MN2-AB2）.又因?yàn)锳B2=60AM·AN=15（MN2-AB2），所以16AB2=15MN2，即16×36（1+t2）2（1-3t2）2=15×48（1+t2）（1-3t2）2，解得t=±12，所以直線l的斜率為±2.

評(píng)注：先通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)AB中點(diǎn)與MN中點(diǎn)重合，然后將題設(shè)條件AB2=60AM·AN轉(zhuǎn)化為AB和MN的等量關(guān)系式，再借助弦長(zhǎng)公式分別求出AB和MN，進(jìn)而求解即可.此法雖然計(jì)算量小，但對(duì)學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力要求較高，需要學(xué)生對(duì)雙曲線的性質(zhì)及題目的命制背景有一定研究.

3? 背景探究及逆向探究

在原題中，直線AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，那么直線AB能否一般化？經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)下述命題，證明略.

命題1? 如圖1和圖2，設(shè)A，B為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的兩點(diǎn)，直線AB與雙曲線的漸近線相交于C，D兩點(diǎn)，則AC=BD.

性質(zhì)1? 雙曲線弦中點(diǎn)（垂徑定理）：直線l與雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若kOM，kAB，均存在，則kOMkAB=b2a2.

性質(zhì)2? 漸近線弦中點(diǎn)（垂徑定理）：直線l與雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若kOM，kAB，均存在，則kOMkAB=b2a2

命題2? 如圖1和圖2，設(shè)A，B為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的兩點(diǎn)，直線AB與雙曲線的漸近線相交于C，D兩點(diǎn)，則

（1）當(dāng)直線AB定向時(shí)，AC·AD為定值.特殊地，當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，AC·AD=b2;

（2）當(dāng)直線AB經(jīng)過雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，ABAC·AD=2a.

證明：在圖1中，當(dāng)直線AB不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，AB=1+t2·（y1+y2）2-4y1y2=2ab1+t2b2t2-a2+n2a2-b2t2，CD=1+t2·（y3+y4）2-4y3y4=2abn1+t2a2-b2t2，所以AC·AD=12（CD-AB）·12（CD+AB）=14（CD2-AB2）=a2b2（1+t2）a2-b2t2（定值），其中t=1kAB.特殊地，當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=n，此時(shí)AB=2bn2-a2a，CD=2bna，則AC·AD=b2（定值）.

當(dāng)直線AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB不與y軸垂直，設(shè)直線AB的方程為x=ty+c，類似可得，AB=2ab2（1+t2）a2-b2t2，CD=2abc1+t2a2-b2t2，所以AC·AD=a2b2（1+t2）a2-b2t2，ABAC·AD=2a（定值）.當(dāng)直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)時(shí)，同理可證.

在圖2中，同法可證上述結(jié)論，證明略.由此可見，在原題中，由ABAM·AN=2a=2（定值）及AB2=60AM·AN可知，AB=30為定值.又因?yàn)橹本€AB過雙曲線的右焦點(diǎn)（定點(diǎn)），所以直線l的斜率必然為定值.由AB=6（1+t2）1-3t2=30，解得t=±12，所以直線l的斜率為±2.

那么，命題2的逆命題是否成立呢？筆者經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)下述命題3.

命題3? 如圖1和圖2，設(shè)A，B為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的兩點(diǎn)，直線AB與雙曲線的漸近線相交于C，D兩點(diǎn)，則（1）若AC·AD為定值，則直線AB定向.特殊地，若AC·AD=b2，則直線AB⊥x軸;（2）若ABAC·AD為定值且直線AB不與坐標(biāo)軸垂直，則直線AB過雙曲線的焦點(diǎn)且ABAC·AD=2a.

證明：在圖1中，當(dāng)直線AB不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，由命題2的證明過程知，AC·AD=a2b2（1+t2）a2-b2t2.若AC·AD為定值，記為m，則t2=a2（m-b2）b2（m+a2為定值且t≠0，所以直線AB定向且不與坐標(biāo)軸垂直.特殊地，當(dāng)AC·AD=b2時(shí)，t=0，所以直線AB⊥x軸.

當(dāng)直線AB不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，由命題2的證明過程知，AB=2ab1+t2t2-a2+n2a2-b2+t2，AC·AD=a2b2（1+t2）a2-b2t2，所以ABAC·AD=2ab·b2t2-a2+n21+t2.若ABAC·AD為定值，則b21=-a2+n21，解得n2=a2+b2=c2，即n=±c，所以直線AB過雙曲線的焦點(diǎn).此時(shí)ABAC·AD=2abb2t2-a2+n21+t2=2ab·b=2a（定值）.

