研究離心率的求法
——以一道質(zhì)量檢測(cè)題為例

徐 健

(新疆教育科學(xué)研究院 830049)

2022年3月23日下午，烏魯木齊地區(qū)全體高三學(xué)生和部分高中數(shù)學(xué)老師參加了本地高度重視的高三第二次質(zhì)量檢測(cè)考試，題目較以往有明顯的變化：新穎但偏易！但是第11題大家一致反映不好做，花了很多時(shí)間卻無(wú)果而終，甚至影響了后續(xù)答題，這種反應(yīng)老師中也存在.因此，我第一時(shí)間展開了研究，先分享于此，以饗讀者.

1 題目呈現(xiàn)

2 總體把握

要求雙曲線的離心率，本質(zhì)就是尋求其參數(shù)a，c的關(guān)系，進(jìn)而要尋找建立關(guān)系的條件.顯然點(diǎn)P，Q在雙曲線的漸近線上就是突破口，那么這兩點(diǎn)的坐標(biāo)必須被雙曲線的參數(shù)a，b，c表達(dá)，所以問(wèn)題歸結(jié)為探究點(diǎn)P，Q的坐標(biāo).由幾何位置關(guān)系知，點(diǎn)P制約著點(diǎn)Q，因此突破點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵，我們嘗試著用a，b，c來(lái)表達(dá).

3 解法探究

策略1 估算速解.

解法1 如圖1，記坐標(biāo)原點(diǎn)為O，顯然OP是Rt△PF1F2斜邊上的中線，于是|OP|=c.

圖1

設(shè)Q(m,n)，則

(*)

故選B.

評(píng)注作為考試，又快又準(zhǔn)答題是非常重要的.估算猜想可以實(shí)現(xiàn)速解.猜想當(dāng)然需要解題經(jīng)驗(yàn)和正確的理論支持.本解法就是依據(jù)曲線與方程的關(guān)系和參數(shù)的數(shù)量關(guān)系c2=a2+b2合理推理后猜想而得.

策略2 利用直線和圓的方程求交點(diǎn).

解法2 因?yàn)镻F1⊥PF2，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=c2(除去點(diǎn)F1，F(xiàn)2).

整理,得(a2+b2)x2=a2c2.

因?yàn)閍2+b2=c2，

所以c2x2=a2c2.

解得x=a.

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)P(a,b).

以下同解法1.

策略3 利用向量垂直建立方程.

解法3 因?yàn)镻F1⊥PF2，

設(shè)P(s,t)，

則(-c-s,-t)·(c-s,-t)=0.

整理，得s2+t2=c2.

①

②

有①②解得P(a,b).

以下同解法1.

策略4 依托斜率關(guān)系式建立方程.

解法4 因?yàn)镻F1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2=-1.

設(shè)P(u,v)，

整理,得u2+v2=c2.

③

由③④解得P(a,b).

以下同解法1.

策略5依托兩直線方程求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解法5由前文知點(diǎn)P(a,b)，又F1(-c,0)，所以F1(-c,0).

得4a=3c.

故選B.

評(píng)注解法2，3，4，5均在交點(diǎn)上做文章，只是曲線(直線)方程產(chǎn)生的渠道不同而已，殊途同歸.可以根據(jù)自己的喜好進(jìn)行選擇，運(yùn)算量差距不大.多角度思考，有助于提高學(xué)生的應(yīng)試能力，拓廣思維.而考生思維受阻的原因是引入變量太多，將點(diǎn)P，Q的橫縱坐標(biāo)均看作相互獨(dú)立的4個(gè)變量，未準(zhǔn)確把握它們之間的數(shù)量關(guān)系.

策略6 依托三角函數(shù)關(guān)系式建立方程.

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,得

由直角三角形中的三角函數(shù),得

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)P(a,b).

以下同解法1.

評(píng)注解析幾何中恰當(dāng)引入三角函數(shù)往往可以減少變量，降低運(yùn)算量.本題的相關(guān)點(diǎn)不在雙曲線上，不易引入三角函數(shù)，需要綜合考慮，從直線傾斜角的角度引入角，然后才有三角運(yùn)算，解題過(guò)程十分簡(jiǎn)潔.

策略7 幾何法，構(gòu)造相似形直接得解.

解法7如圖2，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，結(jié)合前文得P′(-a,b).

圖2

同時(shí)，PP′∥OF1.

所以△QPP′∽△QOF1.

于是|PQ|∶|QF1|=|PP′|∶|OF1|.

因?yàn)閨PQ|∶|QF1|=3∶2，

所以|PP′|∶|OF1|=2a∶c=3∶2.

評(píng)注解析幾何的本質(zhì)是幾何，能夠?qū)⒔馕鰩缀螁?wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何位置關(guān)系，通常會(huì)大大降低運(yùn)算量，使解題顯得簡(jiǎn)潔明了.當(dāng)然，這種轉(zhuǎn)化還是很不容易的，縱觀以上解法，本解法最為巧妙便捷.

4 追蹤溯源

參考答案C.

參考答案C.

參考答案e=2.

評(píng)注以上三個(gè)題目均是直角背景下求雙曲線的離心率問(wèn)題，解法多樣，但最簡(jiǎn)潔還是幾何法，限于篇幅，請(qǐng)數(shù)學(xué)同仁自行探究，感悟其中的樂(lè)趣.

5 變式拓展

評(píng)注直角背景下的離心率問(wèn)題很活，以上僅從直角頂點(diǎn)的位置在漸近線上、在曲線上、在坐標(biāo)軸上進(jìn)行了改裝 ，問(wèn)題就變得耳目一新.事實(shí)上還可變換曲線，將雙曲線換成橢圓，這類問(wèn)題也很受高考命題專家的青睞，有興趣的同仁可以查閱歷年高考題.

6 題型綜述

直角背景下的離心率問(wèn)題通常應(yīng)從以下角度思考：圓錐曲線的第一定義式，正余弦定理，焦點(diǎn)三角形面積，三角換元，直線與直線的關(guān)系，直線與曲線的關(guān)系，向量的數(shù)量積，直線的斜率，互補(bǔ)角的誘導(dǎo)公式，互余角的誘導(dǎo)公式，相似形等，再輔以代數(shù)運(yùn)算技巧，一般可以解決問(wèn)題.其中最優(yōu)解法是構(gòu)造相似形的純幾何法，同時(shí)也是思維量最大的解法.多從幾何角度思考研究此類問(wèn)題有助于提高解題速度和正確率.