生物力學(xué)約束下的多孔結(jié)構(gòu)鞋中底設(shè)計(jì)

朱粉英 程華欽 劉斌

摘要：提出一種由足底壓力映射的三維維諾（Voronoi）支桿鞋中底結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。將足底壓力信息作為鞋中底結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)基礎(chǔ)，采用加權(quán)隨機(jī)采樣策略構(gòu)建Voronoi站點(diǎn)；通過(guò)裁剪算法，使三維Voronoi圖適應(yīng)鞋中底邊界；以裁剪后的三維Voronoi邊為骨架線，采用隱式曲面建模技術(shù)和隱式函數(shù)融合生成光滑連續(xù)的三維Voronoi支柱鞋中底。測(cè)試結(jié)果表明：三維Voronoi支柱鞋中底可以使足底壓力分布更加均勻，并可有效地減輕跖骨和足跟區(qū)域的負(fù)荷，降低足底壓力異常集中導(dǎo)致關(guān)節(jié)損傷的概率。

關(guān)鍵詞：鞋中底；足底壓力；多孔結(jié)構(gòu)；維諾圖；隱式曲面

中圖分類號(hào)：TH 122；TP 391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-5013（2024）03-0314-10

Design of Porous Structure Midsole Under Biomechanical Constraints

ZHU Fenying¹，CHENG Huaqin²，LIU Bin²

（1. Huaqiao University Hospital，Huaqiao University，Xiamen 361021，China；2. College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Abstract：A 3D Voronoi strut midsole structure design method based on plantar pressure mapping is proposed. Using plantar pressure information as the data-driven basis for midsole structure design，a Voronoi site is constructed using a weighted random sampling strategy. The 3D Voronoi diagram is adapted to the midsole boundary through cropping algorithms. Using the trimmed 3D Voronoi edge as the skeleton line，implicit surface modeling technology and implicit function fusion are used to generate a smooth and continuous 3D Voronoi strut midsole. The test results show that the 3D Voronoi strut midsole can make the pressure distribution on the sole of the foot more uniform，effectively reduce the load on the metatarsal and heel areas，as a consequence，significantly reduce the probability of joint damage caused by abnormal concentration of plantar pressure.

Keywords：midsole；plantar pressure；porous structure；Voronoi diagram；implicit surface

隨著生活水平的顯著提高，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注鞋子穿著的健康問(wèn)題。研究表明，足底壓力峰值是前腳疼痛綜合征的主要原因之一^[1-2]。足底壓力高也會(huì)導(dǎo)致距骨痛、足跟損傷、軟骨損傷和足底潰瘍等疾病^[3-6]。此外，一些患者可能會(huì)無(wú)意識(shí)地改變緩解疼痛的姿勢(shì)，這會(huì)抑制正常的行為活動(dòng)，導(dǎo)致腿部、膝蓋和背部的健康問(wèn)題。運(yùn)動(dòng)鞋鞋中底具有吸能、減震、平衡支撐的作用，對(duì)分配腳底壓力分布起著決定性作用，因此，設(shè)計(jì)與足底壓力分布相適配的鞋中底對(duì)于鞋子穿著的健康性具有重要意義。

3D打印技術(shù)的快速進(jìn)步顛覆了傳統(tǒng)的制鞋技術(shù)，使鞋業(yè)朝著快速、高效、定制化、可持續(xù)的方向發(fā)展^[7]。利用維諾（Voronoi）多孔結(jié)構(gòu)的優(yōu)異性能進(jìn)行面向3D打印的鞋中底設(shè)計(jì)方案，得到了相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜液凸こ探绲膹V泛關(guān)注^[8]。因此，本文利用足底壓力數(shù)據(jù)對(duì)三維Voronoi圖進(jìn)行控制，提出一種在足底壓力映射的三維Voronoi支桿鞋中底設(shè)計(jì)方法。

1 足底壓力驅(qū)動(dòng)的多孔結(jié)構(gòu)鞋中底設(shè)計(jì)

1.1 設(shè)計(jì)思路與流程

為了設(shè)計(jì)與足底壓力分布特征匹配的定制化多孔鞋中底，將足底壓力數(shù)據(jù)作為輸入，利用應(yīng)力分布與相對(duì)密度分布的映射模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)三維Voronoi胞元密度的調(diào)控。三維Voronoi支桿結(jié)構(gòu)在形狀尺寸上更易精確控制，從而更易調(diào)控其局部性能，實(shí)現(xiàn)定制化設(shè)計(jì)目標(biāo)。

