一般觀念統(tǒng)領(lǐng)下的初中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課

鄭為勤 蔡海濤

基金項(xiàng)目：福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（基礎(chǔ)教育研究專項(xiàng)）《新課標(biāo)視域下培育學(xué)生數(shù)學(xué)能力的初高中銜接教學(xué)模式研究》（JSZJ22115）；三明學(xué)院 2023 年面向三明市基礎(chǔ)教育合作項(xiàng)目《三明學(xué)院與三明一中陳景潤(rùn)初中部“三習(xí)”教育實(shí)踐體系構(gòu)建研究》（課題編號(hào)：SMJY2325）的研究成果.

“一般觀念”是指對(duì)本學(xué)科學(xué)習(xí)和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略［1］.數(shù)學(xué)教學(xué)中，為幫助學(xué)生獲得“四基”，發(fā)展“四能”，教師可以通過探究活動(dòng)的選擇與設(shè)計(jì)，課堂活動(dòng)的規(guī)劃與開展，引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展核心素養(yǎng).初中階段的“圖形與幾何”包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題，從演繹推理、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析研究圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系.筆者以一般觀念統(tǒng)領(lǐng)，設(shè)計(jì)“坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)”探究活動(dòng)課，下呈現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)過程與反思，期拋磚引玉.

1? 教學(xué)實(shí)施

1.1? 復(fù)習(xí)引入

填空：（1）已知點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)M（2，3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)是；

（2）已知點(diǎn)M（2，a），點(diǎn)N（a+b，3）.若點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，則a=，b=；

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（3，2）向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后點(diǎn)的坐標(biāo)是.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)習(xí)過的兩種圖形變換，在復(fù)習(xí)“坐標(biāo)表示平移”“坐標(biāo)表示軸對(duì)稱”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的過程中，促進(jìn)學(xué)生回憶在前面的學(xué)習(xí)中是如何探索、總結(jié)用坐標(biāo)表示對(duì)稱、平移的.點(diǎn)的幾何變換有對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn).學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)后，應(yīng)該能想到提出新的問題：能用坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)嗎？類比對(duì)稱、平移的研究，把問題特殊化為“一個(gè)點(diǎn)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角度后的坐標(biāo)”.

1.2? 自主探究

操作探索：把點(diǎn)P（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是什么？

引導(dǎo)學(xué)生可以從特殊的點(diǎn)入手，在格點(diǎn)紙上完成以下步驟：

畫圖：把點(diǎn)M（3，4）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

觀察：把點(diǎn)M（3，4）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，-3）.

學(xué)生小組合作，小組中四人分別在格點(diǎn)紙上描不同象限的點(diǎn)，畫出它繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并寫出坐標(biāo)；收集旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)的坐標(biāo)填入表格，觀察旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)間有什么聯(lián)系.

圖1

猜想：點(diǎn)P（a，b） 繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（b，－a），驗(yàn)證猜想是一個(gè)從特殊到一般的過程.如圖1，假設(shè)點(diǎn)（a＞0，b＞0），畫出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)P′.通過作垂線把點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)聯(lián)系起來，并構(gòu)造全等三角形，得到對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，從面確定出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（b，－a）.

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)自主探究的內(nèi)容是把點(diǎn)P（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是什

么？運(yùn)用了“特殊與一般”“操作——觀察——猜想——驗(yàn)證”的探究策略，讓課堂充滿了挑戰(zhàn)性、探究性和思維性，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的角度方法、思維策略等方面進(jìn)行反思和歸納，尋求問題解決的規(guī)律和思維方法，有效滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng).

圖2

1.3? 類比遷移

例1? 如圖2，把點(diǎn)P（3，4）繞點(diǎn)（1，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？

分析：（法一）類比繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)求點(diǎn)坐標(biāo)的思路，如圖3，構(gòu)造“一線三直角”，從三角形圖3全等中得線段長(zhǎng)PC=O′D=2，O′C=P′D=4，進(jìn)一步得OB=2，P′B=5，再結(jié)合點(diǎn)所在的象限寫出點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（5，-2）.

（法二）如圖4，把點(diǎn)P（3，4），點(diǎn)（1，0）均向左平移1個(gè)單位，圖4問題也可變式為點(diǎn)M（2，4）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，-2），再平移回原有的位置確定點(diǎn)P′坐標(biāo)（5，-2）.

