動靜分離巧拆分 數(shù)形結(jié)合妙轉(zhuǎn)化

項怡芳 顧予恒

筆者在一次高三模擬測試中遇到了一道絕對值不等式的相關(guān)問題．講評時發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)是通過特殊值法猜出了答案，但卻對本題到底考查了什么內(nèi)容不甚明了．若僅以選對答案為問題解決的終點，不免辜負了命題人的一番良苦用心，不能發(fā)揮題目的教育價值．于是，筆者借由這道試題，設(shè)計了一個高三復(fù)習(xí)微專題，以期探尋一種結(jié)合圖象處理函數(shù)不等式的方法，加深函數(shù)與不等式理解，為高考函數(shù)與不等式內(nèi)容復(fù)習(xí)提供一種示范．

1 ?試題呈現(xiàn)，解法賞析

已知a，b∈R，若對任意x∈R，ax－b+x－4－2x－5≥0，則（? ）.

A．a(chǎn)≤1，b≥3??? B．a(chǎn)≤1，b≤3

C．a(chǎn)≥1，b≥3??? D．a(chǎn)≥1，b≤3

分析：本題是一道常見的絕對值不等式恒成立問題，通過創(chuàng)設(shè)新的設(shè)問角度，考查思維的靈活性．考生看待條件的視角不同決定了解題方式的不同．

視角一? 看成含參絕對值函數(shù)恒正的問題．

解法一：令f（x）=ax－b+x－4－2x－5，則顯然它的圖象為三段折線，可用必要條件先行速解．當(dāng)x→+∞時，必有ax－b+x－4－2x－5≥0，即a－1x≥ab－1當(dāng)x→+∞時恒成立，故a≥1．當(dāng)x=b時，b－4≥2b－5，解得1≤b≤3，故選D．

視角二? 拆分成兩個函數(shù)比較大小的問題．

圖1

解法二：因為ax－b+x－4－2x－5≥0，所以ax－b≥2x－5－x－4．

令g（x）=ax－b，h（x）=2x－5－x－4，顯然g（x）的圖象是一個“V”字圖，底端位置由b決定，傾斜程度由a決定．

由題意知g（x）的圖象始終落在h（x）的圖象上方，故只能畫出如圖1所示的圖象．

顯然a≥1，b≤3，故選D．

評注：兩種解法都是依托函數(shù)圖象，研究函數(shù)性質(zhì)，區(qū)別在于畫一張圖看本身性質(zhì)還是畫兩張圖看相互關(guān)系．顯然法一如果正面解決，兩個參數(shù)的分類討論會非常復(fù)雜，因此采取了必要條件優(yōu)先的策略，從反面突破．但要注意，這樣只是得出a，b的范圍，并非是充要條件．

由于本題屬于判斷型選擇題，因此以上兩種方法，甚至取特殊值a=b=2作判斷都可行，但解法一和特殊值法缺乏充分性的證明．如果將試題改變?yōu)槿缦伦兪?，就不可行了?/p>

變式? 已知a，b∈R，若對任意x∈R，ax－b+x－4－2x－5≥0，則a－b的取值范圍是????? ．

圖2

解：同解法二拆分作圖2，注意到參數(shù)a，b是有關(guān)聯(lián)的．

顯然b就是g（x）圖象最低點的橫坐標，所以1≤b≤3．但對于每一個確定的b，a都有相應(yīng)的范圍，即a≥kAB=34－b．

所以a－b≥34－b－b=34－b+4－b－4≥23－4，當(dāng)且僅當(dāng)b=4－3時，取得等號．

評注：解法二的關(guān)鍵步驟在于將一個不易作圖的函數(shù)（不等式）問題，通過拆分，轉(zhuǎn)化為兩個相對容易作圖的函數(shù)之間的關(guān)系問題．通常，我們會拆分成一動一靜兩張圖象，將這樣的拆分方式稱為“動靜分離”，遵循的基本原則是“靜圖能畫，動圖易畫（例如直線）”．其實，通常說的參變分離就是動靜分離的一種特殊情況．

2? 追根溯源，觸類旁通

其實動靜分離的解題方法并非從天而降，追根溯源，可以找到眾多的前車之鑒．例如，在教材《函數(shù)的零點與方程的解》一節(jié)中就涉及類似的轉(zhuǎn)化．

題1? 已知實數(shù)a，b都不為0，求證：函數(shù)f（x）=3ax2+2bx－a+b在0，1內(nèi)一定有零點．

分析：本題如果直接用二次函數(shù)解決，需要進行分類討論，但因為含有兩個參數(shù)a，b，因此討論相當(dāng)繁瑣，故采取動靜分離的策略解決．圖3

證明：由3ax2+2bx－a+b=0得a（3x2－1）=－b（2x－1），

即3x2－1=－ba2x－1．等式左邊為靜態(tài)函數(shù)，右邊為過A12，0的動直線，如圖3畫出圖象，數(shù)形結(jié)合顯然在（0，1）內(nèi)一定有交點．