三維Voronoi支桿鞋中底的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)流程圖，如圖1所示。首先，使用足底壓力測(cè)量系統(tǒng)采集足底壓力分布數(shù)據(jù)；然后，根據(jù)有限元軟件模擬獲得鞋中底的應(yīng)力分布，并將其作為鞋中底結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的驅(qū)動(dòng)條件；再次，構(gòu)建鞋中底的應(yīng)力分布向Voronoi站點(diǎn)分布的映射，根據(jù)Voronoi站點(diǎn)加權(quán)隨機(jī)采樣策略，生成自適應(yīng)的Voronoi圖；通過(guò)Voronoi裁剪算法適配鞋中底模型，以Voronoi圖的邊為骨架線，結(jié)合隱式曲面造型技術(shù)生成光滑連續(xù)的Voronoi支桿結(jié)構(gòu)；最后，以Voronoi支桿結(jié)構(gòu)為鞋底模型的內(nèi)部填充，生成集保護(hù)性、舒適性、功能性為一體的定制化鞋中底。

1.2 足底壓力測(cè)量

使用F-Scan測(cè)量系統(tǒng)對(duì)足底壓力進(jìn)行測(cè)量，如圖2所示。足底壓力傳感墊的實(shí)際有效測(cè)量面積約為48.77 cm×44.70 cm，采樣頻率為185 Hz。待測(cè)人員裸足站立在壓力傳感墊上，所采集壓力數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)顯示在計(jì)算機(jī)屏幕上（圖2（a））。

由于壓力傳感器獲得的足底壓力云圖是實(shí)時(shí)變化的，考慮到測(cè)量的準(zhǔn)確性，被測(cè)人員身姿需要保持挺直，放松穩(wěn)定10 s后開始測(cè)量。在同一測(cè)量條件下進(jìn)行4次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，然后從300張壓力圖中篩選出峰值壓力云圖，導(dǎo)出足底壓力分布數(shù)據(jù)作為后續(xù)鞋中底結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)。

將獲得的足底壓力數(shù)據(jù)作為輸入信息，使用ABAQUS有限元分析軟件進(jìn)行數(shù)值仿真模擬。綜合考慮鞋中底需具備的彈性和緩沖減震等性能，根據(jù)實(shí)驗(yàn)室的現(xiàn)有條件，選擇具備較好彈性的聚氨酯作為打印材料，在ABAQUS中設(shè)置材料參數(shù)和初始條件、邊界條件，計(jì)算得到靜態(tài)站立時(shí)鞋中底的壓力云圖（圖2（b））。結(jié)合生物力學(xué)特性，將足底模型劃分成腳趾、跖骨、足弓和后跟4個(gè)區(qū)域，以便更加準(zhǔn)確地評(píng)估足底壓力分布情況。由圖2（b）可以看出，兩只鞋中底的應(yīng)力分布并不完全一致，這與個(gè)體重心分布、腳型特征差異等因素有關(guān)。跖骨和后跟這兩個(gè)區(qū)域應(yīng)力較大，為了減輕這兩個(gè)區(qū)域的受力負(fù)擔(dān)，需要調(diào)整鞋中底的密度分布，重新分布足底壓力，以減少足底壓力過(guò)大給身體帶來(lái)的傷害。

1.3 基于加權(quán)隨機(jī)采樣策略的3D Voronoi圖構(gòu)建

通過(guò)調(diào)整鞋中底的密度分布來(lái)控制其強(qiáng)度（彈性）分布。密度分布可以從材料和結(jié)構(gòu)兩個(gè)方面進(jìn)行調(diào)整。采用多孔結(jié)構(gòu)作為填充物來(lái)調(diào)整結(jié)構(gòu)密度更具靈活性和可實(shí)現(xiàn)性。Voronoi圖具有連續(xù)性好的特點(diǎn)，通過(guò)控制Voronoi站點(diǎn)的分布可以改變結(jié)構(gòu)密度分布。因此，引入三維Voronoi圖作為鞋中底結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的骨架。

