數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用

修仰尚

摘要：在初中數(shù)學教學中，將數(shù)學問題與幾何圖形相結(jié)合是一種提高學生直觀理解和解題能力的有效方法.文章梳理了數(shù)形結(jié)合在解決幾何問題中的應用，將數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為圖形模型，使學生更直觀、更深入地理解數(shù)學問題;還探討了方程與不等式在圖形化中的應用，展示了如何通過圖形直觀地理解和求解代數(shù)問題；最后，文章進一步分析了函數(shù)特性的圖形解析及數(shù)形結(jié)合策略在解決實際應用問題中的運用，特別是在處理涉及距離與時間問題時的策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學；解題策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0002-03

數(shù)形結(jié)合是一種高效的解題方法，其側(cè)重于利用圖形的直觀性來輔助數(shù)學概念的理解和問題的解決[1].文章旨在深入探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的運用，揭示如何運用這一策略有效增強學生對數(shù)學概念的理解，并促進學生解題技能的提升[2].數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種提高數(shù)學可接近性的教學工具，更是一種培養(yǎng)學生空間感知和邏輯推理能力的思維模式，對初中數(shù)學教學的深度和廣度有著積極影響.

1 幾何與圖形結(jié)合的應用

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=35 cm，邊長12 cm的正方形CDEF內(nèi)接于△ABC.求△ABC的周長.

具體解題過程如下：

（1）設(shè)置變量：設(shè)BC=a，AC=b，根據(jù)勾股定理可以得到方程a2+b2=352.

（2）利用幾何性質(zhì)：由于正方形CDEF內(nèi)接于△ABC，根據(jù)幾何性質(zhì)可知，Rt△AFE與Rt△ACB相似.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有FE：CB = AF：AC，從而可得方程12b=a（b-12）.

（3）方程求解：結(jié)合這兩個方程，可以得到12（a+b）=ab.通過變形可得到（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b）.這里將a+b看作一個整體，得到一個一元二次方程.

（4）計算結(jié)果：解方程，得到a+b=49（另一解a+b=-25，不符合題意，故舍去）.因此，△ABC的周長為 a+b+35=49+35=84（cm）.

這個例題涵蓋了勾股定理、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，其解題過程展示了數(shù)形結(jié)合思想的運用，即首先通過圖形的特征建立幾何關(guān)系，然后將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學方程進行求解.這種方法不僅提高了解題的效率，而且增強了對幾何概念和代數(shù)技能的綜合理解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的重要作用.

2 方程與不等式的圖形可視化技巧

例2已知關(guān)于x的不等式組-x≥a，

x-1≥-b的解集在數(shù)軸上表示如圖2，則ba的值為（）

A．-16 B．116 C．-8D．18

具體解題過程如下：首先確定不等式-x≥a對應數(shù)軸上的區(qū)域.這表示x的值必須小于或者等于-a.接下來，分析不等式x-1≥-b，這表明x的值可以等于b+1，但不可以大于這個值.聯(lián)合這兩個不等式，解集在數(shù)軸上表示為-a到b+1的閉區(qū)間.題目要求求解-x與x-1的乘積.結(jié)合兩個不等式，這個乘積的最大值在x取最小值－a和x取最大值b+1時出現(xiàn)，即-（-a）×（b+1-1）.根據(jù)題目在數(shù)軸上的標記， a和b的數(shù)值可以直接讀出為a=-2和b= 4.將a和b的值代入上述代數(shù)式中，得到2×4=8.最終得出的乘積為 8，故選B .

數(shù)軸的可視化在此過程中起到了關(guān)鍵作用，可以直觀地識別和解決問題.通過數(shù)形結(jié)合，不僅簡化了問題的理解，而且提高了求解效率.

3 運用圖形解析函數(shù)特性

例3給定兩個正比例函數(shù)的圖象，點A（2，0）位于x軸上.過點A作x軸的垂線，與這兩個函數(shù)的圖象相交于點B和點C.請計算△OBC的面積.

具體解題過程如下：根據(jù)已知條件，過點A（2，0）作x軸的垂線，交兩個正比例函數(shù)的圖象于點B和點C.由此可以根據(jù)點A的坐標確定點B和點C的坐標.對于第一個函數(shù)y=x，將x=2代入得到B（2，2）.對于第二個函數(shù)y=3x，將x=2代入得到C（2，6）.由于點B和點C的橫坐標相同，所以線段BC的長等于這兩點的縱坐標之差，即BC=6-2=4.根據(jù)三角形的面積公式易知△OBC的面積為S△OBC=12×BC×OA=12×4×2=4.

數(shù)形結(jié)合的方法加深了學生對函數(shù)概念的理解，使學生能夠通過觀察和分析圖形來解決數(shù)學問題.這種方法不僅加深了學生對函數(shù)在坐標平面上表示方法的理解，而且為學生解決問題提供了一種強有力的視覺工具.

