基于k-nearest算法的增強(qiáng)型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

曹 偉，蔡和倫，謝卓尊，劉 斌，江開勇

(華僑大學(xué) 福建省特種能場制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/廈門市數(shù)字化視覺測量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 廈門 361021)

0 引言

多孔結(jié)構(gòu)具有比強(qiáng)度高、比表面積大、輕量節(jié)材、饋能減振等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、生物醫(yī)療等眾多領(lǐng)域。近年來，隨著增材制造技術(shù)的飛速發(fā)展，使得具有復(fù)雜內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)的零件制造成為可能，因此多孔結(jié)構(gòu)的輕量化、定制化設(shè)計(jì)和建模逐漸成為當(dāng)前增材制造技術(shù)最具挑戰(zhàn)性的研究方向之一，主要表現(xiàn)為建模過程復(fù)雜、數(shù)據(jù)量龐大、計(jì)算和仿真成本較高等。此外，對于更加復(fù)雜的功能梯度多孔結(jié)構(gòu)(Functionally Gradient Porous Materials, FGPMs)，要求根據(jù)零件局部應(yīng)力大小和方向設(shè)計(jì)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，在保證幾何連續(xù)的情況下滿足梯度力學(xué)性能，極大地增加了設(shè)計(jì)復(fù)雜度。

根據(jù)建模方法的不同，多孔結(jié)構(gòu)可以分為規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)和不規(guī)則的隨機(jī)多孔結(jié)構(gòu)。由于設(shè)計(jì)方便、可控性高，早期的多孔結(jié)構(gòu)大多基于規(guī)則胞元的晶格結(jié)構(gòu)，即采用規(guī)則胞元陣列填充設(shè)計(jì)空間，主要包括蜂窩結(jié)構(gòu)、菱形晶格結(jié)構(gòu)、立方體結(jié)構(gòu)、三周期極小曲面等[1-3]。蜂窩結(jié)構(gòu)是一種由眾多柱狀孔穴胞元密鋪組成的多孔結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在節(jié)省材料的同時(shí)，保證了較高的比強(qiáng)度與比剛度。邢昊等[4]針對二維蜂窩結(jié)構(gòu)在共面方向集中載荷作用下承載性能不足的問題,提出一種基于拓?fù)鋬?yōu)化密度映射的非均勻蜂窩結(jié)構(gòu)建模方法。針對多孔結(jié)構(gòu)內(nèi)部支撐難以去除的問題，WU等[5]提出一種自支撐的菱形晶格結(jié)構(gòu)，并用該結(jié)構(gòu)填充零件內(nèi)部，通過調(diào)節(jié)不同晶格的壁厚實(shí)現(xiàn)力學(xué)性能的梯度分布;WANG等[6]提出一種改進(jìn)的面心立方多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，通過選擇性激光融化(Selective Laser Melting, SLM)工藝打印后研究其抗沖擊行為。三周期極小曲面(Triply-Periodic Minimal Surface, TPMS)是一種數(shù)學(xué)上定義的空間結(jié)構(gòu)，整個(gè)結(jié)構(gòu)沒有自交點(diǎn)，具有無限延伸表面和復(fù)雜的開孔結(jié)構(gòu)[7]。REN等[8]提出一種多尺度混合TPMS優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，該模型能較好地解決不同尺度下TPMS間邊界的連續(xù)性問題，并建立了應(yīng)力與TPMS之間的映射關(guān)系。此外，在上述結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上，還衍生出一些變異的晶格結(jié)構(gòu)，例如對稱雙金字塔型的十二面體結(jié)構(gòu)、星型結(jié)構(gòu)等，通過改變連接桿的直徑或面的厚度實(shí)現(xiàn)力學(xué)性能的梯度分布[9-10]。雖然規(guī)則晶格多孔結(jié)構(gòu)能夠降低設(shè)計(jì)復(fù)雜度、減少設(shè)計(jì)周期，但是由于其固有特性，其設(shè)計(jì)自由度較低，對復(fù)雜模型的適應(yīng)性較差，難以進(jìn)行各向異性設(shè)計(jì)，可能造成幾何結(jié)構(gòu)、力學(xué)性能的不連續(xù)，限制了其使用范圍。