二維Voronoi圖是由連接兩鄰近站點(diǎn)線段的垂直平分線組成的連續(xù)多邊形，它的構(gòu)造順序一般為先構(gòu)建Delaunay三角形，再根據(jù)對(duì)偶生成Voronoi圖。拓展到三維空間，表現(xiàn)為一系列平面垂直平分相鄰站點(diǎn)所連接的線段，由這些平分面組成的多面體構(gòu)成Voronoi胞元，相應(yīng)地可以根據(jù)四面體對(duì)偶生成三維Voronoi圖，這是劃分三維Voronoi圖的基本方法之一。依據(jù)Voro++開源庫(kù)^[9]實(shí)現(xiàn)對(duì)三維Voronoi圖的構(gòu)建。給定一個(gè)有界開集Ω∈R³和一組點(diǎn){P_i}ⁿ_i=1，Voronoi圖定義為

V_i={x∈Ω|d（x，P_i）j），j={1，2，…，n}，j≠i}， ?i=1，2，…，n。（1）

式（1）中：V_i表示第i個(gè)Voronoi胞元，集合{V_i}ⁿ_i=1構(gòu)成Voronoi圖。

根據(jù)初始隨機(jī)站點(diǎn)生成的Voronoi胞元分布不均勻，在局部區(qū)域易出現(xiàn)胞元密集或稀疏的情況，對(duì)整體的性能有較大的影響，如圖3（a）所示。

為了更好地調(diào)節(jié)空間中站點(diǎn)的分布，防止出現(xiàn)局部性能差異過(guò)大的情況，有必要對(duì)三維Voronoi圖做重心迭代處理，使胞元的分布更均勻，胞元尺寸趨于一致。采用Lloyd重心迭代算法^[10]，使每個(gè)Voronoi站點(diǎn)向各自Voronoi胞元的重心位置移動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)胞元均勻分布的效果，重心迭代后的Voronoi圖，如圖3（b）所示。

局部足底壓力高是使穿著者感到不舒服的主要原因之一。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是減小足底壓力的峰值壓力和區(qū)域之間的壓力差，將足底壓力重新分布到盡可能多的區(qū)域。因此，對(duì)于高應(yīng)力區(qū)，應(yīng)增加Voronoi胞元的數(shù)量以提高局部密度；對(duì)于低應(yīng)力區(qū)，應(yīng)減少Voronoi胞元的數(shù)量以降低低應(yīng)力區(qū)域的局部密度。提出基于應(yīng)力的加權(quán)隨機(jī)采樣策略來(lái)控制Voronoi站點(diǎn)的分布，以提供適當(dāng)?shù)男械讖椥院蛣偠?，滿足定制化設(shè)計(jì)要求。加權(quán)隨機(jī)采樣策略的具體步驟如下。

1）對(duì)鞋中底模型的包圍盒進(jìn)行均勻柵格化，并將這些柵格頂點(diǎn)視為候選站點(diǎn)。候選站點(diǎn)與有限元分析獲得的應(yīng)力節(jié)點(diǎn)之間不是一一對(duì)應(yīng)的。只有與候選站點(diǎn)相鄰的有限元節(jié)點(diǎn)對(duì)站點(diǎn)有顯著影響。采用k近鄰算法，通過(guò)選擇n個(gè)近鄰有限元節(jié)點(diǎn)來(lái)計(jì)算候選站點(diǎn)的應(yīng)力值。候選站點(diǎn)的應(yīng)力值σ^j通過(guò)反向距離加權(quán)方法計(jì)算，即

式（2）中：σⁱ為第i個(gè)鄰近節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力；u_i，j為權(quán)因子，定義為

式（3）中：d_i，j為候選站點(diǎn)到其鄰近節(jié)點(diǎn)的歐式距離。

2）從所有候選站點(diǎn)中提取m個(gè)采樣點(diǎn)作為Voronoi站點(diǎn)。這里，m要遠(yuǎn)小于候選站點(diǎn)總數(shù)。隨機(jī)采樣方法參考文獻(xiàn)[11]中的蓄水池采樣策略，即

式（4）中：R為采樣產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，位于0～1之間；ω_i為第i個(gè)候選站點(diǎn)處的相對(duì)密度；S_i為第i個(gè)候選站點(diǎn)處的采樣分?jǐn)?shù)，對(duì)每個(gè)候選點(diǎn)計(jì)算出采樣分?jǐn)?shù)后，從大到小對(duì)采樣分?jǐn)?shù)進(jìn)行排序，選取前m個(gè)樣本點(diǎn)作為Voronoi站點(diǎn)。

