一類(lèi)非線(xiàn)性金融系統(tǒng)的多尺度效應(yīng)研究

劉玲玉，李向紅，王宏斌

（石家莊鐵道大學(xué)a.數(shù)理系；b.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，石家莊 050043）

0 引言

金融系統(tǒng)是家庭、公司和政府為執(zhí)行其重要的金融決策而利用的一系列市場(chǎng)選擇和中介。資金通過(guò)金融系統(tǒng)從盈余端流向短缺端，從而維持整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定。但由于受到利率、投資等因素的影響，金融系統(tǒng)常常會(huì)變得非常復(fù)雜，甚至?xí)霈F(xiàn)失穩(wěn)、失控等現(xiàn)象，從而影響經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。因此，深入地分析和研究金融、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及發(fā)展規(guī)律變得尤為重要，很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)一些金融、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有了深入的研究，其中研究較多的是一類(lèi)非線(xiàn)性金融系統(tǒng)。黃登仕和李后強(qiáng)（1993）[1]首次提出了這類(lèi)由生產(chǎn)子塊、貨幣子塊、證券子塊和勞動(dòng)子塊所組成的金融模型。Ma 和Chen（2001）[2]分析了這一模型的分岔混沌拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。Ma 等（2008）[3]在該金融系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了奇異非混沌吸引子。Gao 和Ma（2009）[4]發(fā)現(xiàn)隨著儲(chǔ)蓄量的減小，該系統(tǒng)會(huì)從周期走向混沌。胡行華等（2018）[5]在經(jīng)典金融模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)分?jǐn)?shù)階生物經(jīng)濟(jì)模型。

非線(xiàn)性金融系統(tǒng)是由生產(chǎn)、投資等要素組成的復(fù)雜系統(tǒng)，在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，會(huì)有許多不確定性因素存在，這就導(dǎo)致當(dāng)某個(gè)變量發(fā)生微小變化時(shí)，可能會(huì)對(duì)其他變量造成很大的影響，從而導(dǎo)致多個(gè)變量在不同尺度上變化。已經(jīng)有學(xué)者在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了多尺度問(wèn)題以及簇發(fā)現(xiàn)象。Chian 等（2006）[6]用非線(xiàn)性經(jīng)濟(jì)周期的van der Pol 振子來(lái)模擬具有多尺度、混沌等特性的復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。Krawiecki等（2002）[7]在微觀(guān)金融市場(chǎng)模型中觀(guān)察到價(jià)格序列表現(xiàn)為混沌簇發(fā)現(xiàn)象。事實(shí)上，多尺度問(wèn)題還廣泛存在于化學(xué)、機(jī)械等領(lǐng)域的系統(tǒng)中，很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究。例如，Simo和Woafo（2011）[8]研究了機(jī)電系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩；陳婭妮等（2020）[9]探究了一類(lèi)含有兩個(gè)慢變量的雙穩(wěn)態(tài)Duffing型系統(tǒng)中的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。

綜上所述，對(duì)于描述經(jīng)濟(jì)運(yùn)行規(guī)律的各類(lèi)系統(tǒng)，現(xiàn)有研究大多關(guān)注同一時(shí)間尺度上金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔、混沌等方面，對(duì)于多尺度耦合金融系統(tǒng)的快慢現(xiàn)象以及機(jī)理研究極少。本文將基于文獻(xiàn)[1]提出的經(jīng)典系統(tǒng)，考慮單位投資成本存在周期性微小擾動(dòng)，經(jīng)典非線(xiàn)性金融系統(tǒng)則具有兩尺度耦合特征，形成一個(gè)快慢耦合非自治金融系統(tǒng)，并將快慢分析法[10]運(yùn)用到此快慢耦合非線(xiàn)性金融系統(tǒng)中，挖掘其豐富的動(dòng)力學(xué)行為，揭示經(jīng)濟(jì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的動(dòng)力學(xué)機(jī)理，為金融系統(tǒng)的調(diào)控運(yùn)行和決策提供理論支持。

