借題發(fā)揮,促進(jìn)深度教學(xué)
——教材例習(xí)題拓展的思考

廣東省佛山市高明區(qū)第一中學(xué)(528500) 王順耿

福建省閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(363000) 賴俊聰

教材中的例習(xí)題是教育專家精挑細(xì)選,又經(jīng)過反復(fù)錘煉的典型問題,有著重要的教學(xué)價(jià)值.“源于教材、高于教材”是高考命題中遵循的一個(gè)重要原則,高考試題中總有教材例習(xí)題的影子.深度教學(xué)是基于知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中深入理解和掌握所學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),克服學(xué)生對(duì)知識(shí)的表層學(xué)習(xí),對(duì)知識(shí)的簡單占有.因此,日常教學(xué)中,教師應(yīng)該直擊教材本源,借題發(fā)揮,加強(qiáng)對(duì)教材例習(xí)題的研究和反思、拓展和升華,去促進(jìn)深度教學(xué).

如何去挖掘教材例習(xí)題的價(jià)值呢? 本文從問題本身的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)出發(fā),探究教材例習(xí)題拓展的路徑,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

1 教材例習(xí)題拓展路徑

一個(gè)數(shù)學(xué)問題由問題條件和問題結(jié)論兩部分構(gòu)成,問題條件中,存在很多基本構(gòu)件、以及連接構(gòu)件顯性或隱形的關(guān)系和關(guān)聯(lián).元件,是在同類裝置中可以互換使用的零件,為小型機(jī)器、儀器的組成部分,它的重要特性是能在同類裝置中互換使用.基于元件這一特性,本文借用“元件”概念來闡述數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成和拓展,將數(shù)學(xué)問題隱喻為機(jī)器,條件和結(jié)論中的基本構(gòu)件看作機(jī)器的元件.

解題教學(xué)中,將數(shù)學(xué)問題條件和結(jié)論中的基本構(gòu)件作為數(shù)學(xué)問題的“元件”,通過對(duì)數(shù)學(xué)原題的元件以及元件間相互關(guān)系的拆與組,分與合、轉(zhuǎn)與換,用已知或潛在的數(shù)學(xué)關(guān)系、基本原理作為“支架”,構(gòu)造出一種相關(guān)的新的數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)形式,推陳出新形成元件重組的數(shù)學(xué)新題進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué),可以使學(xué)生認(rèn)清題目的骨架和構(gòu)件、遷移和轉(zhuǎn)化,鍛煉學(xué)生分析和解剖數(shù)學(xué)試題,提升解題能力,培養(yǎng)學(xué)生思維能力,尤其是對(duì)創(chuàng)造性思維能力開發(fā)有其獨(dú)特作用.

數(shù)學(xué)問題的深度挖掘,可以從問題條件和問題結(jié)論兩個(gè)方面思考.首先,改變問題條件,可從元件域、元件型、元件聯(lián)和元件語四個(gè)方向著手: 其中,①元件域是指問題條件中“元件”的變化區(qū)域,可以是反映數(shù)量關(guān)系的“元件”的變化范圍,如線段、字母、角度等大小的量化限定,也可以是反映空間形式的“元件”,如點(diǎn)、線、面在空間中的位置變化限定和位置關(guān)系;②元件型是指問題條件中“元件”的類型,如線段、三角形、方程、函數(shù)等;③元件聯(lián)是指問題條件中各“元件”之間或顯或隱的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)和邏輯關(guān)聯(lián)、以及空間形式的位置關(guān)聯(lián),如兩角互補(bǔ)、兩數(shù)之積為常數(shù)、直線與圓相切等;④元件語是指數(shù)學(xué)語義轉(zhuǎn)換,如知識(shí)情景轉(zhuǎn)換或數(shù)學(xué)語言表達(dá)的轉(zhuǎn)換(文字語言、符號(hào)語言和幾何語言間的轉(zhuǎn)換),將問題中的“元件”信息合理地轉(zhuǎn)換成另一種等價(jià)的“元件”信息,使題意更易理解,讓問題的已知條件“元件”和結(jié)論“元件”走得更近一些,或使結(jié)論“元件”更適合已知條件“元件”,以利于問題解決.其次,改變問題結(jié)論,可從目標(biāo)象、目標(biāo)層和目標(biāo)呈三個(gè)方向著手: 其中,⑤目標(biāo)象是指問題結(jié)論的目標(biāo)對(duì)象,如求解對(duì)象為三角形面積、函數(shù)的最值、數(shù)列通項(xiàng)等;⑥目標(biāo)層是指問題結(jié)論的設(shè)問層次,增加設(shè)問層次可以增加檢測點(diǎn),使設(shè)問多向化或?yàn)榱私档碗y度使設(shè)問梯度化,減少設(shè)問層次作用相反;⑦目標(biāo)呈是指問題結(jié)論的呈現(xiàn)方式,可以根據(jù)需要對(duì)問題結(jié)論改頭換面,以新的設(shè)問形式來呈現(xiàn)問題,設(shè)問方式包括證明、計(jì)算、判斷、論述、設(shè)計(jì)等形式.

數(shù)學(xué)例習(xí)題的拓展路徑,可以通過改變數(shù)學(xué)問題條件和結(jié)論中的七個(gè)形式中任何一個(gè)形式、兩個(gè)或兩個(gè)以上形式組合的綜合方式,得到不同的數(shù)學(xué)新題.

2 教材例習(xí)題拓展例示

下面選取教材中的一道例題,根據(jù)上述的拓展路徑來體會(huì)具體操作,限于篇幅部分簡單的新題略去求解或證明過程.

普通高中教科書《數(shù)學(xué)》(2019 年人教A 版) 必修第一冊5.5.2 節(jié),P227 例題10:如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大? 并求出這個(gè)最大面積.