根據(jù)前期工作，應(yīng)力分布與相對(duì)密度之間的映射關(guān)系^[12]可以表示為

式（5）中：σⁱ_e表示等效應(yīng)力，即第i節(jié)點(diǎn)的von Mises；σ_p表示基材的比例極限。

3）根據(jù)加權(quán)Voronoi站點(diǎn)構(gòu)建三維Voronoi圖。鞋中底模型邊界框內(nèi)的三維Voronoi圖，如圖4所示。由圖4可知：通過(guò)加權(quán)隨機(jī)采樣計(jì)算的三維Voronoi圖可以精確地匹配足底壓力，并可以根據(jù)力學(xué)條件調(diào)節(jié)密度分布。Voronoi胞元在高應(yīng)力區(qū)域（圖2（b）中的跖骨和后跟區(qū)域）變得更密集；相反，Voronoi胞元在低應(yīng)力區(qū)域（圖2（b）中腳趾和足弓的區(qū)域）變得更稀疏。

三維Voronoi圖在鞋中底的最小邊界框內(nèi)生成。為了使三維Voronoi圖適配鞋中底外形，求長(zhǎng)方體包圍盒中生成的三維Voronoi圖與鞋中底模型的交集。為簡(jiǎn)化三維Voronoi圖和鞋中底模型間交叉點(diǎn)的計(jì)算，應(yīng)先確定Voronoi單元和鞋中底模型的相對(duì)位置，只允許與模型有交叉點(diǎn)的Voronois單元參與剪切操作。Voronoi胞元裁剪與重構(gòu)算法，如圖5所示。

適配邊界約束的三維Voronoi圖，如圖6所示。

1.4 隨機(jī)采樣對(duì)多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響

為了為探究Voronoi站點(diǎn)隨機(jī)分布對(duì)模型壓縮力學(xué)性能的影響，在站點(diǎn)數(shù)量一致的前提下，生成相對(duì)密度（ω）分別為0.3，0.4，0.5，尺寸（長(zhǎng)×寬×高）為36 mm×36 mm×36 mm的3組Voronoi支桿立方體模型，每組有5個(gè)模型，其相對(duì)密度保持一致。將設(shè)計(jì)好的支桿模型通過(guò)CREALITY CR-3040 Pro型熔融沉積成型（FDM）打印機(jī)進(jìn)行打印，打印材料選擇聚乳酸（PLA）絲材，通過(guò)拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得材料的楊氏模量為 2 400 MPa，泊松比為0.35。3組Voronoi支桿立方體模型的打印結(jié)果，如圖7所示。圖7中：每排模型的質(zhì)量均保持一致。

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1041-1992《塑料拉伸性能試驗(yàn)法》，在TSE504D型萬(wàn)能機(jī)械試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，壓縮速度為1 mm·min^-1。3組Voronoi支桿結(jié)構(gòu)隨機(jī)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖8所示。圖8中：F為壓力；D為位移。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)密度相同的支桿模型在彈性階段的力學(xué)性能基本一致，說(shuō)明在彈性階段隨機(jī)性對(duì)模型力學(xué)性能的影響較?。划?dāng)進(jìn)入塑性變形階段時(shí)，曲線的變化趨勢(shì)仍相似，但數(shù)值的波動(dòng)較大，相對(duì)密度為0.3，0.4，0.5的3組實(shí)驗(yàn)的最大相對(duì)誤差分別為10.07%，9.61%，8.72%。這是因?yàn)樵谡军c(diǎn)隨機(jī)分布的情況下，有些地方支桿相對(duì)密集而有些位置較為稀疏，在變形乃至壓潰過(guò)程中支桿提供的支持不一致，在塑性變形階段支桿模型的力學(xué)性能受隨機(jī)性影響較大。對(duì)于鞋中底來(lái)說(shuō)，其變形都保持在彈性范圍內(nèi)，因而可以忽略隨機(jī)采樣的影響。

1.5 基于Voronoi邊的隱式曲面建模

1.5.1 隱式曲面 在獲得適配鞋中底模型邊界的Voronoi圖后，相當(dāng)于獲得了多孔結(jié)構(gòu)的布局，接下來(lái)的工作是將其實(shí)體化，形成可3D打印的多孔結(jié)構(gòu)鞋中底模型。為此，以Voronoi圖的邊作為骨架線，結(jié)合隱式曲面建模技術(shù)構(gòu)建Voronoi支桿結(jié)構(gòu)。在三維空間中隱式曲面的定義為