隨機(jī)多孔結(jié)構(gòu)是一種不規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)，它不僅適用復(fù)雜模型，設(shè)計(jì)自由度高，還能完美解決規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)幾何、力學(xué)性能不連續(xù)等問題。典型的隨機(jī)多孔結(jié)構(gòu)包括基于拓?fù)鋬?yōu)化的多孔結(jié)構(gòu)、基于維諾圖的多孔結(jié)構(gòu)等。拓?fù)鋬?yōu)化是一種根據(jù)給定約束，在設(shè)計(jì)域內(nèi)對材料分布進(jìn)行優(yōu)化的方法[11]。DAYNES等[12]提出一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的功能梯度多孔結(jié)構(gòu)建模方法，并通過實(shí)驗(yàn)證明其強(qiáng)度和剛度遠(yuǎn)高于同等質(zhì)量的規(guī)則立方體晶格結(jié)構(gòu)。然而，拓?fù)鋬?yōu)化方法大多用于優(yōu)化二維結(jié)構(gòu)，對三維模型的適用性較差，無法滿足對復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)建模的需求。維諾多孔結(jié)構(gòu)是一種模擬自然界物體的理想結(jié)構(gòu)，如骨骼、海綿等。MARTNEZ等[13]提出一種基于直桿的三維維諾多孔結(jié)構(gòu)的高效設(shè)計(jì)方法。在此基礎(chǔ)上，LIU等[14-15]將三維維諾圖與隱式曲面相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種全連通的光滑多孔結(jié)構(gòu)，有效避免了應(yīng)力集中。雖然三維維諾多孔結(jié)構(gòu)可控性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)連續(xù)，但建模復(fù)雜度高，且難以實(shí)現(xiàn)各向異性多孔結(jié)構(gòu)的建模。

1 增強(qiáng)型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)建模

1.1 建模流程

本文提出的基于改進(jìn)k-nearest算法的增強(qiáng)型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)流程如圖1所示，其初始輸入條件包括站點(diǎn)密度場ρ和方向場φ。首先，采用站點(diǎn)隨機(jī)采樣算法將密度場映射為設(shè)計(jì)域內(nèi)的站點(diǎn)分布，控制正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的梯度分布；在設(shè)計(jì)域內(nèi)疊加方向場，將其映射為黎曼空間中的流形場，實(shí)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)局部正交各向異性的任意旋轉(zhuǎn)。需要說明的是，初始的密度場ρ和方向場φ可以從模型有限元分析的應(yīng)力場提取，也可以交互式輸入。其次，計(jì)算鄰域內(nèi)站點(diǎn)間的黎曼距離，采用改進(jìn)的k-nearest算法連接相鄰的k(k≥2)個(gè)站點(diǎn)，生成2D多孔結(jié)構(gòu)模型；最后，對生成的2D多孔結(jié)構(gòu)在厚度方向進(jìn)行拉伸，可以得到2.5D多孔結(jié)構(gòu)模型，并最終通過3D打印機(jī)打印成型。

1.2 站點(diǎn)隨機(jī)采樣

站點(diǎn)的隨機(jī)采樣是建立多孔結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，本文提出一種密度場驅(qū)動的站點(diǎn)隨機(jī)采樣算法，先將設(shè)計(jì)域離散化為一系列正方形柵格，然后通過給定的密度場函數(shù)ρ在每一個(gè)網(wǎng)格中進(jìn)行隨機(jī)采樣。以二維設(shè)計(jì)域?yàn)槔?，站點(diǎn)隨機(jī)采樣過程如圖2所示，具體算法如下：

步驟1將二維設(shè)計(jì)域離散為邊長為a的正方形柵格。

步驟2根據(jù)站點(diǎn)密度函數(shù)場ρ，計(jì)算柵格i內(nèi)的站點(diǎn)數(shù)量ti=a2ρi。

步驟3將柵格i等分為4個(gè)正方形子?xùn)鸥瘛?/p>

步驟4若柵格i內(nèi)的站點(diǎn)數(shù)量ti≤4，則隨機(jī)選取ti個(gè)子?xùn)鸥?，并分別在每個(gè)子?xùn)鸥駜?nèi)部任意位置隨機(jī)生成一個(gè)站點(diǎn)。

步驟5若ti>4，則轉(zhuǎn)步驟2，重新計(jì)算子?xùn)鸥裰械恼军c(diǎn)數(shù)，劃分柵格，并隨機(jī)生成站點(diǎn)(如圖2)。重復(fù)步驟2～步驟5，直至所有區(qū)域的站點(diǎn)分配完成。

對于3D模型，其站點(diǎn)隨機(jī)采樣算法和上述2D模型的算法類似，不同之處在于：需要將3D模型對應(yīng)的三維設(shè)計(jì)域離散化為邊長為a的立方體柵格，然后將每個(gè)柵格平均劃分為8個(gè)邊張相等的子?xùn)鸥?，一般采用八叉樹結(jié)構(gòu)表示。

