基于特征向量信息支持向量機(jī)的RC框架易損性曲線(xiàn)預(yù)測(cè)

周宇 駱歡

摘要：易損性曲線(xiàn)將結(jié)構(gòu)破壞等級(jí)與地震動(dòng)強(qiáng)度相關(guān)聯(lián)，能夠直觀地反映結(jié)構(gòu)破壞的概率，但在建立易損性曲線(xiàn)的過(guò)程中需要大量的結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性時(shí)程分析結(jié)果，因而計(jì)算效率不高。機(jī)器學(xué)習(xí)方法已被證明能較好地解決這一問(wèn)題，但當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的規(guī)模較大時(shí)，由于訓(xùn)練過(guò)程涉及求解大規(guī)模逆矩陣致使計(jì)算效率依然低下。為此，本文提出了一種特征向量信息支持向量機(jī)（EILS-SVM）的新方法克服此類(lèi)方法的不足。在大規(guī)模數(shù)據(jù)集下，EILS-SVM能夠篩選小規(guī)模子樣本建立低秩核矩陣。這使得其訓(xùn)練過(guò)程只需求解小規(guī)模低秩矩陣的逆矩陣，進(jìn)而極大提高計(jì)算效率。為了驗(yàn)證EILS-SVM的準(zhǔn)確性和高效性，基于16500個(gè)鋼筋混凝土（RC）框架在地震作用下的破壞數(shù)據(jù)，分別與支持向量機(jī)（LS-SVM）、隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線(xiàn)性判別分析（LDA）、貝葉斯作對(duì)比。結(jié)果表明，EILS-SVM 能準(zhǔn)確預(yù)測(cè) RC框架的易損性曲線(xiàn)，其計(jì)算效率最高能提升近27倍。

關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土框架；易損性曲線(xiàn)；特征向量；支持向量機(jī)；機(jī)器學(xué)習(xí)

中圖分類(lèi)號(hào)：TU973.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1000-0666（2024）03-0359-10

doi：10.20015/j.cnki.ISSN1000-0666.2024.0052

0引言

地震易損性分析用于預(yù)測(cè)不同地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)發(fā)生各級(jí)破壞的概率，對(duì)結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)、加固和維修決策具有重要的應(yīng)用價(jià)值（孫柏濤，張桂欣，2012）。易損性曲線(xiàn)描述了結(jié)構(gòu)在給定地震動(dòng)強(qiáng)度的情況下超過(guò)指定極限狀態(tài)的概率，是易損性分析中的關(guān)鍵內(nèi)容。目前，易損性曲線(xiàn)的預(yù)測(cè)方法有多種（Lallemant et al，2015），如云圖法（于曉輝，呂大剛，2016；Jalayer et al，2017；Mattei，Bedon，2021）、增量動(dòng)力分析（Incremental Dynamic Analysis，IDA）（呂大剛等，2011；薛成鳳等，2017；路沙沙等，2021；Pujari et al，2013；Vamvatsikos，Cornell，2002）、多條帶法（Multiple Sequence Alignment，MSA）（程詩(shī)焱等，2020；Fatimah，Wong，2021；Bradley，2010），等等。然而，這些方法都需要通過(guò)大量的非線(xiàn)性時(shí)程分析計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)結(jié)果，進(jìn)而判斷結(jié)構(gòu)在地震作用下的破壞狀態(tài)，計(jì)算成本高，導(dǎo)致易損性曲線(xiàn)預(yù)測(cè)的計(jì)算效率不高。因此，如何高效準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的易損性曲線(xiàn)，進(jìn)而量化評(píng)估結(jié)構(gòu)的抗震性能成為結(jié)構(gòu)工程和地震工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題。