1 數(shù)學(xué)模型

一類(lèi)經(jīng)典的非線(xiàn)性金融系統(tǒng)由文獻(xiàn)[1]給出，如式（1）所示。

其中，變量x，y，z分別表示利率、投資需求、價(jià)格指數(shù)。a（≥0）為儲(chǔ)蓄量，b（≥0）為單位投資成本，c（≥0）為商品需求彈性。

在經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過(guò)程中，投資處于非常重要的地位，它可能影響整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。例如，當(dāng)失業(yè)率高或者經(jīng)濟(jì)相對(duì)落后時(shí)，各級(jí)政府會(huì)采取相關(guān)政策刺激投資，從而降低單位投資成本，提高就業(yè)率。而單位投資成本的降低也會(huì)增加投資需求，降低儲(chǔ)蓄量。因此，單位投資成本的微小變化可能會(huì)影響整個(gè)金融系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

假設(shè)系統(tǒng)（1）中單位投資成本存在弱周期擾動(dòng)，它會(huì)導(dǎo)致單位投資成本的緩慢變化，模型為：

其中，b+εcos(ωt)在b-ε和b+ε之間變化，并且單位投資成本是非負(fù)的，因此b-ε≥0。

如果投資成本的擾動(dòng)周期較長(zhǎng)，即ω≤1 且與其他參數(shù)存在數(shù)量級(jí)上的差別，那么系統(tǒng)（2）包含兩個(gè)時(shí)間尺度，基于快慢分析法[10]，系統(tǒng)可以被分成由x，y，z表示的快變過(guò)程以及由F=b+εcos(ωt)表示的慢變過(guò)程?？熳冞^(guò)程可寫(xiě)為：

若將F考慮為一個(gè)參數(shù)，則系統(tǒng)（3）為自治系統(tǒng)，F(xiàn)的變化將導(dǎo)致系統(tǒng)（3）的穩(wěn)定性發(fā)生變化，從而分岔行為會(huì)發(fā)生。系統(tǒng)（2）中，b+εcos(ωt)=F在[b-ε,b+ε]內(nèi)緩慢周期性變化，這一慢變過(guò)程對(duì)系統(tǒng)（2）的動(dòng)力學(xué)行為具有明顯的調(diào)節(jié)作用，其本質(zhì)是自治系統(tǒng)（3）的穩(wěn)定性及其分岔等動(dòng)力學(xué)行為影響了非自治系統(tǒng)（2）的振蕩行為。因此下文將分析系統(tǒng)（3）的穩(wěn)定性和分岔。

2 穩(wěn)定性分析和分岔分析

為了求得系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)，令系統(tǒng)（3）右端為0，可得：

求解方程（4）可得如下結(jié)果：

系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E0=(x0,y0,z0)可以分為兩種情況：

在平衡點(diǎn)處，利率、投資需求、價(jià)格指數(shù)都保持不變。

基于文獻(xiàn)[2]的穩(wěn)定性分析結(jié)果，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性如下：

（1）當(dāng)c-F-acF≤0 且c+a-1/F＞0 時(shí)，系統(tǒng)有唯一漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E01。

（2）當(dāng)c-F-acF＞0 時(shí),系統(tǒng)有三個(gè)平衡點(diǎn)E01，E02，E03，且有以下幾種情況：

①平衡點(diǎn)E01為鞍點(diǎn)。

②當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)滿(mǎn)足Fc4+F2c3-2aF2c2+(2aF-2-3F2)c+3F=0 時(shí)，在平衡點(diǎn)E02,E03附近會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔。

因此，隨著參數(shù)的變化，該系統(tǒng)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性都具有明顯變化，存在典型的叉形分岔和Hopf 分岔特征。固定參數(shù)a=9.5，根據(jù)上述情況（2），結(jié)合平衡點(diǎn)E02,3的Hopf 分岔?xiàng)l件②，得到關(guān)于參數(shù)F和c的雙參數(shù)分岔圖，如圖1所示。虛線(xiàn)下方為c-F-acF＞0 區(qū)域，其中，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ為穩(wěn)定區(qū)域，區(qū)域Ⅱ?yàn)椴环€(wěn)定區(qū)域。實(shí)線(xiàn)為Hopf分岔臨界線(xiàn)，即當(dāng)參數(shù)取到實(shí)線(xiàn)上時(shí)，系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)E02,3附近發(fā)生Hopf分岔。

