數(shù)學(xué)分析視角下的高考數(shù)學(xué)試題解法探究

廣東省佛山市高明區(qū)教師發(fā)展中心(528500) 張文玲

1 問題的提出與背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》指出數(shù)學(xué)教師要努力提升數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng),要能夠理解與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,能夠從更高的觀點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).同時(shí),我國普通高中教育的任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展,為學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展作準(zhǔn)備,為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)[1].由此可見,將高等數(shù)學(xué)的知識、觀點(diǎn)和思維方法有機(jī)地和高中的初等數(shù)學(xué)相結(jié)合是必然的趨勢.

《數(shù)學(xué)分析》是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程,是數(shù)學(xué)系學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),進(jìn)行理論研究,從事數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ).數(shù)學(xué)分析中的一些重要結(jié)論,如果應(yīng)用到高考試題當(dāng)中,也能讓高中教師站在更高的站位上來審視、理解和認(rèn)識高中數(shù)學(xué)知識的思想和方法,從而提高自身的教育教學(xué)水平,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的全面提升.

而高考作為一種重要的選拔人才的測量評價(jià)形式,其主要目的在于衡量考生是否具有接受高等教育的學(xué)習(xí)能力和發(fā)展?jié)摿?高考試題值得每一位高中數(shù)學(xué)教師反復(fù)地去研究.本文將以《數(shù)學(xué)分析》中的七個(gè)重要定理或結(jié)論為例,結(jié)合八個(gè)高考試題,嘗試探究高等數(shù)學(xué)視角下高考試題的解決,為教師和學(xué)生解題提供理論指導(dǎo),期望能夠增加其對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

2 數(shù)學(xué)分析視角下的高考試題

2.1 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式[2]若函數(shù)f(x)在x=0 處存在直至n階導(dǎo)數(shù),則

綜上,c ＜a ＜b,故選C.

評析以泰勒公式為背景的試題在高考中并不少見,大多是含有超越函數(shù)y=ex、y=lnx或者三角函數(shù)y=sinx、y=cosx等.而在人民教育出版社2019 版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊第256 頁第26 題已經(jīng)提到英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式:+···,其中n!=1×2×3×4×···×n.并用泰勒公式估算出cos 0.3≈0.9553375.受此啟發(fā),可以直接利用帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式來估計(jì)出e0.1和ln 0.9 的值,并利用放縮法來比較a,b,c的大小.

2.2 極值充分條件

定理1(極值的第二充分條件[2])設(shè)f(x)在x0的某鄰域U(x0;δ)內(nèi)一階可導(dǎo),在x=x0處二階可導(dǎo),且f′(x0)=0,f′′(x0)=0.

(1)若f′′(x0)＜0,則f在x0取得極大值.

(2)若f′′(x0)＞0,則f在x0取得極小值.

定理2(極值的第三充分條件[2]) 設(shè)f(x) 在x0的某鄰域內(nèi)存在直到n-1 階導(dǎo)函數(shù),在x0處n階可導(dǎo),且f(k)(x0)=0(k=1,2,···,n-1),f(n)(x0)0,則

(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f在x0處取得極值,且當(dāng)f(n)(x0)＜0 時(shí)取極大值,f(n)(x0)＞0 時(shí)取極小值.

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),f在x0處不取極值.

例2(2023 年新高考全國II 卷第22 題) (2) 已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.

例3(2021 年新高考全國I 卷理科笫10 題)設(shè)a0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則( ).

A.a ＜bB.a ＞bC.ab ＜a2D.ab ＞a2

解求導(dǎo)可得f′(x)=a(x-a)(3x-2b-a),f′′(x)=2a(3x-2a-b),則f′(a)=0,f′′(a)=2a(a-b).若f′′(a)=2a(a-b)＞0,由極值的第二充分條件可知:f(x) 在x=a處取得極小值,不符合題意,舍去;若f′′(a)=2a(a-b)＜0,由極值的第二充分條件可知:f(x)在x=a處取得極大值,符合題意,此時(shí)a2＜ab;若f′′(a)=2a(a-b)=0,此時(shí)a=b,f(x)=a(x-a)3為單調(diào)函數(shù),不存在極值,不符合題意,舍去.

綜上,a2＜ab,故選D.

評析利用極值的第二(三)充分條件可先得到滿足條件的部分參數(shù)范圍,再代入題目所給條件檢驗(yàn)必要性,能夠極有效地減少題目的計(jì)算量.

2.3 拉格朗日中值定理[2]

定理3若函數(shù)f滿足如下條件:

(1)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)若f(x)+sinx ＜0 恒成立,求a的取值范圍.

評析本題是函數(shù)與不等式的有機(jī)融合,常規(guī)解法是對參數(shù)a進(jìn)行分類討論,對函數(shù)y=f(x)+sinx求導(dǎo),也可利用sinx ＜x對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.但是利用微分中值定理能夠?qū)δ繕?biāo)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?找準(zhǔn)要研究的函數(shù),思路清晰、計(jì)算量小,容易理解.