機(jī)器學(xué)習(xí)（Machine Learning，ML）方法因其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)擬合能力已被廣泛運(yùn)用到結(jié)構(gòu)和地震工程領(lǐng)域，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法的不足。Mitropoulou和Papadrakakis（2011）將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network，ANN）與增量動(dòng)力分析結(jié)合提出了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的易損性曲線(xiàn)預(yù)測(cè)方法。Kiani等（2019）利用多條帶法的結(jié)果發(fā)展了一種基于機(jī)器學(xué)習(xí)分類(lèi)模型的易損性預(yù)測(cè)新方法，并且比較了隨機(jī)森林、支持向量機(jī)、貝葉斯等6種分類(lèi)模型的結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)預(yù)測(cè)效果。Gentile 和Galasso（2020）利用高斯過(guò)程回歸建立了考慮建筑種類(lèi)屬性的易損性預(yù)測(cè)模型。研究人員利用支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）結(jié)合時(shí)程分析得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)了建筑易損性預(yù)測(cè)模型（李浩瑾等，2013；Mahmoudi，Chouinard，2016；Sainct et al，2020）。以上結(jié)果表明，基于機(jī)器學(xué)習(xí)的分析方法既能保證較高的預(yù)測(cè)性能，又能極大地提高計(jì)算效率，這是因?yàn)闄C(jī)器學(xué)習(xí)方法能夠自適應(yīng)地?cái)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù)形成預(yù)測(cè)模型，無(wú)需執(zhí)行復(fù)雜的非線(xiàn)性有限元計(jì)算過(guò)程。通過(guò)建立的預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)，本質(zhì)上等同于矩陣與向量的乘積，因此計(jì)算效率高。然而，由于機(jī)器學(xué)習(xí)方法在訓(xùn)練過(guò)程時(shí)需要求解由訓(xùn)練樣本所構(gòu)成的系數(shù)矩陣的逆矩陣，這使得當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的規(guī)模較大時(shí)，不僅對(duì)計(jì)算機(jī)的內(nèi)存需求高，且計(jì)算效率低下（James et al，2013）。因此，在大規(guī)模訓(xùn)練樣本下，機(jī)器學(xué)習(xí)方法就會(huì)喪失高效性。

本文將Nystrom近似論（Charless et al，2019）中的特征值與特征向量理論和機(jī)器學(xué)習(xí)方法中的最小二乘支持向量機(jī)（Least Squares Support Vector Machine，LS-SVM）（Suykens et al，2000）相結(jié)合，提出了特征向量信息支持向量機(jī)（Eigenvectors-Informed Support Vector Machines，EILS-SVM）的方法，并從公開(kāi)數(shù)據(jù)庫(kù)（Wang，Luo，2023）提取了4層、6層、8層不同規(guī)格RC框架結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，形成了16 500個(gè)樣本數(shù)據(jù)，將EILS-SVM分別與LS-SVM等傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行對(duì)比。

1EILS-SVM的原理及易損性預(yù)測(cè)應(yīng)用

1.1EILS-SVM數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

最小二乘支持向量機(jī)（LS-SVM）（Suykens，Vandewalle，1999）分類(lèi)模型是一種較為常用的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，其將支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）（Cervantes et al，2020）中求解二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求解線(xiàn)性方程組問(wèn)題，極大地提高了SVM訓(xùn)練過(guò)程的計(jì)算效率。其優(yōu)化問(wèn)題如下所示：[KH*2D]

min∶Jp（ω，ξ）=[SX（]1[]2[SX）]ωTω+γ[SX（]1[]2[SX）]∑[DD（]N[]k=1[DD）]ξ2k[JY]（1）[KH*1D]

s.t.∶yk［ωTφ（xk）+b］=1-ξk，k=1，…，N[JY]（2）[KH*1D]

式中：ξk∈R是定義誤差變量的向量；γ為正則化參數(shù)；φ（xk）∈Rh是高維輸入向量，其中φ（·）∶Rd→Rh表示從d維到具有h維的高維度Hilbert空間的映射函數(shù)。其原始空間下的預(yù)測(cè)模型表達(dá)式為：

y（x）=sign［ωTφ（x）+b］[JY]（3）

由于高維輸入向量φ（xk）未知，因此由式（1）和（2）構(gòu)成的優(yōu)化問(wèn)題無(wú)法直接求解。為此，通過(guò)引入拉格朗日乘子αk∈R，構(gòu)造式（1）和（2）的拉格朗日函數(shù)，并在對(duì)偶空間里進(jìn)行求解。拉格朗日函數(shù)表達(dá)式為：

