初中數(shù)學(xué)解題中輔助圓的應(yīng)用分析

歐露

【摘要】在初中數(shù)學(xué)解題中，并不是所有的題目都可以采用常規(guī)的解題方式，對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，需要轉(zhuǎn)變解題思路，引入相應(yīng)的輔助圓，完成問(wèn)題的解答.通過(guò)輔助圓的構(gòu)造和應(yīng)用，能夠發(fā)掘題目中的隱藏信息，簡(jiǎn)化題目，使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單，幫助學(xué)生快速解決問(wèn)題.本文分析輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；輔助圓；解題教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)解題中，幾何題是重要的題目類(lèi)型，主要研究圖形結(jié)構(gòu)以及空間關(guān)系，相對(duì)于代數(shù)題來(lái)說(shuō)，此類(lèi)題目比較直觀，但是對(duì)學(xué)生的空間觀念要求較高，對(duì)于一些難度大的題目，僅依靠題目中的圖形難以解題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生巧妙利用輔助圓，通過(guò)輔助圓的構(gòu)造，對(duì)題目條件進(jìn)行處理，從幾何圖形中發(fā)現(xiàn)隱藏信息，有效分析解題思路，快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1 利用輔助圓，解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題

例1 在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=2，BC=√7，求解對(duì)角線AC的長(zhǎng)度.

解 如圖1所示，延長(zhǎng)CD與半徑為2的圓D相交于點(diǎn)E，連接AE，

所以點(diǎn)A，B，C在圓上，

因?yàn)锳B∥CD，

所以弧BC與弧AE的長(zhǎng)度相同，

所以BC=AE=√7，

在△ACE中，∠CAE=90°，

CE=4，AE=√7，

所以AC=3.

2 借助輔助圓，解決求度數(shù)問(wèn)題

例2 如圖2所示，在四邊形ABCD中，連接AC，AC=BD，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求解∠BAC的度數(shù).

解 取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，如圖3所示.

因?yàn)椤螧AD=∠BCD=90°，

所以點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，

所以∠BAC=∠BDC，

因?yàn)椤螧DC=25°，

所以∠BAC=25°.

3 利用輔助圓，解決圖形面積問(wèn)題

例3 已知BC=6，點(diǎn)A為BC上方的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC=120°，點(diǎn)D為BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AD=AC，連接CD，求解△BCD面積的最大值.

解 因?yàn)椤螧AC=120°，AD=AC，

所以∠BDC=60°，

因?yàn)椤鰾CD是定邊定角三角形，BC=6，

所以點(diǎn)D在△BCD的外接圓上移動(dòng)，如圖4所示.

當(dāng)D移動(dòng)到優(yōu)弧BC的中點(diǎn)D′時(shí)，到BC的距離最大，此時(shí)△BCD的面積最大.

因?yàn)榇藭r(shí)△BCD′是等腰三角形，

所以∠BD′C=60°，

所以S△BCD=3/4×62=93.

4 借助輔助圓，解決線段比或者面積比問(wèn)題

例4在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)P是CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BP∶BC=k，已知0≤k≤1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為Q，且AP=PQ，連接AQ，求△ABC與△APQ的面積比.

解 以AQ作為直徑，AQ的中點(diǎn)O作為圓心，構(gòu)建輔助圓，如圖5所示.

5 結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)解題中，輔助圓是廣泛應(yīng)用的技巧，借助輔助圓可以解決幾何問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題等題目.在具體的解題中，需要深入分析題目，結(jié)合具體要求構(gòu)建輔助圓，幫助學(xué)生明確解題思路，提高學(xué)生的解題能力.

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