一類對稱可微不變凸多目標規(guī)劃的最優(yōu)性

張 媛,李 鈺

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)

多目標規(guī)劃與廣義凸性目前被頻繁應用于各個領域,故越來越多的學者對此展開深入研究。HANSON[1]通過對凸函數(shù)推廣,定義了一類廣義凸函數(shù)——不變凸函數(shù),自此之后,越來越多的不變凸函數(shù)類被提出。1991年, BECTOR[2]給出不變凸函數(shù)的推廣形式,定義了一類新廣義凸函數(shù)——B不變凸函數(shù)。2004年,ZHANG[3]放寬了B不變凸函數(shù),利用Minch對稱梯度,定義了Bs不變凸函數(shù)和嚴格Bs不變凸函數(shù),研究該不變凸性下半無限規(guī)劃的最優(yōu)性和對偶條件。2001年,ANTCZAK提出一類新的廣義凸函數(shù)——(p,r)不變凸函數(shù)[4],并研究了單目標規(guī)劃問題的Fritz-John條件、Kuhn-Tucker條件[5]。隨后,ANTCZAK[6]對B不變凸函數(shù)、(p,r)不變凸函數(shù)進行推廣,提出新的廣義凸函數(shù)——B-(p,r)不變凸函數(shù),利用該函數(shù)研究不等式約束下單目標規(guī)劃問題的最優(yōu)性充分條件。文獻[7]針對B-(p,r)不變凸函數(shù)研究了多目標規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件。2007年,ANTCZAK提出G不變凸函數(shù)[8],利用該函數(shù)研究了具有不等式和等式約束的可微多目標規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件[9]。文獻[10-11]把G不變凸函數(shù)推廣到非可微的情況,進而研究了多目標規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和對偶性條件。近年來,ANTCZAK繼續(xù)推廣G不變凸函數(shù),定義了一類新的非可微G-V不變凸函數(shù),針對涉及局部Lipschitz函數(shù)的不可微多目標規(guī)劃問題,建立了新的Fritz-John最優(yōu)性必要條件和Karush-Kuhn-Tucker必要條件[12]。文獻[13]利用局部Lipschitz函數(shù)對G-V不變凸函數(shù)進行推廣,新定義了一類(G-V,ρ)不變凸函數(shù),研究了非可微多目標規(guī)劃的Mond-Weir型對偶問題,得到了弱對偶、嚴格逆對偶條件。隨后,文獻[14]通過推廣(G-V,ρ)不變凸函數(shù),提出了G-ρ不變凸函數(shù),研究涉及此類不變凸函數(shù)的半無限多目標規(guī)劃問題,得到了不完全Lagrange函數(shù)鞍點的充分性和必要性條件。

本文在上述文獻的研究基礎上,利用Minch對稱梯度[15],新定義了可微G-Bs-(p,r,ρ)不變凸函數(shù)、G-Bs-(p,r,ρ)不變擬凸函數(shù)和G-Bs-(p,r,ρ)不變偽凸函數(shù),在新定義的這類函數(shù)下研究具有不等式約束的多目標規(guī)劃問題,得出一些最優(yōu)性充分條件。

1 基本定義

定義1[15]設x∈X,如果存在一個Rn→R的線性算子fs(x)使得對于充分小的h∈Rn有:

f(x+h)-f(x-h)=2hTfs(x)+α(x,h)‖h‖

其中α(x,h)∈R,并且當‖h‖→0時,α(x,h)→0,則稱f在x點對稱可微。線性算子fs(x)表示f在x點的對稱梯度,若f對于每個x∈X都有對稱梯度,則稱f在X上對稱可微。

定義2設非空開集X?Rn,f=(f1,…,fm),f:X→Rm是定義在X上的對稱可微函數(shù),Ifi(x)(i=1,…,m)表示fi的值,函數(shù)Gf=(Gf1,…,Gfm),R→Rm的任意分量Gfi:Ifi(X)→R(i=1,…,m)為嚴格單調(diào)遞增可微實值函數(shù),p,r為任意的實數(shù),x0∈X,若對任意的x∈X,存在向量函數(shù)η:X×X→Rn,常數(shù)ρi∈R,函數(shù)d:X×X→R和函數(shù)b:X×X→R+,有:

當p≠0,r≠0時:

當p=0,r≠0時:

當p≠0,r=0時:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))

當p=0,r=0時:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))

那么,稱f在x0點是關(guān)于η和b的可微G-Bs-(p,r,ρ)不變凸函數(shù)。若x≠x0,并且公式中的≥換成>,則稱函數(shù)f在x0點是關(guān)于η和b的嚴格可微G-Bs-(p,r,ρ)不變凸函數(shù)。

定義3設非空開集X?Rn,f=(f1,…,fm),f:X→Rm是定義在X上的對稱可微函數(shù),Ifi(x)(i=1,…,m)表示fi的值,函數(shù)Gf=(Gf1,…,Gfm),R→Rm的任意分量Gfi:Ifi(X)→R(i=1,…,m)為嚴格單調(diào)遞增可微實值函數(shù),p,r為任意的實數(shù),x0∈X,若對任意的x∈X,存在向量函數(shù)η:X×X→Rn,常數(shù)ρi∈R,函數(shù)d:X×X→R和函數(shù)b:X×X→R+,有:

當p≠0,r≠0時:

ρid2(x,x0)≤0

當p=0,r≠0時:

當p≠0,r=0時:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≤0?