在圖2中，同法可證上述結(jié)論，證明略.

4? 應(yīng)用舉例

例1? （2023深圳一模）已知雙曲線E：x24-y2=1與直線l：y=kx-3相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn).（1）當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程;（2）若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C，D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A，B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.

簡(jiǎn)析：（1）易得M的軌跡方程為x2=4y2+12y（y≤3或y＞13）.

（2）將直線l與雙曲線聯(lián)立得（1-4k2）x2+24kx-40=0.因?yàn)锳，B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以A，B一定在雙曲線的同支上，所以1-4k2≠0，△=160-64k2>0，-401-4k2>0，解得14

例2? （2023江西鷹潭?？迹┮阎p曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為3，過右焦點(diǎn)F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，交兩條漸近線于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)A，C在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線E的方程;

（2）設(shè)△OAC，△OAD，△OAB的面積分別是S△OAC，S△OAD，S△OAB，若不等式λS△OAC·S△OAD≥S△OAB恒成立，求λ的取值范圍.

簡(jiǎn)析：（1）易得E的方程為x2-y23=1.

（2）設(shè)直線l：x=ty+2（0

5? 一般化探究

我們注意到雙曲線的漸近線可設(shè)為x2a2-y2b2=0，不禁讓人猜想，若將其改為x2a2-y2b2=λ（λ>0，且λ≠1），是否有類似結(jié)論？筆者經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)“相似”雙曲線有下述命題：

命題4? 如圖3和圖4，設(shè)A，B為雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的兩點(diǎn)，直線AB與雙曲線C2：x2a2-y2b2=λ（λ＞0，且λ≠1，a>0，b>0）相交于C，D兩點(diǎn)，則AC=BD，且有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)直線AB定向時(shí)，AC·AD為定值.特殊地，當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，AC·AD=b2|λ-1|;當(dāng)直線AB⊥y軸時(shí)，AC·AD=a2|λ-1|;

（2）當(dāng)直線AB經(jīng)過雙曲線C1的焦點(diǎn)時(shí)，ABAC·AD=2a·1|λ-1|;

（3）若AC·AD為定值，則直線AB定向.特殊地，若AC·AD=b2|λ-1|，則直線AB⊥x軸；若AC·AD=a2|λ-1|，則直線AB⊥y軸;

（4）若ABAC·AD為定值且直線AB不與坐標(biāo)軸垂直，則直線AB過雙曲線C1的焦點(diǎn)且ABAC·AD=2a·1|λ-1|.

類似地，對(duì)于“相似”橢圓和“相似”拋物線，有：

命題5? 如圖5，設(shè)A，B為橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上的兩點(diǎn)，直線AB與橢圓C2：x2a2+y2b2=λ（λ>0，且λ≠1，a>b>0）相交于C，D兩點(diǎn)，則AC=BD，且有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)直線AB定向時(shí)，AC·AD為定值.特殊地，當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，AC·AD=b2|λ-1|;當(dāng)直線AB⊥y軸時(shí)，AC·AD=a2|λ-1|;

（2）當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓C1的焦點(diǎn)時(shí)，ABAC·AD=2a·1|λ-1|;

（3）若AC·AD為定值，則直線AB定向.特殊地，若AC·AD=b2|λ-1|，則直線AB⊥x軸；若AC·AD=a2|λ-1|，則直線AB⊥y軸;

（4）若ABAC·AD為定值且AB不與坐標(biāo)軸垂直，則AB過橢圓C1的焦點(diǎn)，且ABAC·AD=2a·1|λ-1|.

命題6? 如圖6，設(shè)A，B為拋物線C1：y2=2px（p>0）上的兩點(diǎn)，直線AB與拋物線C2：y2=2p（x-λ）（λ≠0，p>0）相交于C，D兩點(diǎn)，則AC=BD，且有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)直線AB定向時(shí)，AC·AD為定值.特殊地，當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，AC·AD=2p|λ|;

（2）當(dāng)直線AB經(jīng)過拋物線C1的焦點(diǎn)時(shí)，ABAC·AD=1|λ|;

（3）若AC·AD為定值，則直線AB定向.特殊地，若AC·AD=2p|λ|，則直線AB⊥x軸;

（4）若ABAC·AD為定值且直線AB不與坐標(biāo)軸垂直，則直線AB過拋物線C1的焦點(diǎn)且ABAC·AD=1|λ|.

命題4-6的證明與命題1-3的證明類似，證明略.