從圖2可以看出，設(shè)計(jì)域內(nèi)站點(diǎn)的分布是由密度場ρ驅(qū)動的，是多孔結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)彈性性能梯度分布的根本因素，其原因在于站點(diǎn)分布的特征決定了材料局部分布，從而直接影響其局部力學(xué)性能。即站點(diǎn)分布密集的區(qū)域，材料分配相對較多，力學(xué)性能相對較高；相反地，站點(diǎn)分布稀疏的區(qū)域，材料分配較少，力學(xué)性能相對較低。因此，該算法可以通過站點(diǎn)密度分布函數(shù)從宏觀上控制多孔結(jié)構(gòu)不同部位的力學(xué)性能，在應(yīng)力較大的部位設(shè)置較大的站點(diǎn)密度，增加力學(xué)性能；反之，在應(yīng)力較小的部位設(shè)置較小的站點(diǎn)密度，節(jié)約材料。此外，在微觀上又能保持局部隨機(jī)性，從而保證梯度多孔結(jié)構(gòu)的幾何連續(xù)性。

隨機(jī)采樣算法中輸入的密度場函數(shù)ρ可以由用戶指定，也可以從模型的有限元分析得到，如圖3所示。

1.3 方向場

方向場主要用于控制正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)正交軸的旋轉(zhuǎn)方向。對于設(shè)計(jì)域中任意點(diǎn)鄰域內(nèi)的多孔結(jié)構(gòu)單元，其強(qiáng)度最高的正交軸方向始終與方向場保持一致，從而增強(qiáng)多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，降低材料消耗。方向場可以有多種形式，如場函數(shù)、流形場、應(yīng)力方向場等。

1.4 改進(jìn)的k-nearest算法

將方向場映射為黎曼空間中的流形場，采用黎曼距離計(jì)算站點(diǎn)間的“距離”，實(shí)現(xiàn)任意局部區(qū)域各向異性方向的旋轉(zhuǎn)，從而建立起具有梯度彈性性能的多孔結(jié)構(gòu)。為方便理解，本節(jié)以二維黎曼空間為例闡述各向異性多孔結(jié)構(gòu)的建模過程，且可以較為容易地拓展到三維黎曼空間。

1.4.1 黎曼度量

設(shè)點(diǎn)p是二維黎曼空間Ω中的一點(diǎn)，p點(diǎn)處的度規(guī)張量矩陣M(p)可視為一個(gè)正定矩陣，即

(1)

M(p)=ETUE,

(2)

(3)

(4)

定義1設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)p與q是黎曼空間Ω中任意兩點(diǎn)，M為p點(diǎn)對應(yīng)的黎曼度量，則從p點(diǎn)到q點(diǎn)的有向距離dp(p,q)定義為：

(5)

由于M(p)≠M(fèi)(q)，在黎曼空間中點(diǎn)p與點(diǎn)q的距離是非對稱的，會導(dǎo)致p到q的有向距離與q到p的有向距離在數(shù)值上不一致，即dp(p,q)≠dq(q,p)，因此本文將兩點(diǎn)間的“距離”定義為：

(6)

1.4.2k-nearest算法

如圖5所示為采用文獻(xiàn)[16]中的k-nearest算法設(shè)計(jì)的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)：依次遍歷所有站點(diǎn)，對每個(gè)站點(diǎn)采用直線連接與其“距離”最近的k(k=2,3,4,…)個(gè)站點(diǎn)，并賦予每條直線寬度t(即2.5D多孔結(jié)構(gòu)的壁厚，t≥2τ,τ為打印機(jī)的最小打印尺寸，如打印機(jī)噴頭直徑等)和厚度h，即可生成最終的2.5D正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)。

1.4.3 算法改進(jìn)

從圖5可以看出，采用k-nearest算法生成的各向異性多孔結(jié)構(gòu)存在兩個(gè)明顯缺陷：

(1)在站點(diǎn)分布相對稀疏的區(qū)域會沿方向場生成較大的孔洞，這種孔洞比期望的孔洞大一個(gè)量級，如圖5b中橙色圈所示。

(2)在站點(diǎn)分布相對密集的區(qū)域，多條線段會產(chǎn)生交叉現(xiàn)象。交叉點(diǎn)相當(dāng)于增加了站點(diǎn)數(shù)量，導(dǎo)致實(shí)際站點(diǎn)密度和期望的站點(diǎn)密度ρi存在較大誤差，如圖5b中藍(lán)色圈中所示。

這種不均勻的孔洞分布以及新增的站點(diǎn)，不僅使多孔結(jié)構(gòu)不符合設(shè)計(jì)要求，還會導(dǎo)致材料分布不均勻，產(chǎn)生應(yīng)力集中，嚴(yán)重影響多孔結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)性能。此外，在后續(xù)模型3D打印成型時(shí)受限于打印機(jī)的精度，過于細(xì)小的孔洞(r≤2τ)幾乎無法打印。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生上述兩種缺陷的根本原因是由于算法沒有考慮站點(diǎn)連線相交的情況。

