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    體悟圖形運(yùn)動(dòng),構(gòu)建幾何模型,提升核心素養(yǎng)

    2024-05-23 21:17:24張麗君
    數(shù)理天地(初中版) 2024年9期
    關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng)

    張麗君

    【摘要】幾何教學(xué)既是中考考查的重點(diǎn),也是日常教學(xué)的難點(diǎn),使用模型教學(xué)是幾何教學(xué)的重要手段.本文以“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”模型為例,通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,體悟圖形運(yùn)動(dòng)思想.借助典型例題,引導(dǎo)學(xué)生思考分析,構(gòu)建8字型全等三角形模型.運(yùn)用變式練習(xí),進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)模型的理解和應(yīng)用,提高識(shí)圖技能,發(fā)展數(shù)學(xué)觀察能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    【關(guān)鍵詞】圖形運(yùn)動(dòng);幾何模型;核心素養(yǎng)

    2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.初中數(shù)學(xué)內(nèi)容分為五大板塊:數(shù)與數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)與方程、圖形與幾何、函數(shù)與分析、數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計(jì).其中幾何教學(xué)既是中考考查的重點(diǎn),也是日常教學(xué)的難點(diǎn),使用模型教學(xué)是幾何教學(xué)的重要手段.

    初中幾何模型是教師在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中對(duì)具有一定相同特征的幾何圖形和問(wèn)題的歸納,側(cè)重對(duì)某一解題方法、技巧的模仿和遷移運(yùn)用.本文筆者以滬教版教材八年級(jí)上冊(cè)第十九章第2節(jié)“證明舉例”中的“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”教學(xué)設(shè)計(jì)為例,闡述如何在圖形運(yùn)動(dòng)思想指導(dǎo)下構(gòu)建幾何模型,提升核心素養(yǎng).

    1 課前思考

    1.1 教學(xué)目標(biāo)

    依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維水平,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下:能夠識(shí)別模型,通過(guò)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”構(gòu)造8字型全等三角形模型,轉(zhuǎn)化已知條件進(jìn)而解決問(wèn)題.進(jìn)一步獲得探究證明題思路的經(jīng)歷,豐富演繹證明的經(jīng)驗(yàn),體會(huì)在圖形運(yùn)動(dòng)思想的指導(dǎo)下添置輔助線(xiàn)和構(gòu)造模型的方法,感受轉(zhuǎn)化思想.

    1.2 教學(xué)重難點(diǎn)

    學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)圖形的三種運(yùn)動(dòng)、全等和等腰三角形的相關(guān)知識(shí),為本節(jié)課的研究奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課的教學(xué)重是點(diǎn)能夠識(shí)別模型,通過(guò)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”構(gòu)造8字型全等三角形模型,轉(zhuǎn)化已知條件進(jìn)而解決問(wèn)題;而如何利用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”構(gòu)造模型是本節(jié)課的難點(diǎn).

    2 課例設(shè)計(jì)

    2.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題,引入模型

    問(wèn)題1 如圖1,D是BC上的一點(diǎn),BD=CD,∠1=∠2.能否證明AB=AC呢?

    解法1

    證明:因?yàn)锽D=CD,∠1=∠2

    所以AB=AC(等腰三角形三線(xiàn)合一)

    解法2

    證明:在△ABD與△ACD中,

    所以△ABD≌△ACD(SAS)

    所以AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)

    問(wèn)題2 解法一和解法二的方法正確嗎?錯(cuò)誤在哪里?

    問(wèn)題3 在已有的圖形和條件無(wú)法解決問(wèn)題的情況下,我們需要怎么辦?

    問(wèn)題4 如何添加輔助線(xiàn)?

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生思考兩種證明思路存在的問(wèn)題,復(fù)習(xí)回顧全等和等腰三角形的知識(shí).學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)無(wú)法在現(xiàn)有的圖形中解決問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生體悟圖形運(yùn)動(dòng)思想,利用將△ABD或△ACD旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“8字型全等三角形”模型,從而達(dá)到轉(zhuǎn)化邊和角的目的.