（法三）用轉(zhuǎn)化的方法，如圖5，把y軸向右平移1個(gè)單位，那么問題就變式為點(diǎn)（2，4）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)為

圖5

（4，-2），再考慮旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)P′在原直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（5，-2）.

拓展：（選做）

（1）把點(diǎn)P（a，b）繞點(diǎn)（1，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？

（2）把點(diǎn)P（a，b）繞點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？

（3）把點(diǎn)P（a，b）繞點(diǎn)（1，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？圖6

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過類比第二環(huán)節(jié)，著力探索當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心改變時(shí)如何用坐標(biāo)表示，既檢驗(yàn)對(duì)基本的思路、通性通法的掌握程度，同時(shí)滲透轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.

1.4? 綜合運(yùn)用

例2? 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，所得直線表達(dá)式為.

分析：易得點(diǎn)坐標(biāo)為A（-2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）.

根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，所以要確定旋轉(zhuǎn)后直線的表達(dá)式，只需再確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求旋轉(zhuǎn)后直線的表達(dá)式即可.圖7

（法一）如圖7，先確定點(diǎn)B（4，0）繞點(diǎn)A（-2，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，-2）；用點(diǎn)A、B′確定旋轉(zhuǎn)后直線的解析式.

（法二）如圖8，由直角平面坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)提供的直角，AO是Rt△ABC斜邊上的高.這個(gè)

圖8

基本圖形中已知AO=2，BO=4，由勾股定理、三角形相似可得OC長(zhǎng)是1，即求出旋轉(zhuǎn)后直線與y軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-1），用點(diǎn)A、C確定旋轉(zhuǎn)后直線的解析式.

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)有機(jī)地結(jié)合函數(shù)與直線的旋轉(zhuǎn)，除了用本節(jié)課的知識(shí)方法外，還引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)拓展到以前學(xué)習(xí)的知識(shí)方法，是一道綜合運(yùn)用題.在題目中的90°角，可以有“構(gòu)造全等三角形”“利用勾股定理”等解題思路.有的學(xué)生還可以直接由垂直關(guān)系得k1k2=－1，確定旋轉(zhuǎn)后直線的斜率，再代入A點(diǎn)坐標(biāo)即可.方法的多樣性可以激發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.在探究過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在原有的基礎(chǔ)上自然生長(zhǎng)，形成解決問題有方向、思考問題有思路、解決問題有策略的思考能力.

1.5? 課堂小結(jié)

今天我們學(xué)到了什么？你有什么質(zhì)疑和發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)層面小結(jié)本課內(nèi)容包括：點(diǎn)的三種幾何變換：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)；探索用坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)，并運(yùn)用結(jié)論解決問題；從思想、方法層面本課涉及用從特殊到一般，類比、轉(zhuǎn)化等；預(yù)設(shè)學(xué)生能提出問題：如點(diǎn)P（a，b）沿直線y=x或y=－x翻折后的點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？把點(diǎn)P（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是什么？

2? 教學(xué)思考

2.1? 以“一般觀念”解鎖提出問題新密碼

學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，主要表現(xiàn)形式為提出問題和解決問題［2］.在北師版教材中，“用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱”研究了“點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)表示”.學(xué)習(xí)完平移后研究了“點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)表示”.因此，學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)后，學(xué)生能提出“如何用坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)”這樣的問題.圍繞“變換的定義——變換的性質(zhì)——變換的作圖——變換的表示”，形成研究變換的“一般觀念”.類比前面的研究，對(duì)稱確定特殊的對(duì)稱軸，平移確定特殊的平移方向，旋轉(zhuǎn)三要素中也確定特殊的旋轉(zhuǎn)中心——原點(diǎn)，研究一些特殊的旋轉(zhuǎn)角度——如90°.從“一個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的點(diǎn)的坐標(biāo)表示”這個(gè)特殊問題入手，運(yùn)用“一般觀念”，經(jīng)歷“操作——觀察——猜想——驗(yàn)證”，得到結(jié)論：點(diǎn)P（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（b，－a）.改變?nèi)刂械男D(zhuǎn)中心，把“繞原點(diǎn)”變式為“繞（1，0）、（0，1）、（1，1）等坐標(biāo)軸上的點(diǎn)或是坐標(biāo)系里的任意點(diǎn)”，把旋轉(zhuǎn)方向從順時(shí)針變式為逆時(shí)針，把旋轉(zhuǎn)角度變式為180°、270°、360°等，學(xué)生沿這一思路可以提出一系列問題.在這個(gè)過程中，學(xué)生不斷提出新問題，興奮的發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中可以探究的內(nèi)容、如何探究的方法，由此激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)了“授之以漁”.