基于此，本文提出一種改進(jìn)的k-nearest算法，可以判斷并去除會產(chǎn)生相交的線段，確保每個(gè)站點(diǎn)均連接k個(gè)相對“最近”的站點(diǎn)。具體算法如下：

步驟1在歐式空間中，計(jì)算當(dāng)前站點(diǎn)ni的鄰域，將鄰域內(nèi)的站點(diǎn)存入存儲器Neighbour中。對2D/3D設(shè)計(jì)域，站點(diǎn)ni的鄰域半徑rni分別為：

(7)

(8)

其中：a為設(shè)計(jì)域內(nèi)劃分柵格的邊長;hui、hvi和hwi分別為ni對應(yīng)的黎曼橢圓/橢球各軸的長度。該方法保證鄰域內(nèi)存在滿足條件的k個(gè)站點(diǎn)的同時(shí)，又避免了在黎曼空間中進(jìn)行全局搜索，提高了算法效率。

步驟2在黎曼空間中，按式(6)計(jì)算ni與鄰域(Neighbour)內(nèi)站點(diǎn)的“距離”，并從小到大排序。

步驟3依次從排序后的Neighbour取出站點(diǎn)，判斷ni與該點(diǎn)的連線與已生成的結(jié)構(gòu)M是否相交。若不相交，則用線段連接兩站點(diǎn)，并更新M；若相交，則放棄連接。重復(fù)步驟3，直至與ni連接的站點(diǎn)數(shù)等于k為止。

步驟4遍歷設(shè)計(jì)域內(nèi)所有站點(diǎn)，重復(fù)步驟1～步驟3。

圖6中上下兩欄分別為采用文獻(xiàn)[16]中的k-nearest算法和本文算法在站點(diǎn)分布相同、不同的各向異性度量hx∶hy(x和y為正交軸)下生成的2.5D多孔結(jié)構(gòu)。不難發(fā)現(xiàn)，本文算法能夠明顯地減少上述兩種缺陷，使材料分布更均勻，從而增強(qiáng)了多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

本文算法也能比較容易地拓展至三維空間，區(qū)別在于需要用直徑為d的圓柱體支桿代替二維空間中的線段，判斷當(dāng)前生成的支桿是否會與已生成的結(jié)構(gòu)M產(chǎn)生干涉，并采用布爾運(yùn)算對新支桿與M的三角網(wǎng)格進(jìn)行求交。算法偽代碼如表1所示，生成的三維多孔結(jié)構(gòu)如圖7所示?？梢钥闯?，通過調(diào)整hu、hv和hw的比例，可以非常方便地控制多孔結(jié)構(gòu)在不同正交軸向的各向異性程度。

表1 三維正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)生成算法

1.4.4k值的選取

本文算法的核心是將站點(diǎn)p與其相對“最近”的k個(gè)站點(diǎn)相連，因此，k值的選取十分關(guān)鍵，對多孔結(jié)構(gòu)的連通性和力學(xué)性能都有較大的影響。圖8所示為不同k值對應(yīng)的二維結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k=2,3時(shí)，幾何連通性很差，無法生成多孔結(jié)構(gòu)；當(dāng)k=4,5時(shí)，雖然能夠生成多孔結(jié)構(gòu)，但是仍存在局部區(qū)域不連通，影響了多孔結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能；當(dāng)k≥7時(shí)，雖然結(jié)構(gòu)幾何連通性較好，但過于緊湊，降低了多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間。而BALISTER等[17]已經(jīng)證明當(dāng)k=6時(shí)候，生成的結(jié)構(gòu)最優(yōu)，即具有相對較好的幾何連通性和較大的設(shè)計(jì)空間。因此，在默認(rèn)情況下本文后續(xù)章節(jié)中所建立的多孔結(jié)構(gòu)其k值均為6。

2 多孔結(jié)構(gòu)的性能分析

2.1 各向異性多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)值均質(zhì)化

數(shù)值均質(zhì)化是面向周期性或近周期性材料宏觀性能的有限元分析方法，廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料研究。由于本文算法中的站點(diǎn)生成器是均勻分布的隨機(jī)序列，所生成的站點(diǎn)具有隨機(jī)性，從概率意義上，當(dāng)站點(diǎn)密集時(shí)，即模型宏觀尺寸相對于平均孔徑足夠大時(shí)，模型整體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)近周期性。因此，數(shù)值均質(zhì)化方法仍然適用于本文多孔結(jié)構(gòu)的分析[15-16]。這種達(dá)到近周期性體積的多孔結(jié)構(gòu)模型被稱作代表性體積單元(Representative Volume Element, RVE)，是數(shù)值均質(zhì)化的分析對象。