4 實際應用問題中的數(shù)形結(jié)合策略

例4考慮一個反映銷售數(shù)量（用x表示，單位為件）與銷售費用（用y表示，單位為元）之間關(guān)系的銷售情景，如圖4所示，它描述了某家企業(yè)按月向其銷售團隊支付銷售費用的兩個不同計劃.

（1）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，推導出兩個支付計劃下的銷售費用y1和y2與銷售數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）從圖4中解讀這兩個支付計劃，概述每一種方案的推銷費支付機制.

（3）假設(shè)你是該銷售團隊的一員，基于這些信息，考慮你應如何選擇最適合你的薪酬計劃.

具體解題過程如下：

（1）觀察圖表，直觀看出y1與y2都隨著x的增加而增加，但增長的速率和起始點不同.直線y1從原點開始，表明無基本工資，完全依賴銷售量；而直線y2從 y軸的300開始，表示有固定工資，再加上銷量提成.

（2）分析這兩條直線，可以得出它們的函數(shù)解析式y(tǒng)1=20x表示無底薪，是純提成方案.y2=10x+300表示有底薪加上提成.

（3）針對不同的銷售能力，推銷員可以選擇最優(yōu)方案：銷量高于30件時，選擇方案y1較為有利；銷量不足30件時，選擇y2方案更為保險.

通過數(shù)形結(jié)合的策略，學生可以從圖形中直觀地理解和建立推銷費與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系，進而做出基于數(shù)學分析的決策.此方法不僅使問題的解決更加直觀有效，而且?guī)椭鷮W生認識到數(shù)學工具在現(xiàn)實世界經(jīng)濟決策中的實際應用價值.

5 數(shù)形結(jié)合解決“距離與相遇”問題

例5一輛動車和一輛普通火車分別從西安和西寧同時出發(fā)，朝對方所在的城市前進.這里將普通火車運行的時長記為x h，兩列火車之間的距離記為y km.圖5描繪了y隨x變化的關(guān)系.

依據(jù)圖5，解答下列問題：

（1）計算西安與西寧之間的實際距離及兩列火車啟程后多長時間相遇；確定普通火車到達目的地所需的整體時間，并推算其速度（以km/h為單位）.

（2）基于圖表信息，推導出動車組的平均速率.

（3）在普通火車行駛t h之后，動車組正好抵達西寧.估算在這個時刻，普通火車還需行進多少千米才能抵達西安？

具體解答過程如下：（1）根據(jù)圖象可知，當x=0時，y=1 000.由此可以得知西安與西寧之間的距離是1 000 km.同時，當x=3時，y =0，這表示兩列火車在3 h后相遇.普通火車到達終點所需的整體時間為x =12 h，所以它的速度v=路程? 時間 =1 00012=2503（km/h）.

（2）假設(shè)動車的速度為v動 km/h.因為兩列火車在3 h后相遇，所以3v動+3×2503=1 000，即3v動+250=1 000，解得v動 =250 km/h.

（3）首先，需要確定普通列車在t h后已經(jīng)行駛的距離.普通列車的速度v是2503 km/h，所以在t h內(nèi)，普通列車行駛的距離d普通=v×t=2503t.如果動車組在t h后抵達西寧，而普通列車還需行駛2 0003 km到達西安，則普通列車在t h后的位置加上2 0003 km應該等于西安與西寧之間的總距離.設(shè)總距離為y總，就有d普通 +2 0003=y總.因為從西安到西寧的總距離y總是1 000 km，可以代入d普通 的表達式，得到2503t+2 0003=1 000，解得t=4.所以，普通列車在 4 h后的位置距離西安還有2 0003 km.

數(shù)形結(jié)合策略在解決“距離與相遇”問題中的應用，讓學生通過圖形化的數(shù)據(jù)理解和解決實際問題，這種方法提高了解題的準確性和效率.

6 結(jié)束語

文章探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用路徑，從幾何圖形的理解到方程與不等式的圖形化，再到函數(shù)特性的直觀分析，最后討論了數(shù)形結(jié)合在實際應用問題中的應用價值.這一教學方法不僅提高了學生的解題效率，而且深化了他們對數(shù)學概念的理解.展望未來，數(shù)形結(jié)合的策略應當在初中數(shù)學教學中得到更廣泛的應用.

參考文獻：

［1］ 吳小峰.初中數(shù)學課程教學中數(shù)形結(jié)合思想的運用探討[J].教學方法創(chuàng)新與實踐，2023，6（11）：56-58.

[2] 張保萍.關(guān)于數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學教學中有效融合的研究[J].學周刊，2021（29）：47-48.

［責任編輯：李璟］