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    等比數(shù)列與等差數(shù)列積的求和速算

    2024-05-22 14:07:30汪應(yīng)佳
    關(guān)鍵詞:故稱速算錯(cuò)位

    汪應(yīng)佳

    高中??紨?shù)列[an?bn]的前[n]項(xiàng)和計(jì)算,其中[an]是等差數(shù)列,[bn]是等比數(shù)列。這種題目的根本方法就是“”錯(cuò)位相減法”,但在實(shí)際操作中,寫的過(guò)程較多,若結(jié)果出錯(cuò),則不方便檢查。本文提供了一種新的求解方法——“分類求和法”。

    公式一:[1+q+q2+…+qn-1=1-qn1-q,q≠1]

    公式二:[1+2?q+3?q2+…+n?qn-1=1+q+q2+…+qn-1-n?qn1-q,q≠1]

    下面對(duì)公式二用“錯(cuò)位相減法”給予證明。

    [Sn=1+2?q+3?q2+……+n?qn-1q?Sn= 1?q+2?q2+…+n-1?qn-1+n?qn∴1-q?Sn=1+q+q2+…+qn-1-n?qn∴Sn=1+q+q2+…+qn-1-n?qn1-q,q≠1]

    求數(shù)列[An+B?qn]的前[n]項(xiàng)和[Tn],即求數(shù)列[Aq?nqn-1+Bq?qn-1]前[n]項(xiàng)和,通過(guò)對(duì)[nqn-1]和[qn-1]的求和,可以解決原數(shù)列的求和。具體如下。

    [Tn=Aq?1+2?q+3?q2+…+n?qn-1+Bq?1+q+…+qn-1=Aq?1+q+…+qn-1-nqn1-q+Bq?1+q+…+qn-1=Aq1-q+Bq?1+q+…+qn-1+-Aq1-q?nqn]

    上面計(jì)算用到了分類,故稱此法為“分類求和法”。要注意,上面的計(jì)算中沒(méi)有使用公式一,這樣一來(lái),最后只用一次公式一就能得到結(jié)果了,這是在解題實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的。

    例:[an=2n-1?2n],求[an]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

    解:[an=4?n?2n-1-2?2n-1]

    [Tn=41+2?21+3?22+…+n?2n-1-220+21+…+2n-1=4?20+21+…+2n-1-n?2n1-2-220+21+…+2n-1=-620+21+…+2n-1+4n?2n=-6?1-2n1-2+4n?2n=61-2n+4n?2n=6-6?2n+4n?2n]

    練習(xí):求下列數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

    (1)[an=3n+2?12n+1],(2) [an=2-32?n?4n].

    參考答案:

    (1)[Tn=4-4?12n-32?n12n]

    (2)[Tn=-103+103?4n-2?n?4n].

    參考文獻(xiàn):

    [1]陳曉丹.新課程下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].考試周刊,2008(2):2.

    [2]徐文彬.數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)及其教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)[J].課程·教材·教法,2010(10):6.

    [3]范仁忠.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的“思”與“行”[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2010(10):3.

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