數(shù)值均質(zhì)化能有效地確定周期性復(fù)合材料的彈性張量。設(shè)材料單元為V，體積為|V|，在材料彈性變形階段，應(yīng)力σ與應(yīng)變ε成線性關(guān)系[18]：

σ=Cε。

(9)

其中C是彈性矩陣，用于表征材料的彈性行為。

為方便編程實(shí)現(xiàn)，本文采用ANDREASSEN等[19]提出的方法，將多孔結(jié)構(gòu)模型劃分為正方形網(wǎng)格，對網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)編號，并施加周期性邊界條件，通過線彈性方程kχ=f求解出χij，可得到均質(zhì)化彈性張量為：

(10)

其中:i、j為對應(yīng)矩陣的第i、j行/列;k為剛度矩陣;f和χ分別是等效節(jié)點(diǎn)的載荷列陣與位移列陣；ke為單元剛度矩陣;χe表示對應(yīng)網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)的整體位移列陣，可以從χ的對應(yīng)節(jié)點(diǎn)中提?。籚e表示對應(yīng)網(wǎng)格單元的體積;N為RVE單元劃分的有限網(wǎng)格單元總數(shù)量。需要說明的是，上式僅適用于描述多孔結(jié)構(gòu)材料的彈性變形行為，而無法描述材料達(dá)到屈服極限后的塑性變形或斷裂行為。

2.2 彈性性能分析

2.2.1 數(shù)值均質(zhì)化分析

為分析本文正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能，對圖6中k-nearest算法和本文算法生成的4組2.5D多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值均質(zhì)化分析。所有結(jié)構(gòu)的尺寸均為50×50×7 mm3，壁厚t=0.4 mm。每組模型的站點(diǎn)分布相同，且站點(diǎn)是均勻隨機(jī)分布的。4組多孔結(jié)構(gòu)的各向異性度量hx∶hy分別為1∶1、1∶3、1∶5和1:7，其中x、y為正交軸。從圖中可以看出，當(dāng)hx∶hy=1∶1時(shí)，所生成的多孔結(jié)構(gòu)呈各向同性；當(dāng)hx∶hy≠1時(shí)，對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)呈明顯的正交各向異性，且比例越大(或越小)，各向異性程度越高。

(11)

(12)

表2 不同多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能分析與對比

由表2可以看出，本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)的相對密度比k-nearest算法生成的有所增加，其增量分別為16.2%、14.3%、17.5%，平均增加16.0%。主要原因是k-nearest算法連接的是絕對“最近”的k個(gè)站點(diǎn)，而本文算法為避免產(chǎn)生相交，連接的是相對“近”的站點(diǎn)，因此桿的平均長度要長于k-nearest算法，導(dǎo)致相對密度增大。雖然本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)相對密度較大，但是其彈性性能相對于k-nearest算法大幅增強(qiáng)，以hx∶hy=1∶3為例，本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)在x、y方向上的相對彈性模量分別增強(qiáng)了133.3%和26.9%。

2.2.2 壓縮實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步研究上述正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，驗(yàn)證數(shù)值均質(zhì)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，將圖6中的4組多孔結(jié)構(gòu)采用熔融沉積成型(Fused Deposition Modeling, FDM)工藝進(jìn)行3D打印成型，打印材料選擇為聚乳酸(Polylactic Acid, PLA)，基體彈性模量為1 200 MPa。每種多孔結(jié)構(gòu)打印2組，分別沿x、y方向進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)設(shè)備為萬測電子萬能試驗(yàn)機(jī)(型號：TSE504D)，速率設(shè)置為1 mm/min，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

從圖9b中各組試樣的力—位移曲線可以看出，在多孔結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形之前，本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)能夠承受更大的載荷；隨著多孔結(jié)構(gòu)各向異性程度增加，y方向能承受的最大載荷值逐漸增大，同時(shí)x方向能承受的最大載荷值逐漸降低，該結(jié)果和上一節(jié)數(shù)值均質(zhì)化的結(jié)果保持一致。

此外，通過壓縮實(shí)驗(yàn)，還可以測得試樣的彈性模量。表3所示為壓縮實(shí)驗(yàn)測得的試樣彈性模量與數(shù)值均質(zhì)化計(jì)算的相對彈性模量之間的對比情況?？梢钥闯觯瑢Σ煌毂壤碌?.5D各向異性多孔結(jié)構(gòu)，數(shù)值均值化方法相對于壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差較小，最大相對誤差僅為9.38%，表明數(shù)值均質(zhì)化方法能較為準(zhǔn)確的預(yù)測本文提出的各向異性多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能。