2.2? 以“類比轉(zhuǎn)化”促進(jìn)問題解決新發(fā)展

類比、轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)思想，日常教學(xué)中應(yīng)經(jīng)常滲透.通過類比、轉(zhuǎn)化，各種經(jīng)驗(yàn)得到了溝通，經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)得到了整合.類比、轉(zhuǎn)化好比在新舊知識(shí)間架設(shè)的橋梁，它不僅促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握，也幫助學(xué)生形成問題解決的“一般觀念”.例1中旋轉(zhuǎn)中心是（1，0），學(xué)生類比“繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)確定”的思路，構(gòu)造一線三直角，還想到通過把點(diǎn)（3，4）向左平移或是把y軸向右平移，達(dá)到把“繞（1，0）旋轉(zhuǎn)”轉(zhuǎn)化為“繞（0，0）旋轉(zhuǎn)”的目的.例2要確定直線旋轉(zhuǎn)后的解析式，學(xué)生通過確定點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的點(diǎn)B′的坐標(biāo)或是確定旋轉(zhuǎn)后直線與y軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)來解決問題.體現(xiàn)了學(xué)生掌握化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知的數(shù)學(xué)方法，形成了舉一反三的解決問題的能力，并從中對(duì)培養(yǎng)其幾何直觀、抽象能力、推理能力等素養(yǎng)起到積極的作用.類比、轉(zhuǎn)化的運(yùn)用還滲透了辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育，使學(xué)生了解事物普遍聯(lián)系和對(duì)立統(tǒng)一，有利于學(xué)生辯證思維能力的形成.

2.3? 以“能力發(fā)展”彰顯探究活動(dòng)新樣態(tài)

能力，是完成一項(xiàng)目標(biāo)或任務(wù)所體現(xiàn)出來的素質(zhì).其中數(shù)學(xué)能力又是針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種特殊能力.如果學(xué)生的數(shù)學(xué)能力足夠高，就會(huì)根據(jù)不同的題目使用不同的方法，甚至是最優(yōu)的方法.本節(jié)課考慮不同層次學(xué)生能力的發(fā)展需求.首先是起點(diǎn)低，已知點(diǎn)在格點(diǎn)紙上的旋轉(zhuǎn)是比較容易完成的.為了讓基礎(chǔ)弱點(diǎn)的學(xué)生也能掌握，對(duì)旋轉(zhuǎn)畫圖進(jìn)行了演示.幾個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置由易到難，且解法有一致性，中等生可以拾階而上；課堂中穿插學(xué)有余力的學(xué)生才需要完成的練習(xí)，一題多題的設(shè)置，作業(yè)分層布置，是為了讓優(yōu)生“吃得飽”，培養(yǎng)思維能力.杜威在《民主主義與教育》中指出：教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組，這種改造或改組，既能增加經(jīng)驗(yàn)的意義，又能提高指導(dǎo)后來經(jīng)驗(yàn)進(jìn)程的能力.在探究過程中，從繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變式為繞（1，0）旋轉(zhuǎn)，從點(diǎn)的坐標(biāo)確定變式為直線解析的確定，從單一的構(gòu)造三角形全等到可以聯(lián)想勾股定理，此“能力發(fā)展”方式，可形成設(shè)計(jì)探究活動(dòng)的“一般觀念”.這一探究活動(dòng)設(shè)計(jì)策略能指導(dǎo)學(xué)生以后獨(dú)立研究一類數(shù)學(xué)對(duì)象、一類數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

［1］李昌官.為發(fā)展學(xué)科 一般觀念而教——兼談解析幾何復(fù)習(xí)起始課教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（9）：11-15.

［2］張乃達(dá).問題：數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的載體［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（3）：10-12.