L（ω，b，ξk，αk）=Jp（ω，ξk）-∑[DD（]N[]k=1[DD）]αk{yk［ωTφ（xk）+b］+ξk-1}[JY]（4）

引入KTT條件求解方程式（4），可得到如下方程組：[KH*2/3D][JP3]

[JB（［][FK（W][BG（][BHDWG1*2，WK1，WK6*2，WK1，WK6*2W]0[]y1[]…[]yN[BHG2*2]y1[]K（x1x1）+[SX（]1[]λ[SX）][]…[]K（x1xN）[BHG1*2][][][XZ（135#][XZ）][][BHG2*2]yN[]K（xNx1）[]…[]K（xNxN）+[SX（]1[]λ[SX）][BG）W][FK）][JB）］][HJ4mm][JB（［][HL（1]bα1αN[HL）][JB）］]=[JB（［][HL（1]011[HL）][JB）］][JY]（5）[KH*2D]

式中：K（xk，xl）=φT（xk）φ（xl）為核函數(shù)（本文所采用的核函數(shù)為高斯核（RBF）函數(shù)），通過(guò)帶入核函數(shù)便可在對(duì)偶空間中得到模型參數(shù)α和b，其在對(duì)偶空間下的預(yù)測(cè)模型表達(dá)式如下：[KH*2/3]

y（x）=sign［∑[DD（]N[]k=1[DD）]αkykK（x，xk）+b］[JY]（6）[KH*2/3]

至此，通過(guò)對(duì)偶空間建立的預(yù)測(cè)模型便可用于預(yù)測(cè)新樣本數(shù)據(jù)所屬的類(lèi)別。但是，LS-SVM在求解矩陣方程（5）時(shí)，涉及到求解系數(shù)矩陣的逆矩陣，其計(jì)算復(fù)雜度與訓(xùn)練樣本的規(guī)模N有關(guān)，為O［（N+1）3］。當(dāng)給定訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù){xk，yk}Nk=1的規(guī)模N較大時(shí)，求解這一大規(guī)模矩陣的逆矩陣就會(huì)變得極為耗時(shí)，造成模型訓(xùn)練過(guò)程的計(jì)算效率低下。因此，當(dāng)訓(xùn)練樣本的規(guī)模N較大時(shí)，在LS-SVM標(biāo)準(zhǔn)框架下通過(guò)方程（5），在對(duì)偶空間下求解模型參數(shù)進(jìn)而構(gòu)建預(yù)測(cè)模型（6）就會(huì)變得尤為低效。而反觀原始空間下預(yù)測(cè)模型（3），其模型參數(shù)ω的維度與高維輸入向量φ（xk）的維度h有關(guān)，計(jì)算復(fù)雜度為O［（h+1）3］。因此，即使訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù){xk，yk}Nk=1的規(guī)模N較大，若φ（xk）的維度hN，在原空間中建立預(yù)測(cè)模型將比在對(duì)偶空間下建立預(yù)測(cè)模型更為高效。這是因?yàn)?，?dāng)hN時(shí)，在原始空間建立預(yù)測(cè)模型的計(jì)算復(fù)雜度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于對(duì)偶空間，即O［（h+1）3］O［（N+1）3］。為了能在原空間建立預(yù)測(cè)模型，需要顯示地構(gòu)建非線(xiàn)性映射函數(shù)φ（·）的數(shù)學(xué)模型。然而，通常情況下φ（·）的數(shù)學(xué)模型無(wú)法顯示。

為了解決這一問(wèn)題，本文采用Nystrom方法中特征值和特征向量理論（Girolami，2002）近似估計(jì)出高維輸入向量φ（xk），[WT]使得可以在原空間建立預(yù)測(cè)模型（3），進(jìn)而解決LS-SVM在大樣本訓(xùn)練數(shù)據(jù)集下預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練效率低下的問(wèn)題。首先，將方程（5）中由RBF核函數(shù)構(gòu)成的核矩陣記為Ω（N，N）∈RN×N，其中Ω（k，l）=K（xk，xl），k，l=1，…，N。根據(jù)Mercer定理（Girolami，2002），可得到如下表達(dá)式：[KH*2/3]