表3 壓縮試驗(yàn)與均質(zhì)化結(jié)果對比

對于三維各向異性多孔結(jié)構(gòu)，采用光固化(Stereolithography，SLA)工藝打印了3組試樣，材料為光敏樹脂，試樣在沿三個(gè)正交軸方向的拉伸比例分別為1∶1∶1、1∶3∶3和1∶1∶3，尺寸均為40×40×40 mm3，桿直徑為d=0.4 mm。對3組試樣分別沿著x、y、z方向進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10和表4所示。

表4 三維各向異性多孔結(jié)構(gòu)壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果 MPa

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨著y、z方向各向異性程度的增加，對應(yīng)方向的彈性性能也相應(yīng)提升，而其他方向上的彈性性能逐漸降低。同時(shí)，從1∶3∶3和1∶1∶3樣品的實(shí)驗(yàn)結(jié)果還可以看出，僅對一個(gè)方向進(jìn)行拉伸的多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能遠(yuǎn)高于在兩個(gè)方向同時(shí)拉伸的多孔結(jié)構(gòu)。

2.2.3 失效分析

通過上述壓縮實(shí)驗(yàn)，測得不同多孔結(jié)構(gòu)在y方向的抗壓強(qiáng)度如表5所示?？梢钥闯觯S著y方向拉伸比例的增加，兩種算法生成的多孔結(jié)構(gòu)在y方向的抗壓強(qiáng)度逐漸增大，但是本文算法生成多孔結(jié)構(gòu)的抗壓強(qiáng)度相比于k-nearest算法有明顯的增強(qiáng)，增強(qiáng)幅度均達(dá)到200%以上。

表5 各向異性多孔結(jié)構(gòu)的抗壓強(qiáng)度

在壓縮實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)試樣承受的壓應(yīng)力超過抗壓強(qiáng)度后，試樣會發(fā)生局部屈服或破裂，進(jìn)而發(fā)生失效，如表6所示(壓縮12%)?？梢钥闯?，在應(yīng)變較大時(shí)，hx∶hy=1∶1的各向同性多孔結(jié)構(gòu)未表現(xiàn)出明顯的失效，且本文結(jié)構(gòu)要優(yōu)于k-nearest算法生成的結(jié)構(gòu)；而1∶3、1∶5和1∶7的各向異性多孔結(jié)構(gòu)均會發(fā)生不同程度的失效，如桿狀結(jié)構(gòu)發(fā)生較大彎曲變形甚至斷裂，且失效大多發(fā)生在孔洞較大的位置，與1.4.3小節(jié)的分析一致。其原因主要是k-nearest算法會導(dǎo)致材料分布不均勻，在孔洞較大的位置材料分布較少，從而產(chǎn)生應(yīng)力集中。雖然本文設(shè)計(jì)的增強(qiáng)型多孔結(jié)構(gòu)能在一定程度上使材料分布更均勻，提高了力學(xué)性能，但是并不能從根本上解決這一問題，當(dāng)多孔結(jié)構(gòu)各向異性程度增大時(shí)，材料分布的不均勻性也隨之增大。

表6 各向異性多孔結(jié)構(gòu)的失效分析(壓縮12%)

2.2.4 隨機(jī)性分析

由于站點(diǎn)是在密度場驅(qū)動下隨機(jī)采樣的，這種隨機(jī)性可能會對多孔結(jié)構(gòu)的彈性性能產(chǎn)生影響，造成性能的不穩(wěn)定。為研究隨機(jī)性的影響程度，在保持站點(diǎn)密度ρ不變的情況下，對hx∶hy=1∶1、1∶3、1∶5和1∶7四種拉伸比例各隨機(jī)生成了3組多孔結(jié)構(gòu)，尺寸為50×50×7 mm3，壁厚t=0.4 mm，如表7所示。從模型外觀上看，站點(diǎn)分布的隨機(jī)性對多孔結(jié)構(gòu)的影響不大。

表7 隨機(jī)生成的站點(diǎn)與對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)

表8 站點(diǎn)隨機(jī)性對多孔結(jié)構(gòu)彈性性能的影響

續(xù)表8

2.2.5 彈性設(shè)計(jì)空間

為了研究本文提出的各向異性多孔結(jié)構(gòu)的彈性設(shè)計(jì)空間，本文隨機(jī)生成了大量相同尺寸的2.5D多孔結(jié)構(gòu)(約2 400個(gè))，其拉伸比例hx∶hy范圍選取為10∶1到1∶10，旋轉(zhuǎn)角度θ=0。對這些多孔結(jié)構(gòu)逐一進(jìn)行數(shù)值均質(zhì)化分析，將其結(jié)果繪制成散點(diǎn)圖如圖11所示。可以看出，各向異性多孔結(jié)構(gòu)對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在對角線的兩側(cè)，且呈對稱分布，即hx∶hy>1對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)分布在對角線的下方，而hx∶hy<1對應(yīng)的多孔結(jié)構(gòu)分布在對角線上方。同時(shí)，隨著拉伸比例的增大，各向異性程度增大，對應(yīng)點(diǎn)距離對角線越遠(yuǎn)。當(dāng)hx=hy時(shí)，多孔結(jié)構(gòu)呈各向同性，對應(yīng)點(diǎn)分布在對角線上。