圖1 系統(tǒng)（3）的雙參數(shù)分岔圖

平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性可以由特征根進(jìn)行判別，平衡點(diǎn)E01處系統(tǒng)的Jacobi矩陣為：

則特征方程為：

平衡點(diǎn)E02,3處系統(tǒng)的Jacobi矩陣為：

則特征方程為：

為了詳細(xì)描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，固定參數(shù)a=9.5，c=2.5。將參數(shù)代入方程（5）和方程（6）可得平衡點(diǎn)E01和E02,3的特征方程分別為：

下頁(yè)圖2（a）和圖2（b）分別展示了系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E01和E02,3的特征值的實(shí)部和虛部隨著參數(shù)F的變化情況。

圖2 系統(tǒng)（3）平衡點(diǎn)的特征根實(shí)部和虛部

從圖2（a）可以看出，對(duì)于平衡點(diǎn)E01來(lái)說(shuō)，當(dāng)0 ＜F＜0.101時(shí)，即在點(diǎn)狀線(xiàn)左側(cè)區(qū)域，有一個(gè)正實(shí)特征值和兩個(gè)負(fù)實(shí)特征值，此時(shí)該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)；當(dāng)F＞0.101時(shí)，三個(gè)特征值的實(shí)部均小于0，此時(shí)該平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。

從圖2（b）可以看出，對(duì)于平衡點(diǎn)E02,3來(lái)說(shuō)，當(dāng)0 ＜F＜0.06 時(shí)，存在一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)實(shí)部大于0的共軛復(fù)根，此時(shí)該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)0.06 ＜F＜0.101 時(shí)，存在一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)實(shí)部小于0的共軛復(fù)根，此時(shí)該平衡點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。取F=0.08，其時(shí)間歷程圖和相圖如圖3所示。

圖3 F=0.08 時(shí)平衡點(diǎn)E02,3 為穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子

依據(jù)以上分析，在參數(shù)a=9.5，c=2.5 的情況下，方程（3）關(guān)于慢變量F的分岔圖如圖4（a）所示。當(dāng)參數(shù)F穿過(guò)點(diǎn)BP時(shí)，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)由一個(gè)變?yōu)槿齻€(gè)，因此BP為叉形分岔點(diǎn)，并且叉形分岔參數(shù)臨界值為FBP=0.101；根據(jù)前文中提到的Hopf 分岔發(fā)生的條件并代入?yún)?shù)可以求得FH1=FH2=0.06，因此穩(wěn)定的極限環(huán)發(fā)生在0 ＜F＜0.06 范圍內(nèi)。圖4（b）給出了F=0.05 時(shí)系統(tǒng)（3）存在的極限環(huán)，由于在Hopf 分岔臨界點(diǎn)的左側(cè)很快出現(xiàn)同時(shí)訪(fǎng)問(wèn)x正負(fù)半軸的大振幅極限環(huán)，因而此時(shí)Hopf 分岔為“鴨式爆炸”。

圖4 系統(tǒng)（3）的分岔圖和極限環(huán)

3 周期擾動(dòng)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

令擾動(dòng)頻率ω=0.002，固定參數(shù)b=0.16，通過(guò)增大弱周期擾動(dòng)幅值ε的值，不斷擴(kuò)大慢變量F的變化范圍，整個(gè)系統(tǒng)（2）表現(xiàn)出從穩(wěn)定到小振幅的簇發(fā)振蕩，再到大振幅的混沌簇發(fā)振蕩。

3.1 周期振蕩

取ε=0.03，此時(shí)利率x和價(jià)格指數(shù)z都為0，投資需求y周期性變化，稱(chēng)之為周期振蕩。此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處在相對(duì)穩(wěn)定的一個(gè)狀態(tài)。系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖如圖5所示。