K（xk，xl）=∑[DD（]h[]i=1[DD）]λii（xk）i（xl）[JY]（7）[KH*2/3D]

式中：λi和i分別是特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)。這些特征值和特征函數(shù)與如下積分方程相關(guān)聯(lián)，其表達(dá)式如下：[KH*2/3]

∫K（xk，x）i（x）p（x）dx=λii（xk）[JY]（8）[KH*2/3D]

式中：p（x）表示大規(guī)模訓(xùn)練樣本輸入變量xk的概率密度函數(shù)。在給定大規(guī)模數(shù)據(jù)集{xk，yk}Nk=1的條件下，假設(shè)輸入樣本xk，k=1，…，N之間服從獨(dú)立同分布。為了近似估計(jì)特征函數(shù)的積分方程，可從大規(guī)模訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取m個(gè)子樣本{xt，yt}mt=1（mN），用子樣本中的輸入變量xt近似p（x），進(jìn)而達(dá)到稀疏化的目的?；诖耍剑?）可通過(guò)如下表達(dá)式近似：[KH*2/3]

[SX（]1[]m[SX）]∑[DD（]m[]t=1[DD）]K（xt，x）i（xt）≈λii（x）[JY]（9）[KH*2/3]

通過(guò)從大樣本訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中選取的m個(gè)子樣本{xt，yt}mk=1可建立相應(yīng)的核矩陣Ω（m，m），并對(duì)核矩陣進(jìn)行特征值分解，可得到如下方程：[KH*2/3]

Ω（m，m）AΦ^U1（m×m）=AΦ^U1（m×m）AΛ^U1（m×m）[JY]（10）[KH*2/3D]

式中：Ω（m，m）∈Rm×m表示近似大規(guī)模核矩陣Ω（N，N）的稀疏化核矩陣；AΦ^U1（m，m）∈Rm×m，表示由Ω（m，m）的特征向量組成的矩陣；AΛ^U1（m×m）=diag（［Aλ^U11，…，Aλ^U1m］）∈Rm×m表示由Ω（m，m）的特征值組成的對(duì)角矩陣。

將式（10）中的矩陣進(jìn)行向量分解，可得到如下表達(dá)式：[KH*2/3]

λi=[SX（]1[]m[SX）]Aλ^U1i，A^U1i=[KF（]m[KF）]Φti[JY]（11）[KH*2/3]

將式（11）帶到方程（9）中可得到第i個(gè)特征函數(shù)的表達(dá)式：[KH*2/3]

φi（x）≈[SX（][KF（]m[KF）][][FK（W1*2。1]Aλ^U1i[FK）][SX）]∑[DD（]m[]t=1[DD）]K（x，xt）AΦ^U1ti[JY]（12）[KH*2/3D]

將式（7）與式（12）結(jié)合可以得到φ（xk）中第i個(gè)元素與第i個(gè)特征函數(shù)之間的關(guān)系式：[KH*2/3D]

φi（xk）=[KF（][FK（W1*2/3。1]Aλ^U1i[FK）][KF）]i（xk）=[SX（][KF（]m[KF）][][KF（][FK（W1*2/3。1]Aλ^U1i[FK）][KF）][SX）]∑[DD（]m[]t=1[DD）]AΦ^U1tiK（xt，xk）[JY]（13）[KH*2/3]

根據(jù)式（13）即可求出非線(xiàn)性高維向量的顯性估計(jì)Aφ^G1（xk），其中Aφ^G1（xk）=［Aφ^G11（xk），Aφ^G12（xk），…，Aφ^G1m（xk）］。因此，基于估計(jì)的高維輸入變量Aφ^G1（xk），可利用最小二乘法直接求解由方程（1）和（2）構(gòu)成的優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而可求得原空間下預(yù)測(cè)模型（3）中的模型參數(shù)ω和b。其計(jì)算公式為：[KH*2/3]

[JB（［]ωb[JB）］]=（AΦ^U1TeAΦ^U1e+[SX（]Im+1[]γ[SX）]）-1AΦ^U1Tey[JY]（14）[KH*2/3D]