評注：本題是判斷函數(shù)有無零點的問題，通過動靜分離，轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)圖象的交點，從圖形角度入手處理．

題2? 已知函數(shù)f（x）=x2－1+x2+kx在0，2上有兩個不同的零點x1，x2，求k的取值范圍．

解：由題意知x2－1+x2+kx=0．

分離方法一：x2－1+x2x=－k，（轉(zhuǎn)化為曲線與水平線的交點）

分離方法二：x2－1+x2=－kx，（轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點）

分離方法三：x2－1=－x2－kx.（轉(zhuǎn)化為曲線與曲線的交點）

圖4

以分離方法二為例，即g（x）=x2－1+x2與h（x）=－kx的圖象在（0，2）內(nèi)有兩個交點，如圖4可知需滿足1<－k<72，即－72

評注：本題涉及函數(shù)零點個數(shù)問題，動靜分離的方式多種多樣，一般會優(yōu)先選擇一直一曲．

題3? （2022新高考I卷22）已知函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．

解：（1）易得a=1，過程略．

（2）f（x）=ex－x與y=b的交點個數(shù)即方程ex = x + b的解的個數(shù)，即函數(shù)y1? = e x與y2=x+b的交點個數(shù)；同理g（x）=x－lnx與y=b的交點個數(shù)即函數(shù)y3=lnx與y4=x－b的交點個數(shù)．

圖5

如圖5，在同一個坐標系中作出以上四個函數(shù)的圖象，注意到兩個靜函數(shù)y1? = e x與y3=lnx的圖象關(guān)于y=x對稱，兩個動函數(shù)y2=x+b與y4=x－b也關(guān)于y=x對稱．

顯然當(dāng)01時，圖象有四個交點A，B，C，D．由題意可知四個交點只能有三個不同的橫坐標，即當(dāng)xB=xC時，存在b使得滿足題意．

設(shè)A（x1，ex1），B（x2，ex2），C（x2，lnx2），D（x3，lnx3），則由A，C關(guān)于y=x對稱得ex1+lnx22=x1+x22，

ex1－lnx2x1－x2=－1，化簡得x1=lnx2，而lnx2=x2－b，所以x1=x2－b；

同理由B，D關(guān)于y=x對稱得x2=x3－b，因此x1－x2=x2－x3，即x1+x3=2x2，所以從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．

評注：本題涉及函數(shù)零點范圍問題，通過動靜分離，幾何研究兩個互為反函數(shù)的圖象性質(zhì)，代數(shù)求解坐標關(guān)系，真正發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的威力．當(dāng)然本題也可以直接看成動直線y=b與靜函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的交點問題，解法類似．

除了零點問題外，恒成立問題也常常涉及動靜分離的轉(zhuǎn)化．

題4? 已知函數(shù)f（x）=xex－a2x+12，當(dāng)x≥0時，不等式f（x）≥2ex－a2－2恒成立，求a的取值范圍．

解：f（x）≥2ex－a2－2，即xex－2ex+2≥a2x2+2x（動靜分離為兩曲）．

令g（x）=xex－2ex+2，h（x）=a2x2+2x，

因為g′（x）=x－1ex，g″（x）=xex，所以x=1是極小值點，x=0處是拐點，y=－x為g（x）在拐點處的切線方程．

圖6

注意到g0=0，h0=0，所以要想滿足g（x）≥h（x）在x≥0時恒成立，只能畫出如圖6的大致圖象，且至少滿足g′0≥h′0，即a≤－1．（采取必要條件先行并非從天而降，而是源自于預(yù)期的函數(shù)圖象）

下證充分性.當(dāng)a≤－1，h（x）=a2（x2+2x）≤－12x2+2x≤－x，因為y=－x為g（x）在拐點處的切線，故再證當(dāng)x≥0時，xex－2ex+2≥－x．

令m（x）=xex－2ex+2+x，則m′（x）=x－1ex+1，m″（x）=xex>0，所以m′（x）>m′（0）=0，所以m（x）≥m0=0．

綜上，當(dāng)a≤－1時，滿足a2x2+2x≤－x≤xex－2ex+2，得證．

評注：本題將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為一條靜態(tài)曲線和一條動態(tài)拋物線的位置關(guān)系．之所以沒有采用完全的參變分離，是因為可以預(yù)判形如y=xex－2ex+2x2+2x這樣復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)畫圖會非常困難，因此選擇動靜函數(shù)時一定要確?！办o圖能畫”的原則．

