師范專業(yè)認(rèn)證背景下理解數(shù)學(xué)教學(xué)的策略研究

趙艷輝 唐作明 廖春艷 李娜

摘?要：數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[邏輯知識(shí)體系，知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展都有其內(nèi)在的邏輯關(guān)系。本文主要基于師范專業(yè)認(rèn)證指標(biāo)體系中對(duì)學(xué)科素養(yǎng)的要求，從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度探討在數(shù)學(xué)專業(yè)核心課程的教學(xué)中“理解數(shù)學(xué)教學(xué)”的重要性，以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體從三個(gè)不同方面來“理解數(shù)學(xué)教學(xué)”，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更好地做實(shí)“師范專業(yè)認(rèn)證”。

關(guān)鍵詞：師范專業(yè)認(rèn)證；理解數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G642??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：Mathematics?is?a?rigorous?deductive?logic?knowledge?system，and?the?occurrence?and?development?of?knowledge?have?inherent?logical?relationships.This?article?is?mainly?based?on?the?requirements?for?subject?literacy?in?the?normal?professional?certification?indicator?system，and?explores?the?importance?of?"understanding?mathematics?teaching"?in?the?teaching?of?core?courses?of?mathematics?majors?from?the?perspective?of?mathematics?subjects.Using?specific?mathematical?knowledge?as?a?carrier，"understanding?mathematics?teaching"?is?carried?out?from?three?different?aspects?to?cultivate?students'?mathematical?core?literacy?and?better?implement?"normal?professional?certification".

Keywords：Normal?professional?certification；Understanding?mathematics?teaching；Mathematical?core?literacy

2017年10月，教育部下發(fā)了《普通高等學(xué)校師范類專業(yè)認(rèn)證實(shí)施辦法（暫行）》［1］及相關(guān)文件，認(rèn)證以“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”為基本理念。目前數(shù)學(xué)師范專業(yè)的教學(xué)主要以傳授數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為主，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)掌握，在課堂教學(xué)中主要存在以下問題：（1）缺乏問題意識(shí)，課堂教學(xué)中教師主要是陳述教學(xué)內(nèi)容，沒有設(shè)計(jì)合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問題少，對(duì)學(xué)生提出問題的能力培養(yǎng)不足。（2）教學(xué)過程重結(jié)果輕過程，關(guān)注知識(shí)背景和應(yīng)用少，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程不完整。（3）重解題技能技巧輕數(shù)學(xué)思想方法的概括和提煉，導(dǎo)致機(jī)械模仿多、獨(dú)立思考少，沒有數(shù)學(xué)思維或數(shù)學(xué)思維層次不高。這些都忽視了學(xué)生作為準(zhǔn)教師的核心素養(yǎng)的培育，只注重了“教什么”的問題，對(duì)“怎么教”“為什么這樣教”的問題沒有給予足夠的關(guān)注，導(dǎo)致培養(yǎng)出來的未來師資核心素養(yǎng)不足，缺乏解決實(shí)際問題的能力。

對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)師范生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育研究及案例，大多數(shù)都是基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)討論高等數(shù)學(xué)的教學(xué)研究及案例，如文獻(xiàn)［2］—［4］。文獻(xiàn)［5］根據(jù)教師核心素養(yǎng)內(nèi)涵要求，提出了促進(jìn)師范生核心素養(yǎng)生成與發(fā)展的持續(xù)改進(jìn)建議和對(duì)策。根據(jù)師范專業(yè)認(rèn)證指標(biāo)體系中對(duì)學(xué)科素養(yǎng)的要求，數(shù)學(xué)專業(yè)師范生應(yīng)具有較扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力及數(shù)學(xué)思維能力，掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的思想方法，具備數(shù)學(xué)研究或運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的初步能力，為此本文將從以下三個(gè)方面探討如何正確理解“數(shù)學(xué)教學(xué)”，以保證數(shù)學(xué)專業(yè)師范生核心素質(zhì)要求的達(dá)成。

1?理解數(shù)學(xué)問題比數(shù)學(xué)證明更重要

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，所以，好的數(shù)學(xué)課堂一定是有學(xué)生思維參與的課堂，而不僅僅是學(xué)生的行為參與。學(xué)生的思維參與度越高，課堂教學(xué)效果越好，而思維始于問題，所以，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一定要通過設(shè)計(jì)切近學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問題鏈（串）來一步一步催生出學(xué)生的思維智慧，要讓學(xué)生在問題鏈（串）的引導(dǎo)下自己生發(fā)出好的想法，尋找到好的結(jié)論。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)定理、公式、法則，而對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)通常采用的是直接給出數(shù)學(xué)定理、公式、法則的內(nèi)容，然后給出證明，有時(shí)甚至連證明都沒有，直接告訴學(xué)生，要求學(xué)生記住。如果在數(shù)學(xué)定理、公式、法則的學(xué)習(xí)過程中為學(xué)生建立一個(gè)從已學(xué)知識(shí)到問題目標(biāo)之間的思維導(dǎo)圖，以問題為導(dǎo)向，逐步引導(dǎo)學(xué)生思維的方向和方法，通過自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式與啟發(fā)、討論、參與的教學(xué)方式，建立起已學(xué)知識(shí)點(diǎn)到問題終點(diǎn)之間的邏輯思維鏈接，使學(xué)生親身經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程，不僅能幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)定理、公式、法則，而且在這一過程中學(xué)生能慢慢掌握一些數(shù)學(xué)思維方法和研究數(shù)學(xué)問題的方法。