式中：Im+1為（m+1）×（m+1）的單位矩陣；y=［y1，y2，…，yN］T；AΦ^U1e是N×（m+1）特征增廣矩陣，具體形式如下：

AΦ^U1e=[JB（［][HL（4]Aφ^G11（x1）[]…[]Aφ^G1m（x1）[]1[][XZ（135#][XZ）][][]Aφ^G11（xN）[]…[]Aφ^G1m（xN）[]1[HL）][JB）］][JY]（15）

由方程（14）可知，本文所提出的EILS-SVM模型的計(jì)算復(fù)雜度與高維映射函數(shù)φ（xk）的維度m有關(guān)，為O（m3）。因?yàn)閙N，所以O(shè)（m3）O（N3）。因此，從理論上分析，本文提出的EILS-SVM模型能顯著提高計(jì)算效率。此外，由于系數(shù)矩陣（AΦ^U1TeAΦ^U1e+[SX（]Im+1[]γ[SX）]）-1的規(guī)模為（m+1）且（m+1）N，因此EILS-SVM也能顯著降低對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的需求。

1.2EILS-SVM預(yù)測(cè)模型建立步驟

基于EILS-SVM的結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)預(yù)測(cè)模型的建立步驟如圖1所示，具體分為以下8個(gè)步驟：

步驟1：建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù)，獲得不同地震強(qiáng)度和不同地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)的工程需求參數(shù)（Engineering Demand Parameter，EDP）所組成的樣本集{IMi，EDPi}ni=1。

步驟2：為樣本集{IMi，EDPi}ni=1中的每個(gè)樣本點(diǎn)提取對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量和地震動(dòng)參數(shù)建立樣本信息數(shù)據(jù)庫(kù)。

步驟3：基于結(jié)構(gòu)的EDP極限狀態(tài)閾值，將樣本信息數(shù)據(jù)庫(kù)中的每個(gè)樣本點(diǎn)按照EDP是否超過(guò)閾值分為兩類(lèi)，從而構(gòu)建大規(guī)模數(shù)據(jù)集{xk，yk }Nk=1。其中xk=［x1，x2，…，xd］為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量和地震動(dòng)參數(shù)組成的向量，yk∈{1，-1}為不同結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)的類(lèi)別標(biāo)簽。

步驟4：將數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集與測(cè)試集。其中訓(xùn)練集中的部分?jǐn)?shù)據(jù)（支持向量）用來(lái)訓(xùn)練預(yù)測(cè)模型，測(cè)試集的數(shù)據(jù)則用來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)。

步驟5：確定子樣本規(guī)模大小m（mN）。子樣本規(guī)模大小直接影響EILS-SVM的性能，m過(guò)小會(huì)導(dǎo)致EILS-SVM的預(yù)測(cè)精度較低，m過(guò)大則會(huì)增加模型的計(jì)算成本，降低計(jì)算效率。

步驟6：從訓(xùn)練集中隨機(jī)抽取m個(gè)樣本作為支持向量用于訓(xùn)練EILS-SVM模型。

步驟7：按照本文提出的EILS-SVM理論求解出模型參數(shù)ω和b，建立支持向量機(jī)原空間預(yù)測(cè)模型。

步驟8：將測(cè)試集數(shù)據(jù)輸入建立好的原空間預(yù)測(cè)模型，開(kāi)展結(jié)構(gòu)在不同地震動(dòng)強(qiáng)度IMi下的破壞狀態(tài)的預(yù)測(cè)。

