巧思維展開 妙視角拓展

任天天

平面向量數(shù)量積的求值或最值（取值范圍等）問題是新高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類基本題型與重要考點．此類問題可以很好實現(xiàn)平面向量中“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一，巧妙融合“動”與“靜”的兩種狀態(tài)，達到平面向量的概念與運算、代數(shù)與幾何等不同數(shù)學(xué)知識模塊之間的交匯與融合，倍受各方關(guān)注．

1．真題呈現(xiàn)

（2023年全國乙卷文科·6）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC·ED=（? ）.

A．5??? B．3??? C．25??? D．5

此題以正方形為問題背景，結(jié)合邊上的定點（中點），確定對應(yīng)平面向量的數(shù)量積的值，很好串聯(lián)起平面幾何的“形”的特征與平面向量數(shù)量積的“數(shù)”的內(nèi)涵，數(shù)形轉(zhuǎn)化，求解切入點多，主要是根據(jù)平面向量數(shù)量積自身的知識本質(zhì)，平面向量中常用的基底思維、坐標(biāo)思維以及定義思維等來展開與應(yīng)用，進而得以求解對應(yīng)的數(shù)量積的值．

2．真題多解

解法1：（基底法1）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則|AB|=|AD|=2，AB·AD=0，而EC=EB+BC=12AB+AD，ED=EA+AD=－12AB+AD，所以EC·ED=（12AB+AD）·（－14AB2+AD2）=－14×22+22=3，故選B．

解法2：（基底法2）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則|EA|=|EB|=1，EA·EB=－1，EB·AD=0，EA·BC=0，所以EC·ED=（EB+BC）·（EA+AD）=EB·EA+EB·AD+BC·EA+BC·AD=－1+0+0+2×2=3，故選B．

解后反思：根據(jù)平面向量的線性運算的轉(zhuǎn)化來求解對應(yīng)的數(shù)量積，是平面向量“形”的特征的直觀想象，借助基底的線性轉(zhuǎn)化與變形，結(jié)合數(shù)量積的運算來應(yīng)用，關(guān)鍵在于尋覓一組方便求解的基底向量．

解法3：（坐標(biāo)法）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，

圖1

如圖1所示，以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C（2，2），D（0，2），E（1，0），可得EC=（1，2），ED=（－1，2），

所以EC·ED=（1，2）·（－1，2）=3，故選B．

解后反思：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算·=x1x2+y1y2來求解對應(yīng)的數(shù)量積，是充分體現(xiàn)平面向量的“數(shù)”的屬性的基本特征之一，關(guān)鍵在于構(gòu)建相應(yīng)的坐標(biāo)系并確定對應(yīng)點、向量的坐標(biāo)．

解法4：（定義法）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，可得|CD|=2，|EC|=|ED|=5，在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC=|ED|2+|EC|2-|CD|22|ED||EC|=5+5-42×5×5=35，所以利用數(shù)量積的定義，可得EC·ED=|EC||ED|cos∠DEC=3，故選B．

解后反思：根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義·=||||cos<，>，結(jié)合相關(guān)的運算來求解對應(yīng)的數(shù)量積是解決此類問題中比較常用的基本方法之一，關(guān)鍵在于確定兩相關(guān)向量的模以及兩向量之間的夾角．

圖2

解法5：（投影法）如圖2所示，過點C作DE的垂線，垂足為F，

依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，可得|CE|=|DE|=5，利用等面積法，可得S△CDE=12×5×|CF|=12×2×2，解得|CF|=455，利用勾股定理有|EF|=|CE|2-|CF|2=355，利用投影定義，可得EC·ED=|EF||ED|=3，故選B．

解法6：（極化恒等式法）取CD的中點G，連接EG，依題可知EG⊥CD，|EG|=2，利用極化恒等式，可得EC·ED=14［（EC+ED）2－（EC－ED）2］=14（4EG2－DC2）=|EG|2－14|DC|2=3，故選B．