    2.2 分析歸納,構(gòu)建模型

    問(wèn)題1 什么是倍長(zhǎng)中線(xiàn)?

    問(wèn)題2 遇到什么情況需要構(gòu)建倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型?

    問(wèn)題3 如何構(gòu)建倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型?

    如圖2,當(dāng)題目中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)可以想到延長(zhǎng)三角形的中線(xiàn)或過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段(類(lèi)中線(xiàn)),使得延長(zhǎng)后的線(xiàn)段等于原來(lái)的兩倍,再聯(lián)結(jié)相應(yīng)的端點(diǎn)構(gòu)造8字型全等模型,從而達(dá)到轉(zhuǎn)化邊和角的目的.

    設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生歸納“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”的含義,提升數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線(xiàn)”時(shí)可以考慮倍長(zhǎng),構(gòu)造8字型全等.通過(guò)分析歸納模型的特點(diǎn),幫助學(xué)生在腦海中構(gòu)建模型,加深對(duì)模型的理解,樹(shù)立模型意識(shí),提升數(shù)學(xué)觀察能力.

    2.3 典例精晰,運(yùn)用模型

    例題 已知,如圖3,C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且∠AEC=∠D.

    求證 AE=BD.

    問(wèn)題1 如何證明結(jié)論?全等三角形的性質(zhì)可以嗎?等腰三角形的性質(zhì)可以嗎?如何轉(zhuǎn)化條件?

    問(wèn)題2 如何添加輔助線(xiàn)?如圖4,延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F,使得DC=CF,聯(lián)結(jié)AF還是BF?還是都可以?

    問(wèn)題3 還可以添加別的輔助線(xiàn)嗎?如圖5,延長(zhǎng)EC可以嗎?

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)典型例題的分析引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體悟圖形運(yùn)動(dòng)思想,當(dāng)題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”時(shí)可以聯(lián)想到需要“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”,建立8字型全等三角形模型.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析“延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F,使得DC=CF,聯(lián)結(jié)AF還是BF?”,當(dāng)聯(lián)結(jié)BF時(shí),無(wú)法構(gòu)造8字型全等三角形,也無(wú)法轉(zhuǎn)移邊和角,從而是錯(cuò)誤的輔助線(xiàn).另外,引導(dǎo)學(xué)生一題多解,從不同的角度思考問(wèn)題,如果輔助線(xiàn)是“延長(zhǎng)EC至點(diǎn)F,使得EC = CF,則應(yīng)該聯(lián)結(jié)BF”.

    2.4 變式練習(xí),鞏固模型

    練習(xí) 已知,如圖6,C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)AD,且DG=EG.

    求證 AE=BD.

    問(wèn)題1 如何添加輔助線(xiàn)?

    問(wèn)題2 延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F,使得DC=CF,聯(lián)結(jié)AF還是BF?還是都可以?

    問(wèn)題3 還可以添加別的輔助線(xiàn)嗎?延長(zhǎng)EC可以嗎?

    設(shè)計(jì)意圖 變式練習(xí)是在例題的基礎(chǔ)上改編而成,引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中識(shí)別出基本模型.進(jìn)一步鞏固通過(guò)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”構(gòu)建8字型全等模型,體會(huì)圖形的運(yùn)動(dòng)可以轉(zhuǎn)移邊和角.通過(guò)分析輔助線(xiàn)的聯(lián)結(jié),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力,培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).

    2.5 暢談收獲,總結(jié)模型

    請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勛约旱氖斋@,嘗試從“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”的概念、目的、模型、口訣、思想等方面進(jìn)行總結(jié).教師引導(dǎo)學(xué)生理解“倍:加倍—邊等;長(zhǎng):延長(zhǎng)—對(duì)頂角;中線(xiàn):邊等”,牢記“遇中線(xiàn),想倍長(zhǎng);構(gòu)全等,找關(guān)系”的口訣.

    設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生通過(guò)總結(jié)加深對(duì)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”模型的理解,進(jìn)一步體悟圖形的運(yùn)動(dòng)思想,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    2.6 分層作業(yè),內(nèi)化模型

    基礎(chǔ)訓(xùn)練 必做題

    (1)已知,如圖7,在△ABC中,AB = 4,AC = 3,AD是BC的中線(xiàn),則AD的取值范圍為.