2大規(guī)模RC框架分類(lèi)數(shù)據(jù)集的創(chuàng)建

本文采用公開(kāi)數(shù)據(jù)庫(kù)（Wang，Luo，2023）中的數(shù)據(jù)集作為EILS-SVM模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集包含廣泛分布在我國(guó)各大、中、小城市的4層、6層和8層典型RC框架結(jié)構(gòu)，具體數(shù)據(jù)信息可參閱Wang和Luo（2023）的文獻(xiàn)。該數(shù)據(jù)庫(kù)中的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)是通過(guò)OpenSees（Mazzoni et al，2006）平臺(tái)建立上述框架結(jié)構(gòu)的有限元分析模型獲得的。其中，框架梁和柱采用基于力插值函數(shù)的梁柱單元來(lái)模擬，截面混凝土采用Concrete02單軸材料模型，約束混凝土采用Mander模型，鋼筋采用Hysteretic單軸材料模型。Hysteretic單軸材料模型不但能夠考慮應(yīng)力和應(yīng)變的捏攏效應(yīng)，還能考慮基于能量的強(qiáng)度退化效應(yīng)以及基于延性的剛度退化效應(yīng)（Mazzoni et al，2006）。通過(guò)調(diào)整Hysteretic模型中控制基于能量的強(qiáng)度退化參數(shù)D，可以準(zhǔn)確反映強(qiáng)震作用下由于延性RC框架中框架柱產(chǎn)生較大的側(cè)向變形使得縱筋發(fā)生屈曲，進(jìn)而導(dǎo)致其出現(xiàn)強(qiáng)度退化現(xiàn)象。

在用于訓(xùn)練的樣本數(shù)據(jù)集{xk，yk}Nk=1中，xk∈Rd為預(yù)測(cè)模型的輸入變量，該變量由結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)以及地震動(dòng)參數(shù)組成（表1）；yk∈{1，-1}為結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)組成的輸出變量，當(dāng)結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)為倒塌時(shí)，yk=1，未倒塌時(shí)，yk=-1。各輸入變量的參數(shù)分布、輸入變量與輸出變量間的相關(guān)系數(shù)均在表1中列出。由表1可知，單一輸入變量與輸出變量之間的相關(guān)性不大，說(shuō)明二變量之間的線(xiàn)性關(guān)系不成立，而利用機(jī)器學(xué)習(xí)方法建立二者之間的非線(xiàn)性映射關(guān)系更為合理。

由于原始數(shù)據(jù)集中的輸出變量為最大層間位移角（連續(xù)型變量），而非RC框架結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)（離散型變量），這使得原始數(shù)據(jù)集雖然適用于回歸問(wèn)題的求解，但是無(wú)法直接用于分類(lèi)問(wèn)題的求解，也就無(wú)法適用于本文的研究。為了解決這一問(wèn)題，本文根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010），將最大層間位移角0.02 rad作為判定結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)的閾值，該規(guī)范將0.02 rad的位移角定義為結(jié)構(gòu)生命安全極限狀態(tài)和塑性極限狀態(tài)的參考點(diǎn)，廣泛用于評(píng)估和設(shè)計(jì)類(lèi)似的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)?？紤]到規(guī)范的普遍適用性和在工程實(shí)踐中的驗(yàn)證，本文將原始數(shù)據(jù)按照最大層間位移角是否超過(guò)0.02 rad作為分類(lèi)依據(jù)，以此區(qū)分結(jié)構(gòu)的倒塌和未倒塌狀態(tài)，最終形成16 500組適用于解決分類(lèi)問(wèn)題的數(shù)據(jù)集，即{xk，yk }16500k=1。以六層RC框架為例，圖2展示了數(shù)據(jù)集中RC框架結(jié)構(gòu)在不同地震動(dòng)強(qiáng)度（一階自振周期對(duì)應(yīng)的譜加速度Sa）作用下的倒塌和未倒塌兩類(lèi)狀態(tài)的分布情況。

3EILS-SVM模型性能分析

3.1子樣本大小對(duì)模型性能的影響分析

將數(shù)據(jù)集{xk，yk }16500k=1按7∶3的比例隨機(jī)劃分成訓(xùn)練集與測(cè)試集，最終得到11 500個(gè)訓(xùn)練集樣本和4 950個(gè)測(cè)試集樣本。LS-SVM模型將對(duì)全部11 500個(gè)訓(xùn)練樣本進(jìn)行訓(xùn)練。分別從訓(xùn)練集中選取100，200，…，1 200組子樣本代替全部的11 500個(gè)訓(xùn)練樣本進(jìn)行訓(xùn)練。圖3a給出了EILS-SVM模型中預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率與子樣本規(guī)模大小的關(guān)系。由圖3a可知，隨著子樣本規(guī)模的增加，EILS-SVM預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率呈上升趨勢(shì)，當(dāng)子樣本規(guī)模達(dá)到800時(shí)，曲線(xiàn)趨近平緩，當(dāng)子樣本規(guī)模達(dá)到800后，EILS-SVM預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率隨著子樣本規(guī)模的增加提升不大。而且，圖3a說(shuō)明了本文提出的EILS-SVM模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的準(zhǔn)確率高且差異不大，證明了本文采用的21個(gè)輸入變量是合理的，可以使模型泛化性能好，且不會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合問(wèn)題。由圖3b可知，EILS-SVM的計(jì)算時(shí)間隨著子樣本規(guī)模的增大而不斷增加。因此，當(dāng)子樣本規(guī)模為800時(shí)，EILS-SVM模型能在保證較高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率的同時(shí)確保較短的計(jì)算時(shí)間。