2.4 琴生(Jensen)不等式[2]

例5(2018 年高考全國I 卷理科第16 題) 已知函數(shù)f(x)=2 sinx+sin 2x,則f(x)的最小值為____.

解由于y=f(x) 為奇函數(shù)且其周期T=2π,故其最值一定在[0,π]上取得.令g(x)=sinx,x ∈[0,π],則g′(x)=-cosx,g′′(x)=sinx≥0,故g(x)為[0,π]上的下凸函數(shù),由琴生(Jensen)不等式可得

京津冀地區(qū)實(shí)施的水土流失治理工程主要為京津風(fēng)沙源治理工程水利水保項(xiàng)目，該項(xiàng)目涉及39個(gè)縣（區(qū)），截至2013年年初完成投資23.19億元，小流域綜合治理7 578km2，水利配套工程40706處；同時(shí)，區(qū)內(nèi)實(shí)施的水土流失治理工程還有坡耕地水土流失綜合整治工程、太行山國家水土保持重點(diǎn)建設(shè)工程、21世紀(jì)首都水資源可持續(xù)利用規(guī)劃水土保持項(xiàng)目等。累計(jì)治理水土流失面積4萬余km2。

評析琴生不等式實(shí)質(zhì)上是利用函數(shù)的凹凸性推導(dǎo)出的一般形式的不等式,本題利用g(x)=sinx為下凸函數(shù),結(jié)合延森不等式,巧妙地消去未知數(shù)x,順利求出y=f(x)在給定區(qū)間上的最小值.

2.5 平面曲線的切線與法線[4]

設(shè)平面曲線由方程F(x,y)=0 給出,它在點(diǎn)P0(x0,y0)的某領(lǐng)域上滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件,于是在點(diǎn)P0的切線與法線方程分則為Fx(x0,y0)(x-x0)+Fy(x0,y0)(y-y0)=0,Fy(x0,y0)(x-x0)-Fx(x0,y0)(y-y0)=0.

例6(2022 年新高考全國甲卷文科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x) 在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若x1=-1,求a;

(2)求a的取值范圍.

解(1) 略;(2) 設(shè)F(x,y)=x3-x-y,G(x,y)=x2+a-y,于是Fx=3x2-1,Fy=-1,Gx=2x,Gy=-1在全平面連續(xù).記y1=f(x1),設(shè)切線在曲線y=g(x)處的切點(diǎn)為(x2,y2),則切線的斜率為

評析高中階段接觸的函數(shù)大多是自變量的某個(gè)算式,也就是顯函數(shù),而數(shù)學(xué)分析中介紹了隱函數(shù),包括其定義、存在性條件的分析、隱函數(shù)定理和隱函數(shù)求導(dǎo)等.本題嘗試從F(x,y)=0 和G(x,y)=0 為隱函數(shù)來考慮問題,直接利用平面曲線的切線方程來得到關(guān)于a,x1,x2的兩個(gè)方程,最后轉(zhuǎn)化為a關(guān)于x1的函數(shù)進(jìn)行求解.

2.6.拉格朗日乘數(shù)法[4]

欲求函數(shù)z=f(x,y)的極值,其中(x,y)受約束條件C:?(x,y)=0 的限制,可引入輔助變量λ和輔助函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λ?(x,y),對L求偏導(dǎo),并令它們都等于0.

解此方程組得到點(diǎn)P0(x0,y0),則點(diǎn)P0(x0,y0)為f(x,y)在條件C下的可能極值點(diǎn),這種把條件極值問題轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)的無條件極值問題的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.

例7(2022 年新高考II 卷第12 題)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

評析本題屬于附有約束條件(x2+y2-xy=1)的極值問題,也稱為條件極值問題.高中階段遇到此類問題,一般是結(jié)合不等式的相關(guān)性質(zhì)或用消元法化為無條件極值問題求解.但是利用拉格朗日乘數(shù)法能夠有效地不直接依賴消元而求解條件極值問題,大大地降低了思維的難度.

3 總結(jié)語

高考數(shù)學(xué)試卷命題設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),注重?cái)?shù)學(xué)的通用性、嚴(yán)謹(jǐn)性及應(yīng)用性;注重解題思路的多元性和解題方法的靈活性[5].中學(xué)一線教師了解一些高等數(shù)學(xué)的知識和方法,有助于其登高望遠(yuǎn),以更高的觀點(diǎn)去看待高考題目,找到更靈活的解題方法.學(xué)生了解一些高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識,能在解題的過程中快速找到題目的切入點(diǎn),再利用高中數(shù)學(xué)的知識和方法完善自己的解答過程,縮短思考時(shí)間,提高解題效率.