    能力提升 選做題

    (2)已知,如圖8,CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線(xiàn),且AC = AB.

    求證:CE = 2CD.

    拓展提高 選做題

    (3)已知,如圖9,AD是△ABC的中線(xiàn),點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,且DE⊥DF,

    求證:BE+CF>EF.

    設(shè)計(jì)意圖 分層作業(yè)主要是兼顧不同層次學(xué)生的實(shí)際需求,針對(duì)性地調(diào)控作業(yè)難度,促進(jìn)每個(gè)孩子能在原有基礎(chǔ)上有所進(jìn)步.

    3 教學(xué)啟示

    3.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,體悟圖形運(yùn)動(dòng)

    本節(jié)課是以滬教版八年級(jí)第一學(xué)期課本97頁(yè)第11題作為問(wèn)題情境,首先分析在已有的圖形中能否借助已知條件解決問(wèn)題.其次,進(jìn)一步思考如何轉(zhuǎn)化條件從而解決問(wèn)題.最后,教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖形的運(yùn)動(dòng)改變圖形的位置,達(dá)到轉(zhuǎn)移邊和角的目的.在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生可以感悟到圖形的運(yùn)動(dòng)在幾何說(shuō)理過(guò)程中的重要性.

    3.2 學(xué)生自主思考,構(gòu)建幾何模型

    本節(jié)課通過(guò)典型例題的分析,找到題目中的題眼“中點(diǎn)”,由此聯(lián)想到“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”輔助線(xiàn),構(gòu)造8字型全等三角形.此題難點(diǎn)是倍長(zhǎng)EC或DC之后是與A聯(lián)結(jié)還是與B聯(lián)結(jié),學(xué)生自主思考分析,選擇聯(lián)結(jié)哪個(gè)點(diǎn)可以有效轉(zhuǎn)化條件,從而進(jìn)行突破.在這個(gè)過(guò)程中,不僅培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力,而且鍛煉學(xué)生的思維,提升模型意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    3.3注重變式練習(xí),強(qiáng)化模型應(yīng)用

    變式訓(xùn)練有助于學(xué)生更好地理解和掌握模型,培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜圖形中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力.本節(jié)課的變式練習(xí)是在典型例題的基礎(chǔ)上改編而成,聯(lián)結(jié)了AD,且延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G.這道題目相比例題的圖形更加復(fù)雜,需要學(xué)生先識(shí)別出基礎(chǔ)模型,添加恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn),在添加輔助線(xiàn)的時(shí)候同樣需要考慮聯(lián)結(jié)哪個(gè)端點(diǎn)可以有效轉(zhuǎn)化條件.通過(guò)這道變式訓(xùn)練,不僅可以檢測(cè)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成程度,同時(shí)進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”模型的理解,再次體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)思想,強(qiáng)化模型應(yīng)用能力.

    3.4 發(fā)展識(shí)圖技能,提升核心素養(yǎng)

    本節(jié)課問(wèn)題引入、典例精晰、變式練習(xí)都緊扣主題,選取了具有代表性的題目.通過(guò)層層分析,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)在何種情況下考慮“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”,“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”具體的方法以及“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”之后聯(lián)結(jié)哪個(gè)端點(diǎn)合適等.在這個(gè)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖、標(biāo)圖,發(fā)展數(shù)學(xué)觀察能力,提升數(shù)學(xué)思維能力以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]吳剛平,安桂清,周文葉.新方案·新課標(biāo)·新征程:《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》 研讀[M].華東師范大學(xué)出版社,2022.

    [2]鄭興民.初中數(shù)學(xué)幾何模型的教學(xué)誤區(qū)與解決路徑[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào),2022,23(09):30-32.

    [3]陳建.“雙減”下的初中數(shù)學(xué)建模思想訓(xùn)練探究[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào),2022,23(06):6-8.

    [4]李洪明.如何有效開(kāi)展初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)[J].科學(xué)大眾(科學(xué)教育),2019,(05):14.

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