當p=0,r=0時:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≤0?

那么,稱f在x0點是關(guān)于η和b的可微G-Bs-(p,r,ρ)不變擬凸函數(shù)。若x≠x0,并且公式中的≤換成<,則稱函數(shù)f在x0點是關(guān)于η和b的嚴格可微G-Bs-(p,r,ρ)不變擬凸函數(shù)。

定義4設非空開集X?Rn,f=(f1,…,fm),f:X→Rm是定義在X上的對稱可微函數(shù),Ifi(x)(i=1,…,m)表示fi的值,函數(shù)Gf=(Gf1,…,Gfm),R→Rm的任意分量Gfi:Ifi(X)→R(i=1,…,m)為嚴格單調(diào)遞增可微實值函數(shù),p,r為任意的實數(shù),x0∈X,若對任意的x∈X,存在向量函數(shù)η:X×X→Rn,常數(shù)ρi∈R,函數(shù)d:X×X→R和函數(shù)b:X×X→R+,有:

當p≠0,r≠0時:

當p=0,r≠0時:

當p≠0,r=0時:

?b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≥0

當p=0,r=0時:

?b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≥0

那么,稱f在x0點是關(guān)于η和b的可微G-Bs-(p,r,ρ)不變偽凸函數(shù)。若x≠x0,并且公式中的≥換成>,則稱函數(shù)f在x0點是關(guān)于η和b的嚴格可微G-Bs-(p,r,ρ)不變偽凸函數(shù)。

定義5[16]設x0∈X,如果不存在x∈X,使得f(x)≤f(x0),則稱x0是多目標規(guī)劃的有效解。

注2在下文中的證明只考慮p≠0,r≠0的情況,至于p=0,r≠0和p≠0,r=0和p=0,r=0的情況,證明較為簡單,類似即可證得。

2 最優(yōu)性條件

本文考慮的不等式約束多目標規(guī)劃如下:

其中,X是Rn上的非空開集,函數(shù)fi(x):X→R(i=1,…,m)與gj(x):X→R(j=1,…,n)都在X上是對稱可微的。

定理1設x0是規(guī)劃(VP)的可行解,若滿足下列條件,則x0是規(guī)劃(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列條件成立:

證明設x0不是規(guī)劃(VP)的有效解,則存在可行解x,有f(x)≤f(x0),即fi(x)≤fi(x0),其中i=1,…,m,存在一個α,使得1≤α≤m時,有fα(x)

(1)

又Gfi(fi(x))

ρid2(x,x0)<0

即有

(2)

(3)

式(2)、式(3)相加,有

(4)

結(jié)合式(4),有

定理2設x0是規(guī)劃(VP)的可行解,若滿足下列條件,則x0是規(guī)劃(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列條件成立:

證明設x0不是規(guī)劃(VP)的有效解,則存在可行解x,有f(x)≤f(x0),即fi(x)≤fi(x0),其中i=1,…,m,存在一個α,使得1≤α≤m時,有fα(x)

(5)

(6)

式(5)、式(6)相加,可得

(7)

其中:

又b(x,x0)≥0,由式(7)可得

則有

ρd2(x,x0)<0

(8)

結(jié)合條件(ⅰ)和ρd2(x,x0)≥0,可得

ρd2(x,x0)≥0

(9)

易知,式(8)與式(9)互相矛盾,則x0是規(guī)劃(VP)的有效解。

定理3設x0是規(guī)劃(VP)的可行解,若滿足下列條件,則x0是規(guī)劃(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列條件成立:

證明設x0不是規(guī)劃(VP)的有效解,則存在可行解x,有f(x)≤f(x0),即fi(x)≤fi(x0),其中i=1,…,m,存在一個α,使得1≤α≤m時,有fα(x)

(10)

(epη(x,x0)-1)+ρid2(x,x0)

由b(x,x0)≥0,并結(jié)合式(10),可得

ρid2(x,x0)<0

結(jié)合條件(ⅰ)可得

即有

(11)

那么,結(jié)合式(11)可得

(12)

(13)

可得式(12)與式(13)互相矛盾,則x0是規(guī)劃(VP)的有效解。

定理4設x0是規(guī)劃(VP)的可行解,若滿足下列條件,則x0是規(guī)劃(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列條件成立:

證明該定理證明與定理3類似。

3 結(jié)論

本文在已有文獻的研究基礎上,結(jié)合Minch對稱梯度,新定義了一類對稱可微不變凸函數(shù),針對此函數(shù)凸性限制下的不等式約束多目標規(guī)劃的最優(yōu)性條件進行研究,得出的結(jié)果拓展了已有的最優(yōu)化相關(guān)理論,后續(xù)可以繼續(xù)研究Wolfe型對偶、Mond-Weir型對偶、鞍點問題以及分式規(guī)劃下的最優(yōu)性條件等內(nèi)容。