案例1：在“數(shù)學(xué)分析”課程的“格林公式”教學(xué)中，可以設(shè)置如下問題：

格林公式［6］：若函數(shù)P（x，y）、Q（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：

D（Qx-Py）dxdy=∮LPdx+Qdy（1）

這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界曲線，分段光滑，并取正向。

問題1：GPS面積測量儀的原理是什么？

分析：數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開社會(huì)生產(chǎn)生活的實(shí)際需要。反過來，數(shù)學(xué)的發(fā)展又能更好地促進(jìn)科技的發(fā)展，改善人們的生活。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光思考問題，學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。結(jié)合二重積分的幾何意義（可以用來求平面區(qū)域的面積）和第二型曲線積分的計(jì)算方法，將問題1轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題2。

問題2：平面閉區(qū)域上的二重積分是否可以通過沿閉區(qū)域邊界曲線上的曲線積分來表示？如圖1。

分析：引導(dǎo)學(xué)生回憶微積分基本定理。

∫baF′（x）dx=F（b）-F（a）?（牛頓萊布尼茨公式）（2）

思考牛頓萊布尼茨公式的本質(zhì)？

其本質(zhì)為“將對(duì)區(qū)間內(nèi)部的積分轉(zhuǎn)化成對(duì)區(qū)間邊界上的積分”的偉大思想。

問題2即為以下數(shù)學(xué)式子：

D（?）dxdy=∫LPdx+∫LQdy（3）

仔細(xì)觀察（3）式并思考：牛頓萊布尼茲公式左邊被積函數(shù)是一元函數(shù)，且是右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)Ｆ′（x）。則對(duì)于（3）式，左邊被積函數(shù)是二元函數(shù)，那么它應(yīng)該是右邊函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)形式。

問題3：它們是對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，還是對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)呢？

分析：觀察（3）式，結(jié)合曲線積分的計(jì)算方法和二重積分的計(jì)算方法，P（x，y）應(yīng)該對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，Q（x，y）應(yīng)該對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，所以（3）式左邊的被積函數(shù)應(yīng)含有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：P（x，y），Q（x，y）。

問題4：（3）式等號(hào)兩邊之間有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？

分析：公式（3）左邊被積表達(dá)式中含Q的項(xiàng)應(yīng)該與公式右邊被積表達(dá)式中含Q的項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，含P的項(xiàng)應(yīng)該與含P的項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，即：

DP（x，y）dxdy∫LPdx，DQ（x，y）dxdy∫LQdy

問題5：你能寫出（3）式的具體表達(dá)式并給出嚴(yán)謹(jǐn)證明嗎？

問題6：證明中需要先解決什么問題？

分析：第二型曲線積分有方向，而二重積分沒有方向，所以先解決積分曲線中的方向。

案例1中，最能體現(xiàn)思維智慧的是將第二型曲線積分與二重積分聯(lián)系起來。根據(jù)微積分基本定理，通過設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的思維邏輯問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生思維不斷深入，實(shí)現(xiàn)啟發(fā)思維的最高境界。從實(shí)際生活中引入問題1，貼近生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。問題2引導(dǎo)學(xué)生思維創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維的自我超越。問題3、4引導(dǎo)學(xué)生有理有據(jù)、合情合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，找到解決問題的思路和方法。問題5、6引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，做實(shí)“學(xué)生中心”的“師范專業(yè)認(rèn)證”工作。

2?理解數(shù)學(xué)過程比數(shù)學(xué)結(jié)論更重要

數(shù)學(xué)教材中有大量的數(shù)學(xué)結(jié)論，有的學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)結(jié)論盡管記憶很準(zhǔn)確，但在真正解題時(shí)，卻經(jīng)常感到束手無策，其根本的原因是學(xué)生對(duì)記住的知識(shí)不理解，不清楚知識(shí)發(fā)生發(fā)展和形成過程中所運(yùn)用的思維方法。如關(guān)于重要極限式limx→0sinxx=1的學(xué)習(xí)，很多教師都會(huì)強(qiáng)調(diào)此極限式需要滿足兩個(gè)條件：（1）是00型極限式。（2）函數(shù)是sin□□的形式，其中□里的表達(dá)式相同。然后進(jìn)行大題量的重復(fù)訓(xùn)練來幫助學(xué)生掌握此極限式，致使很多學(xué)生一直弄不清為什么要滿足兩個(gè)條件。