解法7：（余弦定理的向量式法）依題知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，可得|CD|=2，|EC|=|ED|=5，利用余弦定理的向量式，可得EC·ED=12（EC2+ED2－CD2）=12（|EC|2+|ED|2－|CD|2）=12（5+5－22）=3，故選B．

解后反思：抓住平面向量自身“形”的結(jié)構(gòu)特征，從幾何視角切入，可以通過投影定義、極化恒等式、余弦定理的向量式等來處理與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的向量問題．幾何法的本質(zhì)是平面向量“形”的結(jié)合特征的直觀想象，以及一些相關(guān)概念、公式與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是這里涉及的極化恒等式、余弦定理的向量式等，都是教材有益的補充與提升，可以給一些學(xué)生提供一些課外提升的空間．

3．變式拓展

保留正方形的問題場景，借助相應(yīng)邊上的“定點”向相應(yīng)邊上的“動點”的變化，進而確定相應(yīng)數(shù)量積的最小值或取值范圍問題得變式．

變式1? 正方形ABCD的邊長是2，E是AB邊上一動點，則EC·ED的最小值為．

變式2? 正方形ABCD的邊長是2，E是AB邊上一動點，則EC·ED的取值范圍為．

變式1及變式2的答案分別是3;［3，4］．

保留正方形的問題場景，借助相應(yīng)邊上的點向一定軌跡上的點的變化，增加問題復(fù)雜度，提升問題難度，進而確定相應(yīng)數(shù)量積的取值范圍問題得變式．

變式3? 正方形ABCD的邊長是2，E是正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的一個動點，且滿足EA·EB=0，則EC·ED的取值范圍為．

圖3

解析：依題正方形ABCD的邊長為2，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（－1，0），B（1，0），C（1，2），D（－1，2），

又E是正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的一個動點，且滿足EA·EB=0，則知動點E是單位圓位于正方形ABCD內(nèi)部的圓弧上的一個點，設(shè)E（cosθ，sinθ），θ∈（0，π），則EC·ED=（1－cosθ，2－sinθ）·（－1－cosθ，2－sinθ）=4－4sinθ，而θ∈（0，π），故有sinθ∈（0，1］，即EC·ED=4－4sinθ∈［0，4），故填［0，4）．

4．教學(xué)啟示

4．1? 總結(jié)思維視角，歸納技巧策略

解決平面向量數(shù)量積的求值或最值（取值范圍等）問題，主要圍繞數(shù)量積的概念、公式與基本性質(zhì)等，常見的思維視角包括：（1）定義思維，回歸數(shù)量積本質(zhì)，從最根本的視角來切入與應(yīng)用，也是解決數(shù)量積問題中的根本方法；（2）坐標(biāo)思維，從“形”的視角進行“數(shù)”化，借助建系法，合理將點、向量等進行坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運算，通過“數(shù)”的運算來分析與解決問題；（3）幾何思維，從“數(shù)”的屬性進行“形”化，借助幾何法，或基底變形，或利用圖形直觀，通過“形”的直觀來分析與解決問題．

4．2? 倡導(dǎo)“一題多解”，實現(xiàn)“一題多變”

涉及平面向量數(shù)量積的求值或最值（取值范圍等）問題，主要可以從定義視角、幾何視角、坐標(biāo)視角等不同思維視角切入，全方位發(fā)散思維，得以“一題多解”，充分融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，形成穩(wěn)定的知識架構(gòu)．

在“一題多解”的基礎(chǔ)上，合理歸納總結(jié)，巧妙拓展提升，借助“一題多變”進行變式應(yīng)用，對問題加以更深層次的變式拓展與升華提升，全面提升數(shù)學(xué)能力，真正達到會解、會用、會拓展、會歸納總結(jié)等，從而實現(xiàn)“一題多得”的良好效果，舉一反三，融會貫通，發(fā)展創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用．