S_α={q∈R³|F（q）=α}。（6）

式（6）中：q為三維空間點(diǎn)；F（q）為勢(shì)函數(shù)；α為等勢(shì)值。

與參數(shù)曲面相比，隱式曲面雖然可控性差，但易于判斷與空間點(diǎn)的相對(duì)位置。當(dāng)F（q）>α?xí)r，q在閉合曲面外部；當(dāng)F（q）<α?xí)r，q在閉合曲面內(nèi)部；當(dāng)F（q）=α?xí)r，q在曲面上。此外，隱式曲面具有很高的光滑性。隱式曲面造型的關(guān)鍵問(wèn)題是構(gòu)造勢(shì)函數(shù)F（q），通過(guò)設(shè)計(jì)勢(shì)函數(shù)能夠得到復(fù)雜的曲面^[13]。

以Voronoi胞元的邊為骨架線，根據(jù)空間點(diǎn)與骨架線的距離建立勢(shì)函數(shù)。即

F_e（q）=（q-v_i）·n_i。（7）

式（7）中：v_i為Voronoi頂點(diǎn)；n_i為空間點(diǎn)q指向Voronoi邊V_e垂直方向的單位法矢。

根據(jù)勢(shì)函數(shù)的定義，等勢(shì)值α相當(dāng)于以Voronoi胞元的邊（骨架線）為中心軸線構(gòu)造半徑為α的Voronoi圓柱支桿。當(dāng)α =0時(shí)，點(diǎn)與骨架線的距離為0，所獲得的支桿為骨架線本身。

1.5.2 隱式函數(shù)的調(diào)和 基于隱式曲面的3D Voronoi支桿結(jié)構(gòu)，如圖9所示。直接以Voronoi邊為骨架結(jié)合隱式函數(shù)計(jì)算得到的Voronoi支桿在其頂點(diǎn)位置會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，即多個(gè)支桿間相互交叉（圖9（a））。交叉位置容易出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，為了保證模型的力學(xué)性能及整體結(jié)構(gòu)的連續(xù)性和美觀性，需要對(duì)其做進(jìn)一步的處理。傳統(tǒng)的處理方法是在頂點(diǎn)處放置一球體，讓球體分別與相連的支桿模型做布爾并運(yùn)算。這種方法計(jì)算量巨大且依賴于網(wǎng)格質(zhì)量，魯棒性差。為此，采用勢(shì)函數(shù)調(diào)和策略，將對(duì)三角網(wǎng)格模型的布爾操作問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題，克服因大量布爾運(yùn)算帶來(lái)的數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定、計(jì)算量大、魯棒性差等問(wèn)題。

相鄰Voronoi支桿間融合的具體實(shí)現(xiàn)如下。首先，構(gòu)造空間點(diǎn)到Voronoi邊的勢(shì)函數(shù)F_e（q），根據(jù)式（7）實(shí)現(xiàn)。其次，構(gòu)造空間點(diǎn)到Voronoi頂點(diǎn)（Voronoi邊的端點(diǎn)）的勢(shì)函數(shù)F_v（q），根據(jù)空間點(diǎn)q與Voronoi頂點(diǎn)v_i的距離建立勢(shì)函數(shù)。即

式（8）中：（q_x，q_y，q_z）表示空間點(diǎn)q的三維坐標(biāo)值；（v_i，x，v_i，y，v_i，z）表示頂點(diǎn)v_i的三維坐標(biāo)值。

最后，將同一Voronoi胞元的頂點(diǎn)和其對(duì)應(yīng)的Voronoi邊相接處的勢(shì)函數(shù)調(diào)和疊加進(jìn)行勢(shì)值融合操作。使用Ricci超橢圓融合算子實(shí)現(xiàn)相交處的平滑過(guò)渡^[14]，廣義融合操作為

式（9）中：β表示調(diào)節(jié)因子，當(dāng)β =1時(shí)，為狹義融合操作；當(dāng)β→∞時(shí)，融合效果與布爾并操作相似；當(dāng)β→-∞時(shí)，融合效果接近布爾交操作，文中β取值為2。經(jīng)調(diào)和處理后的接頭效果，如圖9（b）所示。

由上述方法生成的與足底壓力相適配的多孔結(jié)構(gòu)鞋中底模型，如圖10所示。由圖10可知：鞋中底在密度上具有漸變和連續(xù)過(guò)渡。從局部放大圖中可以看出，Voronoi胞元在跖骨和足跟區(qū)域更密集，而在腳趾和足弓區(qū)域，Voronoi胞元更稀疏。