圖11中散點(diǎn)覆蓋的區(qū)域即為本文所提出的多孔結(jié)構(gòu)(2.5D)的彈性設(shè)計(jì)空間，在多孔結(jié)構(gòu)壁厚為常量時(shí)，其彈性性能主要受兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的影響，即拉伸比例hx∶hy和站點(diǎn)密度ρ。其中，hx∶hy與多孔結(jié)構(gòu)的各向異性呈正相關(guān)，ρ與多孔結(jié)構(gòu)的宏觀彈性性能呈正相關(guān)。需要說明的是，圖11所示的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間僅適用于線彈性階段，多孔結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形時(shí)的力學(xué)性能并不在本文的討論范圍之內(nèi)。

2.3 案例

本節(jié)主要討論正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)用情況，建模過程均采用Visual Studio 2013的MFC框架，搭配CUDA程序并行計(jì)算，在硬件環(huán)境為Inter Core2 i5-10400 CPU，16 GB內(nèi)存與NVIDIA GeForce GTX 1650顯卡的計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，最后通過3D打印機(jī)打印成型。

2.3.1 應(yīng)力驅(qū)動的梯度多孔結(jié)構(gòu)

如圖12所示為采用本文方法設(shè)計(jì)應(yīng)力驅(qū)動的梯度各向異性多孔梁結(jié)構(gòu)的建模過程。首先對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，得到如圖12a所示的應(yīng)力場。將應(yīng)力大小映射為站點(diǎn)密度場，通過1.2節(jié)的隨機(jī)采樣算法可以生成如圖12b所示的站點(diǎn)分布；同時(shí)，將應(yīng)力方向映射為如圖12c所示的方向場。最后采用1.4節(jié)提出的改進(jìn)k-nearest算法生成如圖12d所示的2.5D正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)。梁模型的尺寸為250×50×30 mm3，壁厚t=1 mm，體積分?jǐn)?shù)為43%。為對比分析，本文還設(shè)計(jì)了如圖12e所示的蜂窩結(jié)構(gòu)，其尺寸、壁厚均與圖12d中的多孔結(jié)構(gòu)相同。此外，通過調(diào)整蜂窩結(jié)構(gòu)的胞元大小，使其體積分?jǐn)?shù)也為43%。

采用SLA3D打印機(jī)將上述兩種結(jié)構(gòu)打印成型，打印材料為光敏樹脂。分別對其做三點(diǎn)彎曲破壞性實(shí)驗(yàn)，如圖13a所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備為萬測電子萬能試驗(yàn)機(jī)(型號：TSE504D)，選用彎曲夾具，速率設(shè)置為1 mm/min。實(shí)驗(yàn)測得的力—位移曲線如圖13b所示，其他測試結(jié)果如表9所示。

表9 兩種結(jié)構(gòu)的三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

項(xiàng)目重量/g最大載荷/kN彎曲模量/MPa彎曲強(qiáng)度/MPa蜂窩結(jié)構(gòu)1801.46828 258.1880.1各向異性多孔結(jié)構(gòu)1782.35366 454.81 413.3提升率/%-1.1160.29135.1760.58

不難看出，在兩種結(jié)構(gòu)的重量在幾乎相等的條件下，相比于規(guī)則的蜂窩結(jié)構(gòu)，本文方法設(shè)計(jì)的應(yīng)力驅(qū)動的梯度多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能大幅提升，最大載荷、彎曲模量和彎曲強(qiáng)度分別提升了60.29%、135.17%和60.58%。這是由于本文方法能夠通過站點(diǎn)密度分布調(diào)整局部材料的分布，在應(yīng)力較大的部位分配較多材料，應(yīng)力較少的部位減少材料分配，實(shí)現(xiàn)在相同材料用量的情況下，提升多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能；或在承受相同載荷的情況下，降低材料的用量，達(dá)到綠色節(jié)材的目的。

需要說明的是，由于圖12b中的站點(diǎn)分布是由設(shè)計(jì)者根據(jù)應(yīng)力場和設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)綜合設(shè)置的密度場函數(shù)隨機(jī)采樣得到的，由站點(diǎn)分布驅(qū)動的梯度正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)只是一個(gè)較優(yōu)的結(jié)構(gòu)，還存在一定的優(yōu)化空間。若要獲得最優(yōu)的多孔結(jié)構(gòu)，使材料分布更符合應(yīng)力分布，則需要通過實(shí)驗(yàn)、仿真或機(jī)器學(xué)習(xí)等方法建立應(yīng)力場和站點(diǎn)密度場之間定量的映射模型，從應(yīng)力場得到最優(yōu)站點(diǎn)分布，疊加方向場后生成最優(yōu)的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)，這也是后續(xù)工作需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。此外，由于站點(diǎn)是隨機(jī)采樣得到的，對外觀對稱的模型無法實(shí)現(xiàn)內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)的對稱(如圖12d內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)左右不對稱)，從而會在一定程度影響其美學(xué)特性。