圖5 b=0.16，ε=0.03 時(shí)系統(tǒng)（2）的周期振蕩

3.2 BP型奇異非混沌簇發(fā)

增大ε的值為ε=0.10，系統(tǒng)出現(xiàn)典型的振蕩行為，如圖6（a）所示。圖6（b）給出了Lyapunov指數(shù)圖，實(shí)線(xiàn)、點(diǎn)狀線(xiàn)和虛線(xiàn)分別代表三個(gè)Lyapunov指數(shù)。當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)小于0，因此系統(tǒng)處于非混沌狀態(tài)。從圖6（c）可以看出，系統(tǒng)振蕩形式具有“隨機(jī)性”，因?yàn)橄到y(tǒng)會(huì)在x的正半軸和負(fù)半軸之間隨機(jī)振動(dòng)，因此該吸引子又稱(chēng)為奇異非混沌吸引子。此類(lèi)系統(tǒng)存在“奇異非混沌吸引子”這種振動(dòng)形式在文獻(xiàn)[3,4]中也有提及。

圖6 b=0.16，ε=0.10 時(shí)系統(tǒng)（2）的簇發(fā)振蕩

此外，整個(gè)系統(tǒng)也表現(xiàn)為典型的簇發(fā)振蕩行為，因?yàn)榫哂械湫偷南鄬?duì)大幅振蕩的SP（激發(fā)態(tài)）和小振幅振蕩的QS（沉寂態(tài)）的耦合，其時(shí)間歷程圖如圖6（c）所示。其中，SP 指向的小圖為激發(fā)態(tài)的局部放大圖，可以看到呈現(xiàn)相對(duì)大幅振蕩的狀態(tài)。

為了揭示簇發(fā)振蕩的機(jī)理，首先給出系統(tǒng)變量x和慢變過(guò)程F=0.16+0.10 cos(0.002t) 的轉(zhuǎn)換相圖（見(jiàn)下頁(yè)圖7）。由時(shí)間歷程圖6（c）可以看出，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)x正半軸和負(fù)半軸，因此將轉(zhuǎn)換相圖按照時(shí)間和方向進(jìn)行分解，并將其和分岔圖（圖4（a））疊加。下頁(yè)圖8 表示軌線(xiàn)運(yùn)行方式是從上半支出發(fā)，從上半支返回；下頁(yè)圖9 表示從下半支出發(fā)，從下半支返回。這兩種運(yùn)動(dòng)模式分別簡(jiǎn)稱(chēng)為上上行、下下行。

圖7 b=0.16，ε=0.10 時(shí)系統(tǒng)（2）的轉(zhuǎn)換相圖

圖8 b=0.16，ε=0.10 時(shí)系統(tǒng)（2）的簇發(fā)振蕩機(jī)制（從上半支出發(fā)，從上半支返回）

圖9 b=0.16，ε=0.10 時(shí)系統(tǒng)（2）的簇發(fā)振蕩機(jī)制（從下半支出發(fā)，從下半支返回）

由于圖8 和圖9 兩種運(yùn)動(dòng)模式雖然運(yùn)動(dòng)方向不同，但是振蕩機(jī)理相近，因此不妨以圖8為例詳細(xì)描述整個(gè)簇發(fā)振蕩的演變過(guò)程。不妨假設(shè)系統(tǒng)從C點(diǎn)出發(fā)，由于C點(diǎn)處于穩(wěn)定的平衡線(xiàn)上，則將從C點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，這時(shí)系統(tǒng)處于沉寂態(tài)。直到遇到叉形分岔點(diǎn)BP，這里有一個(gè)微小的時(shí)滯到達(dá)D點(diǎn)，由于穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生微小高頻振蕩，形成激發(fā)態(tài)。由于穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引使得激發(fā)態(tài)的振幅逐漸變小，最終收斂到上半支穩(wěn)定的平衡線(xiàn)上，即激發(fā)態(tài)變?yōu)槌良艖B(tài)。當(dāng)軌線(xiàn)到達(dá)最左端H1點(diǎn)時(shí)，慢變過(guò)程F=0.16+0.10 cos(0.002t)達(dá)到最小值。接下來(lái)，軌線(xiàn)將調(diào)轉(zhuǎn)方向，按照F增大的方向運(yùn)動(dòng)，如圖8（b）所示，此時(shí)系統(tǒng)一直沿著穩(wěn)定平衡線(xiàn)向右運(yùn)動(dòng)，保持沉寂態(tài)，直到F=0.16+0.10 cos(0.002t)到達(dá)最大值點(diǎn)。接著，軌線(xiàn)又按照F減小的方向運(yùn)動(dòng)，直到遇到叉形分岔點(diǎn)BP，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)地訪(fǎng)問(wèn)上半支和下半支，即隨機(jī)地按照?qǐng)D8或者圖9的情形運(yùn)動(dòng)，如此往復(fù)。系統(tǒng)（3）的BP分岔導(dǎo)致系統(tǒng)（2）軌線(xiàn)向左運(yùn)行訪(fǎng)問(wèn)上、下兩支穩(wěn)定平衡線(xiàn)具有不確定性，但是其Lyapunov指數(shù)都是非正的，因此稱(chēng)之為BP型奇異非混沌簇發(fā)。