2 鞋中底性能測(cè)試

多孔結(jié)構(gòu)雖然具備非常好的性能，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，傳統(tǒng)加工或成型方法都無(wú)法制造。3D打印技術(shù)的快速進(jìn)步使多孔結(jié)構(gòu)的快速制造成為可能。在眾多的3D打印技術(shù)中，F(xiàn)DM工藝簡(jiǎn)單，設(shè)備便宜，因此選用FDM打印鞋中底。打印材料選用聚氨酯（TPU），該材料具有良好的彈性、柔韌性、耐磨性、耐用性，成本低廉。TPU的楊氏模量為26 MPa，泊松比為0.46。打印設(shè)置層厚為0.1 mm，打印速度為15 mm·s^-1。3D打印Voronoi支桿鞋中底模型，如圖11所示。由圖11可知：選擇TPU打印材料的鞋中底具有較好的變形能力。

2.1 靜態(tài)足底壓力測(cè)試

靜態(tài)足底壓力實(shí)驗(yàn)是一種有效評(píng)估站立時(shí)足底表面壓力分布的方法，該實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛑庇^地提供用戶足部生物力學(xué)有價(jià)值的信息，特別是矯形設(shè)計(jì)相關(guān)信息。檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的Voronoi鞋中底性能最直接、有效的方式是對(duì)足底壓力進(jìn)行采集。使用F-Scan測(cè)量系統(tǒng)對(duì)靜態(tài)的足底壓力進(jìn)行測(cè)量，將足底壓力傳感器貼合在鞋中底的上表面，被測(cè)人員雙腳綁上固定繃帶，將Cuff貼在繃帶上以保證壓力傳感器穩(wěn)定不受外界噪聲干擾。體質(zhì)量為75 kg的被測(cè)人員挺直站立于貼有鞋墊式壓力傳感器的鞋中底上，采集靜態(tài)站立時(shí)的足底峰值壓力，如圖12所示。

在足部健康研究中，足底峰值壓力是一個(gè)重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)。峰值壓力越大或足底壓力分布越集中，地面回彈力越大，足部舒適度越低，越容易出現(xiàn)疲勞或局部損傷，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致關(guān)節(jié)損傷^[15]。當(dāng)峰值壓力較小且分布較均勻時(shí)，不僅可以提高穿著的舒適性，而且在一定程度上能夠糾正特殊足型局部壓力異常集中的問(wèn)題。為了更準(zhǔn)確地獲取足底壓力數(shù)據(jù)，分別對(duì)足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底和重心Voronoi支桿鞋中底進(jìn)行5次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，記錄后跟和跖骨的峰值壓力，如表1所示。

靜態(tài)站立時(shí)的足底峰值壓力云圖，如圖13所示。由表1和圖13可知：在靜態(tài)站立時(shí)，左、右足的峰值壓力略有偏差，但總體的趨勢(shì)保持一致。

對(duì)5組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均值，擬合得到沿腳長(zhǎng)方向的足底壓力曲線，如圖14所示。圖14中：P為足底壓力；L為腳長(zhǎng)；藍(lán)色區(qū)域?yàn)轷殴菂^(qū)域；紅色區(qū)域?yàn)楹蟾鷧^(qū)域。由圖14可知：足底受力區(qū)域主要集中在跖骨及后跟區(qū)域，雙足足底壓力曲線均呈現(xiàn)典型的雙峰特征；跖骨區(qū)域，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力為0.071 MPa，相比重心Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力（0.095 MPa）下降了25.3%；后跟區(qū)域，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力為0.085 MPa，相比重心Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力（0.129 MPa）下降了34.1%。

中設(shè)計(jì)的鞋中底能夠顯著降低靜態(tài)站立時(shí)跖骨和后跟區(qū)域的壓力，同時(shí)使鞋中底的壓力分布更加均勻，表明足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底可以有效調(diào)整足底壓力分布，提供更舒適的穿著體驗(yàn)，減少足部支撐負(fù)擔(dān)，降低足部及關(guān)節(jié)損傷的風(fēng)險(xiǎn)。