表10列出了k-nearest算法和本文算法在2.5D機(jī)械零件輕量化設(shè)計(jì)應(yīng)用情況的對比分析。通過對零件受力情況進(jìn)行有限元分析，可以得到零件的應(yīng)力分布。將應(yīng)力大小映射為設(shè)計(jì)域內(nèi)的站點(diǎn)分布，應(yīng)力方向映射為方向場，分別采用k-nearest算法和本文算法生成了兩組多孔結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，兩種算法生成的多孔結(jié)構(gòu)均能在滿足材料屈服極限的條件下實(shí)現(xiàn)零件的輕量化，但本文算法生成的多孔結(jié)構(gòu)的最大Mises應(yīng)力明顯小于k-nearest算法，說明本文算法改善了k-nearest算法材料分布不均勻、易產(chǎn)生應(yīng)力集中的現(xiàn)象，增強(qiáng)了多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。此外，若后續(xù)工作中能建立應(yīng)力場和站點(diǎn)密度之間的映射模型，則可以進(jìn)一步對多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)零件最佳輕量化的目標(biāo)。

表10 本文算法在機(jī)械零件輕量化設(shè)計(jì)的應(yīng)用情況

2.3.2 其他應(yīng)用

本文正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法還可以應(yīng)用于其他場景，如圖14所示。圖中模型均采用FDM工藝打印，材料為PLA。其中，圖14a為2.5D椅子模型，通過設(shè)置方向場，可以實(shí)現(xiàn)座位、靠背和椅腿等部位的正交各向異性。圖14b為3D牙齒模型，其內(nèi)部被3D正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)填充。根據(jù)牙齒的受力情況，可以發(fā)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)沿豎直方向和徑向呈正交各向異性，在實(shí)現(xiàn)牙齒模型輕量化的同時(shí)，又能保證在上述兩個(gè)方向上的強(qiáng)度。圖14c為采用正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)填充的3D車輪模型，多孔結(jié)構(gòu)在輪轂部分沿徑向拉伸，使輪轂?zāi)軌虺惺茌^強(qiáng)的徑向力；在輪胎部分沿周向拉伸，使輪胎相對柔軟，從而在運(yùn)動時(shí)實(shí)現(xiàn)緩震的功能。

3 結(jié)束語

本文提出一種基于k-nearest算法的增強(qiáng)型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，通過站點(diǎn)密度場驅(qū)動站點(diǎn)的隨機(jī)采樣，通過改進(jìn)k-nearest算法，疊加全域方向場，生成增強(qiáng)型正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)，并通過3D打印機(jī)將多孔結(jié)構(gòu)打印成型。最后，分別通過數(shù)值均質(zhì)化和壓縮實(shí)驗(yàn)對打印的多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)性能、失效狀態(tài)和隨機(jī)性進(jìn)行了分析和討論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用本文方法設(shè)計(jì)的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)具有更優(yōu)良的彈性性能和更大的彈性設(shè)計(jì)空間。此外，本文提出的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法可控性高，不僅可以通過黎曼橢圓/球的拉伸比例控制局部正交各向異性程度，通過方向場控制各向異性的朝向，還可以通過站點(diǎn)密度場調(diào)控多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的梯度分布。

雖然多孔結(jié)構(gòu)性能明顯增強(qiáng)，但本文方法在實(shí)際工程應(yīng)用中仍存在一定的局限性，即并不能從根本上解決局部材料分布不均勻的情況，尤其是各向異性較大的區(qū)域。其次，由于本文未建立起應(yīng)力分布與站點(diǎn)密度函數(shù)之間的數(shù)學(xué)映射關(guān)系，導(dǎo)致在設(shè)計(jì)時(shí)需要根據(jù)設(shè)計(jì)師經(jīng)驗(yàn)生成站點(diǎn)的隨機(jī)分布，無法實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)過程的智能化和結(jié)果的最優(yōu)化。后續(xù)工作包括：1)解決局部材料分布不均勻問題；2)建立應(yīng)力場與多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，將應(yīng)力大小映射為站點(diǎn)密度，將應(yīng)力方向映射為多孔結(jié)構(gòu)的方向場，從而建立應(yīng)力驅(qū)動的梯度多孔結(jié)構(gòu)模型。