3.3 BP-Hopf型混沌簇發(fā)

繼續(xù)增大ε為ε=0.16，相圖如圖10（a）所示，此時(shí)振蕩呈現(xiàn)明顯的混沌特征。其Lyapunov 指數(shù)如圖10（b）所示，實(shí)線(xiàn)、點(diǎn)狀線(xiàn)和虛線(xiàn)分別代表三個(gè)Lyapunov 指數(shù)。當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，最大Lyapunov 指數(shù)大于0，因此整個(gè)金融系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖10 b=0.16，ε=0.16 時(shí)系統(tǒng)（2）的簇發(fā)振蕩

整個(gè)系統(tǒng)處于典型的簇發(fā)振蕩中，其時(shí)間歷程圖如圖10（c）所示。整個(gè)振蕩過(guò)程依然是大幅振蕩的SP（激發(fā)態(tài)）和小振幅振蕩的QS（沉寂態(tài)）的耦合，但激發(fā)態(tài)特征更加明顯。

從圖10（c）中可以看出，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)地訪(fǎng)問(wèn)上半支或者下半支，形成四種運(yùn)動(dòng)形式，并形成SP 和QS 之間的切換。為了揭示簇發(fā)振蕩的機(jī)理，給出快變量x和慢變過(guò)程F=0.16+0.10 cos(0.002t)的轉(zhuǎn)換相圖，如圖11所示。將轉(zhuǎn)換相圖按照時(shí)間和方向進(jìn)行分解并和分岔圖（圖4（a））疊加，圖12表示從上半支出發(fā)，從下半支返回；下頁(yè)圖13表示從下半支出發(fā)，從上半支返回。從上半支出發(fā)，從上半支返回的情形是圖12（a）與圖13（b）的結(jié)合；從下半支出發(fā)，從下半支返回的情形是圖13（a）與圖12（b）的結(jié)合。這四種運(yùn)動(dòng)模式分別簡(jiǎn)稱(chēng)為上下行、下上行、上上行、下下行。

