一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用之“最”

楊金林

一次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著極為廣泛的應(yīng)用，以一次函數(shù)為載體的實(shí)際問題則是歷年中考試卷的熱點(diǎn)題型之一，尤其是“最值”型實(shí)際應(yīng)用問題更是頻頻出現(xiàn)．現(xiàn)以2023年中考試題為例予以說明，供同學(xué)們參考．

一 最低費(fèi)用

例1 （2023·揚(yáng)州）近年來，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大，某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔．已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，每只甲種頭盔的價(jià)格比每只乙種頭盔的價(jià)格高11元．

（1）甲、乙兩種頭盔每只的價(jià)格各是多少元？

（2）商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方式如下：甲種頭盔按原價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費(fèi)用最低？最低總費(fèi)用是多少元？

解：（1）設(shè)乙種頭盔的價(jià)格為x元／只，則甲種頭盔的價(jià)格為（x+11）元／只，根據(jù)題意，得20（x+11）+30x=2920，解得x=54，x+11=65.

答：甲、乙兩種頭盔的價(jià)格分別為65元／只和54元／只．

（2）設(shè)購買m只甲種頭盔，（40-m）只乙種頭盔，購買頭盔的總費(fèi)用為w元．

由題意知m≥1/2（40-m），解得m≥131/3，故最小整數(shù)解為m=14．

w=0.8×65m+（54-6）（40-m）=4m+1920.

由4>0可知，w隨m的增大而增大．

所以，m=14時(shí)w取最小值，最小值為4×14+1920=1976．

答：購買14只甲種頭盔時(shí)，購買頭盔的總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為1976元．

二 最大利潤(rùn)

例2 （2023·遼寧）端午節(jié)是我國(guó)首個(gè)人選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，某超市為了滿足人們的需求，計(jì)劃在端午節(jié)前購進(jìn)甲、乙兩種粽子進(jìn)行銷售，經(jīng)了解，每個(gè)乙種粽子的進(jìn)價(jià)比每個(gè)甲種粽子的進(jìn)價(jià)多2元，用1000元購進(jìn)甲種粽子的個(gè)數(shù)與用1200元購進(jìn)乙種粽子的個(gè)數(shù)相同．

（1）甲、乙兩種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）該超市計(jì)劃購進(jìn)這兩種粽子共200個(gè)（兩種都要有），其中甲種粽子的個(gè)數(shù)不低于乙種粽子個(gè)數(shù)的2倍．若甲、乙兩種粽子的售價(jià)分別為12元／個(gè)、15元／個(gè)，設(shè)購進(jìn)甲種粽子m個(gè)，兩種粽子全部售完時(shí)獲得的利潤(rùn)為w元．

①求w與m的函數(shù)解析式，并求出m的取值范圍．

②超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？

解：（1）設(shè)甲種粽子的進(jìn)價(jià)為x元／個(gè)，則乙種粽子的進(jìn)價(jià)為（x+2）元／個(gè)．

由題意得1000/x=1200/x+2，解得x=10．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的解，且符合題意，則x+2=12．

答：甲種粽子的進(jìn)價(jià)為10元／個(gè)，乙種粽子的進(jìn)價(jià)為12元／個(gè)．

（2）①購進(jìn)甲種粽子m個(gè)，則購進(jìn)乙種粽子（200-m）個(gè)．

由題意得w=（12-10）m+（15-12）（200-m）=-m+600．

因?yàn)榧追N粽子的個(gè)數(shù)不低于乙種粽子個(gè)數(shù)的2倍，所以m≥2（200-m），解得m≥1331/3.

所以，w與m的函數(shù)解析式為

w=-m+600（1331/3≤m<200，n為整數(shù)）．

②因?yàn)?1<0，所以w隨m的增大而減小，因?yàn)閙≥1331/3，所以m的最小整數(shù)解為134．

所以當(dāng)m=134時(shí)，w取最大值，最大值為-134+600=466，則200-m=66．

答：購進(jìn)甲種粽子134個(gè)、乙種粽子66個(gè)能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為466元．

三 最優(yōu)方案

例3 （2023·通遼）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購買A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10t貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450t貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500t貨物所需天數(shù)相同．

（1）求每臺(tái)A型機(jī)器和每臺(tái)B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)多少噸貨物．

（2）已知每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬元．該公司計(jì)劃采購兩種型號(hào)的機(jī)器共30臺(tái)，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880t的需求，且購買金額不超過55萬元，請(qǐng)幫助該公司求出最省錢的采購方案．

解：（1）設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)xt貨物，則每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)（x-10）t貨物．

由題意可得450/x-10=500/x，解得x=100.經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原方程的解，且符合題意．

x-10=100-10=90（t）.

答：每臺(tái)A型機(jī)器和每臺(tái)B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物90t和100t．

（2）設(shè)公司采購A型機(jī)器m臺(tái)，則采購B型機(jī)器（30-m）臺(tái)．

采購金額w=1.5m+2（30-m）=-0.5m+60.

因?yàn)?0.5<0，所以w隨m的增大而減?。?/p>

所以當(dāng)m=12時(shí)，公司采購金額w取最小值，此時(shí)w=-0.5x12+60=54（萬元）．

答：當(dāng)購買A型機(jī)器12臺(tái)、B型機(jī)器18臺(tái)時(shí)，采購總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為54萬元．