2.2 步態(tài)分析對(duì)比

步態(tài)是步行的行為特征，分析評(píng)估步行時(shí)的足底壓力變化，對(duì)臨床診斷、療效評(píng)估和術(shù)后療效評(píng)價(jià)均具有重要意義?？此坪?jiǎn)單的步行實(shí)際上是由一系列復(fù)雜的動(dòng)作組成，一般來(lái)說(shuō)，步行被定義為一系列連續(xù)的步態(tài)，一個(gè)步態(tài)周期是指同一腳跟2次觸地之間的時(shí)間間隔。步態(tài)由支撐階段和擺動(dòng)階段組成，其中，支撐階段為足部接觸地面的時(shí)間，約占步態(tài)周期的60%，主要為單足支撐。

研究穿著不同鞋中底的鞋在行走過(guò)程中足底的壓力變化。動(dòng)態(tài)足底壓力測(cè)量，如圖15所示。步態(tài)采集過(guò)程中，測(cè)試人員穿著文中設(shè)計(jì)的鞋中底以平常的步態(tài)自然行走，實(shí)時(shí)采集步行過(guò)程中的足部壓力，獲得整個(gè)行走過(guò)程中足底各處的壓力、峰值壓力等數(shù)據(jù)。行走過(guò)程中步態(tài)周期由兩個(gè)單步組成，受試者在步行的支撐階段單側(cè)腳經(jīng)歷了后跟觸地、整足觸地、跖骨觸地和腳趾觸地4個(gè)階段。

分別對(duì)足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底和重心Voronoi支桿鞋中底進(jìn)行步態(tài)測(cè)試，相應(yīng)的步態(tài)壓力云圖和足底壓力-時(shí)間（t）曲線，如圖16所示。由圖16可知：在行走過(guò)程中，相較于重心Voronoi支桿鞋中底，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的壓力值更低。

行走過(guò)程中鞋底不同區(qū)域的峰值壓力，如表2所示。表2中：P₁為足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力；P₂為重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力。

對(duì)比一個(gè)步態(tài)周期（足底壓力-時(shí)間曲線圖中框出來(lái)的區(qū)域），支撐階段的前期，即一側(cè)足跟第1次接觸地面到整個(gè)足底剛剛接觸地面時(shí)，該時(shí)間約占整個(gè)步態(tài)周期的10%，足底觸底時(shí)出現(xiàn)最大峰值壓力；支撐階段的中期，此時(shí)左足足底部完全接觸地面支撐著身體全部質(zhì)量，這個(gè)時(shí)間約占步態(tài)周期的30%，由于整只腳參與受力，足底壓力降低；支撐階段的后期，即支撐腿足跟離地到足尖離地時(shí)，該時(shí)間約占步態(tài)周期的20%，該階段力從足跟傳遞到腳趾，在跖骨和地面接觸時(shí)，出現(xiàn)次峰值。行走過(guò)程中，足跟與前掌跖骨是主要著地部位，承受著人體質(zhì)量和行走負(fù)荷的絕大部分，從足跟著地到腳尖離地的過(guò)程中，足底所受的力也隨之傳遞。

在足跟觸地時(shí)，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力降低了27.9%；在跖骨觸地時(shí)，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力降低了27.0%；足弓區(qū)域壓力值大小基本一致。由此可以看出，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的足弓部分提供了更大支撐，能夠顯著減輕足跟和跖骨部位的負(fù)重，減少行走過(guò)程中的負(fù)荷，緩解行走過(guò)程中的疲勞。

3 結(jié)論

通過(guò)加權(quán)隨機(jī)采樣策略，構(gòu)建應(yīng)力分布向密度分布的映射關(guān)系，提出足底壓力映射的多孔結(jié)構(gòu)鞋中底設(shè)計(jì)方法。對(duì)所設(shè)計(jì)的鞋中底進(jìn)行3D打印成型，并進(jìn)行靜態(tài)腳底壓力測(cè)評(píng)和步態(tài)分析，得出以下3個(gè)結(jié)論。

1）根據(jù)掃描的實(shí)際足部模型和測(cè)量的實(shí)際足底壓力分布，計(jì)算鞋中底的壓力分布，從而驅(qū)動(dòng)生成相應(yīng)的變密度三維Voronoi圖，可以實(shí)現(xiàn)應(yīng)力場(chǎng)與密度分布的精確映射。

2）測(cè)試證明，所設(shè)計(jì)的鞋中底可以降低足底峰值壓力，使足底壓力分布更加均勻，有利于改善足部健康。在足跟觸地時(shí)，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底峰值壓力降低了27.9%；在跖骨觸地時(shí)，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力降低了27.0%；足弓區(qū)域壓力值大小基本一致。足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的足弓部分提供了更大支撐，能夠顯著減輕足跟和跖骨部位的負(fù)重，減少行走過(guò)程中的負(fù)荷，緩解行走過(guò)程中的疲勞。