圖12 b=0.16，ε=0.16 時(shí)系統(tǒng)（2）的簇發(fā)振蕩機(jī)制（從上半支出發(fā)，從下半支返回）

圖13 b=0.16，ε=0.16 時(shí)系統(tǒng)（2）的簇發(fā)振蕩機(jī)制（從下半支出發(fā)，從上半支返回）

由于四種運(yùn)動(dòng)模式雖然運(yùn)動(dòng)方向不同，但是振蕩機(jī)理相近，因此以圖12 為例詳細(xì)描述整個(gè)簇發(fā)振蕩的演變過(guò)程。不妨假設(shè)系統(tǒng)從C點(diǎn)出發(fā)，由于C點(diǎn)處于穩(wěn)定的平衡線(xiàn)上，因此將從C點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，這時(shí)系統(tǒng)處于沉寂態(tài)。直到遇到叉形分岔點(diǎn)BP，由于穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引到達(dá)D點(diǎn)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生微幅高頻振動(dòng)，穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引會(huì)使得振幅逐漸減小，這一過(guò)程很短暫，因?yàn)榈竭_(dá)Hopf 分岔點(diǎn)H1后，由于受到穩(wěn)定極限環(huán)的影響，系統(tǒng)會(huì)又呈現(xiàn)大幅振蕩的激發(fā)態(tài)，即區(qū)域Ⅰ的大幅振蕩，這種大幅振蕩一直持續(xù)到慢變過(guò)程F=0.16+0.16 cos(0.002t) 達(dá)到最小值。接下來(lái)，軌線(xiàn)將調(diào)轉(zhuǎn)方向，按照F增大的方向運(yùn)動(dòng)，即圖12（b），由于處于穩(wěn)定的極限環(huán)區(qū)域，系統(tǒng)將會(huì)繼續(xù)大幅振蕩，這種同時(shí)訪(fǎng)問(wèn)上、下坐標(biāo)軸的大幅振動(dòng)一直持續(xù)到Hopf 分岔點(diǎn)。超過(guò)H1,2后，軌線(xiàn)受到x軸下方穩(wěn)定平衡點(diǎn)的吸引，振幅逐漸變小，越過(guò)叉形分岔點(diǎn)BP后，逐漸收斂到平衡線(xiàn)上，直到到達(dá)F的最大值點(diǎn)，軌線(xiàn)又按照F減小的方向運(yùn)動(dòng)，直到遇到叉形分岔點(diǎn)BP，此時(shí)軌線(xiàn)將會(huì)隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)上、下分支，即隨機(jī)地按照上下行、下上行、上上行、下下行的情形運(yùn)動(dòng)，如此往復(fù)。由于系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中與BP叉形分岔和Hopf 分岔密切相關(guān)，因此稱(chēng)之為BP-Hopf混沌簇發(fā)。

與BP 型奇異非混沌簇發(fā)相比，BP-Hopf 混沌簇發(fā)具有兩種明顯的特征：一是激發(fā)態(tài)突出；二是隨機(jī)性也更加明顯。事實(shí)上，激發(fā)態(tài)突出是因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)（2）的軌線(xiàn)在運(yùn)行過(guò)程中不僅會(huì)遇到系統(tǒng)（3）的穩(wěn)定焦點(diǎn)導(dǎo)致的小幅振動(dòng)，還會(huì)受到系統(tǒng)（3）“鴨式爆炸”產(chǎn)生的大幅極限環(huán)的吸引，從而出現(xiàn)大幅高頻振動(dòng)，因而激發(fā)態(tài)凸顯。另外，BP分岔導(dǎo)致系統(tǒng)（2）向左運(yùn)行時(shí)存在隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)x上、下半軸的情形；同時(shí)，訪(fǎng)問(wèn)上、下半軸的大幅極限環(huán)又使得系統(tǒng)（2）向右運(yùn)行越過(guò)Hopf分岔后也出現(xiàn)了隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)x上、下半軸的情形，因此導(dǎo)致了四種運(yùn)行方式。隨機(jī)性更加突出，這也最終導(dǎo)致了混沌的出現(xiàn)。

綜上三種情形，可以發(fā)現(xiàn)大致描述了金融系統(tǒng)的一個(gè)調(diào)節(jié)過(guò)程。當(dāng)ε=0.03 時(shí)，利率x為0，沒(méi)有簇發(fā)現(xiàn)象，整個(gè)系統(tǒng)處于相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。但零利率一般出現(xiàn)于經(jīng)濟(jì)低迷期，此時(shí)可以通過(guò)降低利率以增加投資的方式，提高資金的流動(dòng)來(lái)帶動(dòng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，因此到了第二種情況，即增大ε=0.10，由于周期擾動(dòng)的存在，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)小振幅的簇發(fā)振蕩，利率會(huì)在一個(gè)相對(duì)小的振幅范圍內(nèi)波動(dòng)，降低到一定程度，然后利率開(kāi)始增加，循環(huán)往復(fù)維持系統(tǒng)的運(yùn)行。當(dāng)擾動(dòng)更大時(shí)，即第三種情況ε=0.16，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生比較劇烈的混沌簇發(fā)振蕩，整個(gè)金融系統(tǒng)處于典型的混沌狀態(tài)。因此，政府部門(mén)又會(huì)降低投資來(lái)使經(jīng)濟(jì)降溫，平穩(wěn)回落，如此往復(fù)維持金融系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