3.2EILS-SVM模型與傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型對(duì)比

為了評(píng)估EILS-SVM模型的預(yù)測(cè)性能及泛化能力，筆者將其與其它5種傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型——最小二乘向量機(jī)（LS-SVM）、隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線(xiàn)性判別分析（LDA）和貝葉斯模型進(jìn)行比較。EILS-SVM模型采用隨機(jī)選取的800個(gè)子樣本進(jìn)行訓(xùn)練，而其它傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型則采用全部11 500個(gè)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，然后將訓(xùn)練后的不同的機(jī)器學(xué)習(xí)模型分別對(duì)測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，以此對(duì)比不同機(jī)器學(xué)習(xí)模型的有效性和泛化能力。圖4給出了使用EILS-SVM模型與使用其它5種模型預(yù)測(cè)得到的建筑物破壞狀態(tài)的混淆矩陣?；煜仃囀菣C(jī)器學(xué)習(xí)中用于評(píng)價(jià)分類(lèi)精度的一種標(biāo)準(zhǔn)格式，它展示了真實(shí)分類(lèi)結(jié)果與預(yù)測(cè)分類(lèi)結(jié)果的關(guān)系?；煜仃嚨膶?duì)角線(xiàn)上的元素代表了正確預(yù)測(cè)的樣本數(shù)量，對(duì)角線(xiàn)外的元素代表了錯(cuò)誤分類(lèi)的樣本數(shù)量。圖中混淆矩陣右下角區(qū)域代表了預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，兩側(cè)百分?jǐn)?shù)區(qū)域分別代表精度與召回率。由圖4和表2可知，EILS-SVM和LS-SVM模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率明顯優(yōu)于其它4種機(jī)器學(xué)習(xí)模型。同時(shí)，盡管EILS-SVM使用了較少的800個(gè)子樣本，其準(zhǔn)確率仍與使用全部11 500個(gè)樣本進(jìn)行訓(xùn)練的LS-SVM相近，且用時(shí)僅為L(zhǎng)S-SVM的1/27，說(shuō)明EILS-SVM在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時(shí)的有效性。

3.3基于EILS-SVM模型的易損性曲線(xiàn)預(yù)測(cè)

為了展示EILS-SVM模型預(yù)測(cè)易損性曲線(xiàn)的能力，將6層RC框架（基本自振周期T1=1.07s）在不同退化參數(shù)（D=0.1、0.6和1.0）下對(duì)應(yīng)的30條地震動(dòng)記錄及其調(diào)幅后共計(jì)900個(gè)樣本作為測(cè)試集，剩余15 600個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，對(duì)比EILS-SVM模型和其它有限元方法生成的易損性曲線(xiàn)。

圖5給出了EILS-SVM模型對(duì)不同強(qiáng)度退化參數(shù)下6層RC框架破壞狀態(tài)的預(yù)測(cè)結(jié)果的混淆矩陣。從圖中可以看出EILS-SVM模型預(yù)測(cè)結(jié)果的正確率均達(dá)到了97%以上。用MSA方法（Baker，2015）分別計(jì)算出EILS-SVM模型和有限元方法的易損性參數(shù)θ和σ（表3）。圖6 分別給出了D=0.1、0.6和1.0時(shí)，通過(guò)EILS-SVM模型和有限元方法得到的易損性曲線(xiàn)。由圖6可看出，用EILS-SVM模型與用有限元方法預(yù)測(cè)的易損性曲線(xiàn)基本重合，表明EILS-SVM模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)RC框架的易損性曲線(xiàn)。