3）所提設(shè)計(jì)方法將多孔結(jié)構(gòu)分布與多孔實(shí)體生成分開處理，有利于解決鞋底級(jí)放過(guò)程中多孔結(jié)構(gòu)支桿半徑與模型整體縮放比例不一致的矛盾，可以實(shí)現(xiàn)在鞋底級(jí)放過(guò)程中保持多孔結(jié)構(gòu)支桿半徑不變，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉浪.不同中底硬度和厚度的跑鞋對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)下肢生物力學(xué)特征的影響[D].北京：首都體育學(xué)院，2022.

[2]ACTIS R L，VENTURA L B，LOTT D J，et al.Multi-plug insole design to reduce peak plantar pressure on the diabetic foot during walking[J].Medical and Biological Engineering and Computing，2008，46：363-371.DOI：10.1007/s11517-008-0311-5.

[3]BUS S A.The role of pressure offloading on diabetic foot ulcer healing and prevention of recurrence[J].Plastic and Reconstructive Surgery，2016，138（3S）：179S-187S.DOI：10.1097/PRS.0000000000002686.

[4]LAM W K，NG W X，KONG P W.Influence of shoe midsole hardness on plantar pressure distribution in four basketball-related movements[J].Research in Sports Medicine，2017，25（1）：37-47.DOI：10.1080/15438627.2016.1258643.

[5]CHEVALIER T L，HODGINS H，CHOCKALINGAM N.Plantar pressure measurements using an in-shoe system and a pressure platform： A comparison[J].Gait and Posture，2010，31（3）：397-399.DOI：10.1016/j.gaitpost.2009.11.016.

[6]BULDT A K，ALLAN J J，LANDORF K B，et al.The relationship between foot posture and plantar pressure during walking in adults： A systematic review[J].Gait and Posture，2018，62：56-67.DOI：10.1016/j.gaitpost.2018.02.026.

[7]FRECKLINGTON M，DALBETH N，MCNAIR P，et al.Footwear interventions for foot pain，function，impairment and disability for people with foot and ankle arthritis： A literature review[J].Seminars in Arthritis and Rheumatism，2018，47（6）：814-824.DOI：10.1016/j.semarthrit.2017.10.017.

[8]CHENG Huaqin，LIU Bin，LIU Meiying，et al.Design of 3D Voronoi strut midsoles driven by plantar pressure distribution[J].Journal of Computational Design and Engineering，2022，9（4）：1410-1429.DOI：10.1093/jcde/qwac0 60.

[9]RYCROFT C H.VORO++： A three-dimensional Voronoi cell library in C++[J].Chaos，2009，19（4）：041111.DOI：10.1063/1.3215722.

[10]LLOYD S.Least squares quantization in PCM[J].IEEE Transactions on Information Theory，1982，28（2）：129-137.

[11]EFRAIMIDIS P S，SPIRAKIS P G.Weighted random sampling with a reservoir[J].Information Processing Letters，2006，97（5）：181-185.DOI：10.1016/j.ipl.2005.11.003.

[12]LIU Bin，CHENG Huaqin，LIU Meiying，et al.Adaptive anisotropic porous structure design and modeling for 2.5D mechanical parts[J].Materials and Design，2021，206：109786.DOI：10.1016/j.matdes.2021.109786.

[13]SAHBAEI P，MOULD D，WYVILL B.Implicit representation of inscribed volumes[C]∥Proceedings of the Joint Symposium on Computational Aesthetics and Sketch-Based Interfaces and Modeling and Non-Photorealistic Animation and Rendering.Victoria：Association for Computing Machinery，2018：1-7.DOI：10.1145/3229147.3229164.

[14]SUGIHARA M，GROOT E D，WYVILL B，et al.A sketch-based method to control deformation in a skeletal implicit surface modeler[C]∥Proceedings of the Fifth Eurographics Conference on Sketch-Based Interfaces and Modeling.Annecy：Eurographics Association，2008：65-72.DOI：10.2312/SBM/SBM08/065-072.

[15]程華欽.應(yīng)力場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的 Voronoi 多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[D].廈門：華僑大學(xué)，2022.

（責(zé)任編輯：黃曉楠 ?英文審校：吳躍勤）