4 周期擾動(dòng)幅值對(duì)簇發(fā)振蕩的影響

由系統(tǒng)（3）的分岔圖（圖4（a））可知，Hopf分岔點(diǎn)的參數(shù)臨界值為FH1=FH2=0.06。這就說(shuō)明，當(dāng)F＜0.06 時(shí)，系統(tǒng)（3）存在穩(wěn)定的極限環(huán)吸引子；當(dāng)F＞0.06 時(shí)，系統(tǒng)（3）存在穩(wěn)定的極限環(huán)與穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子。當(dāng)激勵(lì)幅值范圍的兩個(gè)端點(diǎn)值滿(mǎn)足b-ε＜0.06 ＜b+ε時(shí)，F(xiàn)在b-ε和b+ε之間變化，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)涉及兩種吸引子，穩(wěn)定的極限環(huán)和穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子使得整個(gè)系統(tǒng)在激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)之間躍遷，導(dǎo)致了簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生，見(jiàn)圖11；當(dāng)幅值范圍滿(mǎn)足0.06 ＜b-ε時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)涉及穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子，出現(xiàn)小幅振蕩與沉寂態(tài)的躍遷狀態(tài)，見(jiàn)圖7；當(dāng)幅值范圍滿(mǎn)足0 ＜b-ε＜b+ε＜0.06 時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)只涉及極限環(huán)吸引子，從而只呈現(xiàn)大幅振蕩狀態(tài)，沉寂態(tài)消失，見(jiàn)圖14。

因此，當(dāng)b和ω一定時(shí)，擾動(dòng)幅值ε決定了慢變過(guò)程F=b+εcos(ωt)的變化范圍，調(diào)節(jié)著整個(gè)系統(tǒng)（2）涉及快變過(guò)程（3）的吸引子類(lèi)型，進(jìn)而影響了簇發(fā)振蕩的誘導(dǎo)機(jī)理，從而影響了整個(gè)金融系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。

5 結(jié)論

金融系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，相關(guān)因素較多。投資是金融系統(tǒng)中非常重要的一個(gè)元素，是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)力。因此，考慮將周期微小擾動(dòng)加入投資項(xiàng)中，整個(gè)系統(tǒng)將會(huì)是一個(gè)快慢耦合非自治系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)在一定參數(shù)范圍內(nèi)存在復(fù)雜的奇異非混沌簇發(fā)和混沌簇發(fā)振蕩。本文研究發(fā)現(xiàn)，這一快慢耦合非自治金融系統(tǒng)與其相應(yīng)的自治系統(tǒng)具有密切關(guān)系，自治系統(tǒng)存在的各種分岔和吸引子對(duì)非自治系統(tǒng)的振蕩行為具有明顯的調(diào)節(jié)作用。自治系統(tǒng)的叉形分岔和穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子導(dǎo)致了非自治系統(tǒng)的BP型奇異非混沌簇發(fā)振蕩；自治系統(tǒng)的叉形分岔、Hopf分岔、穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子和穩(wěn)定極限環(huán)吸引子是非自治系統(tǒng)的BP-Hopf型混沌簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理。自治系統(tǒng)分岔時(shí)對(duì)稱(chēng)吸引子的出現(xiàn)使得非自治系統(tǒng)訪(fǎng)問(wèn)對(duì)稱(chēng)吸引子出現(xiàn)“隨機(jī)性”。本文還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擾動(dòng)幅值處于很小的范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)無(wú)簇發(fā)現(xiàn)象發(fā)生；隨著幅值范圍擴(kuò)大，系統(tǒng)涉及叉形分岔，由于受到不同焦點(diǎn)吸引子的吸引，因此系統(tǒng)在沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)之間切換；當(dāng)幅值范圍進(jìn)一步增大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)叉形分岔和Hopf 分岔，極限環(huán)吸引子的出現(xiàn)會(huì)使得系統(tǒng)激發(fā)態(tài)更加明顯。

綜上所述，當(dāng)單位投資成本發(fā)生微小變化時(shí)，可能會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行產(chǎn)生較大影響。因此，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過(guò)程中，合理控制投資成本的變動(dòng)范圍才能保證經(jīng)濟(jì)相對(duì)平穩(wěn)地運(yùn)行。本文基于快慢分析理論給出了系統(tǒng)的具體振蕩模態(tài)，并進(jìn)行深入的誘導(dǎo)機(jī)理解釋?zhuān)@為實(shí)際的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行提供了可操作的方法。