4結(jié)論

本文提出了特征向量信息支持向量機(jī)（EILS-SVM）模型，用于解決有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)易損性曲線(xiàn)時(shí)效率不高、大規(guī)模訓(xùn)練樣本下傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練過(guò)程效率低下這兩個(gè)問(wèn)題，并以RC框架的破壞狀態(tài)和易損性曲線(xiàn)預(yù)測(cè)為例，與傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)分類(lèi)算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)論如下：

（1）EILS-SVM模型的預(yù)測(cè)性能和計(jì)算效率與所選樣本子集規(guī)模有關(guān)，預(yù)測(cè)性能會(huì)隨著子集規(guī)模的增大而提高，但計(jì)算效率則會(huì)相應(yīng)降低。

（2）與LS-SVM模型相比，當(dāng)子集規(guī)模為800時(shí)，EILS-SVM模型的預(yù)測(cè)性能與基于11 550個(gè)大規(guī)模訓(xùn)練樣本的LS-SVM模型的預(yù)測(cè)性能相當(dāng)，且遠(yuǎn)優(yōu)于隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線(xiàn)性判別分析（LDA）和貝葉斯算法。并且EILS-SVM模型的計(jì)算時(shí)間相較于傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型最高減少了27倍，顯著提高了計(jì)算效率。

（3）EILS-SVM模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)RC框架的易損性曲線(xiàn)，預(yù)測(cè)得到的易損性曲線(xiàn)與有限元方法生成的易損性曲線(xiàn)比較吻合。

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Eigenvectors-informed Support Vector Machines for Fragility Curve Predictions of RC Frames

ZHOU Yu1，2，LUO Huan1，2

（1.Hubei Geological Disaster Prevention and Control Engineering Technology Research Center，Yichang 443002，Hubei，China）

（2.College of Civil Engineering &Architecture，China Three Gorges University，Yichang 443002，Hubei，China）

Abstract

Fragility curves establish a correlation between structural damage levels and seismic intensity，offering an intuitive depiction of the probability of structural failure.?However，the generation of these curves necessitates a substantial amount of structural nonlinear timehistory analysis results，thereby rendering the computational process inefficient.?Machine learning techniques have been proven to effectively address this issue，yet their efficacy diminishes with the increase in the scale of training data due to the computational demands of solving largescale inverse matrices during the training phase.?In response，this paper proposes a novel methodology，the Eigenvector Informationsupported Support Vector Machine（EILSSVM），which surmounts the limitations associated with these techniques.?By employing a selective subsample to construct a lowrank kernel matrix in the context of largescale datasets，the EILSSVM method requires only the inversion of smallscale，lowrank matrices，significantly enhancing computational efficiency.?To validate the accuracy and efficiency of the EILSSVM，it is benchmarked against conventional models such as the Least Squares Support Vector Machine（LSSVM），Random Forest，Neural Networks，Linear Discriminant Analysis （LDA），and Bayesian methods，using a dataset comprised of 16500 instances of damage in Reinforced Concrete（RC）frames subjected to seismic activities.?The results indicate that the EILSSVM is capable of accurately predicting the fragility curves of RC frames，with a computational efficiency improvement of up to 27 times compared to existing methodologies.

Keywords：RC frame structures；fragility curves；eigenvectors；support vector machines；machine learning

*收稿日期：2023-09-19.

基金項(xiàng)目：湖北省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2022CFB294）；國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)項(xiàng)目（52208485）.

第一作者簡(jiǎn)介：周宇（1997-），碩士研究生在讀，主要從事結(jié)構(gòu)抗震與機(jī)器學(xué)習(xí)交叉研究.E-mail：891363206@qq.com.

通信作者簡(jiǎn)介：駱歡（1988-），博士，副教授，主要從事結(jié)構(gòu)抗震與機(jī)器學(xué)習(xí)交叉研究.E-mail：hluo@ctgu.edu.cn.

周宇，駱歡.2024.基于特征向量信息支持向量機(jī)的RC框架易損性曲線(xiàn)預(yù)測(cè)［J］.地震研究，47（3）：359-368，doi：10.20015/j.cnki.ISSN1000-0666.2024.0052.

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