題5? 已知不等式ex－ax－b≥0（a，b∈R，a≠0）對任意實數(shù)x恒成立，則b－2a的最大值為????? ．

解：動靜分離將不等式轉(zhuǎn)化ex－2≥ax+b－2=ax+b－2a．

圖7

b－2a的幾何意義為直線y=ax+b－2a與x軸的截距的相反數(shù)．如圖7，y=ex－2恒在直線y=ax+b－2a的上方．

所以－b－2a≥ln2，得b－2a≤－ln2．

評注：本題是雙參不等式恒成立問題．在動靜分離時，充分考慮了目標式的幾何意義，才能經(jīng)過配湊，分離出想要的動函數(shù)和靜函數(shù)．

題6? 已知函數(shù)f（x） = xex + m，g（x）=2lnxx+1x+1m．當(dāng)m>0時，若f（x）>g（x）對于任意的x∈0，+∞恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

解：由f（x）>g（x）得xex + m > 2lnxx + 1x + 1m，所以xex-2lnxx-1x > 1m-m，（注意到左邊的新函數(shù)求導(dǎo)無盡頭，所以需要轉(zhuǎn)化）.

所以x2ex-2lnx-1 > 1m-mx．

（此時可以轉(zhuǎn)而去研究左邊函數(shù)過原點的切線，用隱零點的方式處理，但依舊不容易）.

注意到，因為ex≥x + 1，所以ex + 2lnx-x + 2lnx + 1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x+2lnx=0時取等號，所以上述不等式配湊為x2ex-x + 2lnx + 1 > 1m-m-1x．

令h（x） = x2ex-x-2lnx-1，k（x） = 1m-m-1x，轉(zhuǎn)化為直線與曲線的動靜分離．因為h′（x） = x2 + 2xex-2x-1 = x + 2x2ex-1x，所以存在唯一的x0，使得h′x0=0，即x02e x0-1 = 0．

h（x）在0，x0上單調(diào)遞減，在x0，+∞上單調(diào)遞增，且hx0? = x02ex0-x0 -2lnx0 -1 = 0．

圖8

所以如圖8，必有1m－m－1<0，解得m>－1+52．

評注：本題在動靜分離時，利用同構(gòu)思想，配湊出一個最小值恰為0的靜函數(shù)．從解題的過程中可以看到，配湊方式的選擇有很強的目的性，需要很高的化簡能力．

題7? 設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+|x－a|+b（a，b∈R），若對任意的b∈［0，1］及任意的x∈［－3，3］，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范圍．

解：因為f（x）≤2，即－2≤f（x）≤2，所以由題意知－2≤ax2+x－a+b≤2對任意b∈0，1及任意x∈－3，3恒成立．

這是雙任意問題，中間的式子是關(guān)于x和b雙主元的，顯然看成關(guān)于b的一次不等式更容易處理，故－2≤ax2+x－a+b≤2對任意b∈0，1恒成立，則滿足－2≤ax2+x－a≤1．

于是，－2≤ax2+x－a≤1對任意x∈－3，3恒成立．

－2－ax2≤x－a≤1－ax2，從圖象上理解即y=x－a被夾在y1=－2－ax2與y2=1－ax2之間．

（1）若a>0時，則左側(cè)不等式顯然成立，右側(cè)只需滿足－3－a≤1－9a，解得a≤－15，又因為a>0，所以無解．

圖9

（2）若a<0時，如圖9，畫出圖象可知，需要滿足y=1－ax2與y=x－a相離或相切．注意到兩個函數(shù)在x=1處有公共點，因此只能相切．此時1－ax2=x－a，由Δ=0得a=－12．

又當(dāng)a=－12時，y=－2+12x2與y=－x－12恰好交于－3，52，符合題意．綜上，a=－12．

評注：本題無法實現(xiàn)動靜分離，因此采用了動動分離．

3? 教學(xué)啟示

就教學(xué)內(nèi)容而言，函數(shù)、方程與不等式是相互融合的三劍客，借助函數(shù)圖象研究性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合解決問題是函數(shù)和不等式相關(guān)內(nèi)容復(fù)習(xí)的正確方式．本文介紹的動靜分離技巧充分體現(xiàn)了函數(shù)圖象的價值和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．

高三復(fù)習(xí)總是離不開試題的講解，我們不僅要講試題的精彩解法，更要賞析每一道試題的內(nèi)涵和背景，要讓學(xué)生知其然，更要知其所以然，只有這樣才能最大化地發(fā)揮試題的價值．同時也要充分發(fā)揮多題一解的功能，通過對同類問題的有效選取和設(shè)計，利用微專題講清一類問題，總結(jié)通性通法，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識和解題技巧，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．只有這樣才能達到講解少量試題，就讓學(xué)生“做會一道，通曉一類”的目的．

參考文獻

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