案例2：重要極限式limx→0sinxx=1的學(xué)習(xí)。

問題1：怎樣建立sinx與x之間的聯(lián)系？其中x是什么？

分析：聯(lián)想到三角函數(shù)的學(xué)習(xí)通常都與單位圓有關(guān)，x是圓心角的弧度數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造如圖2的圖形。

問題2：在圖2中sinx與x分別與什么幾何量有關(guān)？怎樣得到sinxx？

分析：當(dāng)0

1

問題3：在其他象限（4）式還成立嗎？如當(dāng)-π2

分析：因?yàn)閤sinx與1cosx都是偶函數(shù)，所以（4）式成立；由夾逼性即知極限式成立。

此問題串的妙處在于設(shè)問的指向不是數(shù)學(xué)結(jié)論即“是什么”，而是推理過程即“為什么”。指向數(shù)學(xué)結(jié)論的設(shè)問只能實(shí)現(xiàn)考查學(xué)生記憶力的目標(biāo)，而指向推理過程的設(shè)問，其考查目標(biāo)是思維智慧。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)要通過教過程來發(fā)展學(xué)生的思維智慧和數(shù)學(xué)能力，問題解決要由教“是什么”轉(zhuǎn)向教“為什么”。問題1和問題2將高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)與初等數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是掌握具體知識(shí)中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。問題3將問題2推廣，體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想。而且由不等式“sinx

3?理解數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)知識(shí)更重要

數(shù)學(xué)思想有兩種：“一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想。二是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人所具備的思維特征。”［7］思想方法是找到解題方法的方法，一個(gè)數(shù)學(xué)思想可以生發(fā)多種解題方法，一種解題方法可以解決大量的具體問題，所以，數(shù)學(xué)教學(xué)一定要高度重視引導(dǎo)學(xué)生感悟和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法更好地遷移運(yùn)用。

在“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)過程中，極限思想和微分思想、定積分思想是三個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是核心概念。極限思想貫穿“數(shù)學(xué)分析”課程始終，是最基本的思想；多元函數(shù)積分學(xué)部分由于積分類型多、積分區(qū)域的復(fù)雜性及計(jì)算公式多等因素使很多學(xué)生頭痛焦慮。但如果理解了定積分思想的內(nèi)涵，用定積分思想統(tǒng)領(lǐng)全局，多元函數(shù)積分學(xué)的計(jì)算就明朗多了。一元函數(shù)的定積分通過“分割”“取點(diǎn)”“求和”“取極限”四個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)“化整為零，積零為整”的思想，“以直代曲”“以不變代變”是定積分思想的核心。以“分割”“取點(diǎn)”“求和”“取極限”四個(gè)步驟反映的基本思想為紐帶，通過類比、推廣、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的運(yùn)用，形成了多元函數(shù)的重積分、曲線積分和曲面積分的概念，這樣使多元函數(shù)的重積分、曲線積分和曲面積分等不同形式的積分有了統(tǒng)一的定義方式，再根據(jù)相關(guān)內(nèi)容的邏輯順序，利用微積分基本定理的思想通過格林公式、高斯公式和斯托克斯公式將多元函數(shù)的積分學(xué)內(nèi)容相互溝通，使整個(gè)積分學(xué)部分形成一個(gè)邏輯嚴(yán)密的有機(jī)整體，加深對(duì)“數(shù)學(xué)分析”積分學(xué)部分的整體認(rèn)識(shí)，使定積分思想得到螺旋上升式的重復(fù)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，做實(shí)“產(chǎn)出導(dǎo)向”的“師范專業(yè)認(rèn)證”工作。

4?總結(jié)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，人類對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的研究方法主要是思維和計(jì)算，思維的方法主要有抽象概括、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般等，對(duì)這些思維方法的靈活運(yùn)用是一個(gè)人的數(shù)學(xué)智慧與思維能力的體現(xiàn)。而計(jì)算的基礎(chǔ)也是思維，且計(jì)算本身也是一種思維活動(dòng)，所以，思維是數(shù)學(xué)學(xué)科最本質(zhì)的特征，所以在具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中和具體問題解決的實(shí)踐中，要注重思維訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維方法，能進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，掌握?shù)學(xué)運(yùn)算的方法和技巧，發(fā)展思維能力，培育理性精神。

培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的根本價(jià)值追求，因?yàn)橹挥兴仞B(yǎng)才能使學(xué)生形成可持續(xù)的自主發(fā)展能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成需要以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，這就要求數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中要理解數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵，以恰當(dāng)適切的教學(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，做實(shí)師范專業(yè)認(rèn)證工作。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目：“師范專業(yè)認(rèn)證背景下數(shù)學(xué)專業(yè)師范生核心素養(yǎng)的培育研究”（項(xiàng)目編號(hào)：HNJG20210195）；湖南科技學(xué)院校級(jí)線下一流課程《數(shù)學(xué)分析》（項(xiàng)目編號(hào)：湘科院教發(fā)［2019］66號(hào)，序號(hào)10）；湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：HNJG20231109）

作者簡介：趙艷輝（1969—?），女，漢族，湖南益陽人，碩士，教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)。