圖1

分析例題,仔細(xì)梳理題中元件及元件間的關(guān)聯(lián):

條件元件(1)半徑為1 的扇形,(2)圓心角(3)矩形ABCD內(nèi)接于扇形,(4)∠POC=α;

元件關(guān)聯(lián)(1)矩形ABCD內(nèi)接于扇形,且一邊AB在半徑OP上,(2)隱性關(guān)聯(lián): 矩形的面積=長×寬;

求解結(jié)論矩形ABCD的面積的最大值.

本例題求解難點(diǎn)是矩形ABCD的面積函數(shù)模型的構(gòu)建和模型化簡求解,下面依前文提出的拓展路徑對(duì)例題進(jìn)行挖掘:

2.1 變元件域

創(chuàng)編意圖講解例題前,為輔助例題解答,先做鋪墊,設(shè)置具體角度,這樣更易過渡到例題的一般性.具體解答過程略去.

新題1[1]如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求當(dāng)角α取何值時(shí)(用θ表示),矩形ABCD的面積最大? 并求出這個(gè)最大面積.

解在RtΔOBC中,OB=cosα,BC=sinα;在RtΔOAD中,

設(shè)矩形ABCD的面積為S,則

創(chuàng)編意圖: 將問題變成開放性、探究性問題,與例題比較,得出問題一般性規(guī)律: 當(dāng)角α為∠POQ=θ一半時(shí),即C為中點(diǎn)時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值.引導(dǎo)學(xué)生看透問題本質(zhì),提升了對(duì)例題的認(rèn)識(shí),促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2.2 變元件型

將例題條件元件(1)改為等邊三角形,或?qū)⒃?3)改為正方形,可得新題.

新題2如圖2,在等邊ΔOPQ中,OP=1,C是PQ上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于等邊ΔOPQ.記∠POC=α,求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大.

圖2

解法1如圖2,在ΔOPC中,由正弦定理得

創(chuàng)編意圖線段OC由定到變,深度增加;解法一依照教材方法建立了矩形的面積模型,模型復(fù)雜難解,而解法二間接設(shè)參,解答簡易快捷;讓學(xué)生體會(huì)元件型的改變會(huì)引起解決方法的改變,要因變而變;同時(shí)得到與新題1[1]同樣的規(guī)律: 當(dāng)角α為∠POQ一半時(shí),即C為中點(diǎn)時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值.

新題2[1]如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求當(dāng)tanα取何值時(shí),矩形ABCD為正方形,并求出這個(gè)正方形的面積.

創(chuàng)編意圖使學(xué)生體會(huì)正方形時(shí)面積不一定為最大,消除定勢思維.

2.3 變元件聯(lián)

將元件關(guān)聯(lián)(1)矩形ABCD位置改變,或?qū)㈤L方形改為圓,面積關(guān)聯(lián)改為圓的面積公式,可得新題.

新題3如圖3,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大? 并求出這個(gè)最大面積.

圖3

創(chuàng)編意圖由于對(duì)稱性,讓學(xué)生體會(huì)矩形ABCD一邊在OP邊上和在OQ邊上不會(huì)影響結(jié)果;同時(shí)體會(huì)條件結(jié)構(gòu)變了,解法也應(yīng)改變,不要簡單照抄教材思路,因變而變則不難.

2.4 變目標(biāo)象

改變原題中的求解目標(biāo),將矩形ABCD的面積問題改為矩形ABCD的周長問題,可得一新題.

創(chuàng)編意圖改變求解目標(biāo),從不同視角加深對(duì)原題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí),開闊了學(xué)生對(duì)問題研究的思路.

2.5 變目標(biāo)層

添加設(shè)問層次,使求解問題梯度化,降低了問題的難度,同時(shí)也增添了檢測點(diǎn).

新題5如圖1,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求

(1)AB、BC的長;

(2)求矩形ABCD的面積S(α)關(guān)于α的解析式;

(3)當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大? 并求出這個(gè)最大面積.

創(chuàng)編意圖為了降低題目求解難度,搭建腳手架,問題設(shè)置層層相扣,使問題梯度化.具體解答過程略去.

2.6 變目標(biāo)呈

將求解目標(biāo)改頭換面,以新的設(shè)問形式來呈現(xiàn)問題.

圖4

創(chuàng)編意圖將例題創(chuàng)編為開放性問題,加大問題解決的難度,增添了探究的樂趣.

以上展示的是單一改編,實(shí)際課堂教學(xué)中,更多情況下需要的是復(fù)合改編,即通過改變兩種或兩種以上形式而得到創(chuàng)編題.譬如通過改變例題元件(1)和元件(3)以及求解結(jié)論,可以得到另一情景下的新題7.

新題7如圖5,等邊ΔOPQ中,OP=1,在ΔOPQ內(nèi)作第1 個(gè)正方形A1B1C1D1,再在等邊ΔD1C1Q內(nèi)作第2個(gè)正方形A2B2C2D2,…如此下去,判斷這些正方形邊長有什么規(guī)律,求第n個(gè)正方形AnBnCnDn的邊長,并求所有所作正方形的面積和Sn,并證明.

圖5

3 教材例習(xí)題拓展要求

改編例習(xí)題容易,但創(chuàng)編例習(xí)題要適合學(xué)情、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就不易,需要考慮多方面要求.

首先,選題要突破重難點(diǎn).教材例習(xí)題的拓展,不是題題都深掘、課課都開展;要依據(jù)教學(xué)目標(biāo),突出教學(xué)的中心任務(wù),圍繞教學(xué)重難點(diǎn)展開,通過對(duì)例習(xí)題的探研,讓學(xué)生能夠突破重難點(diǎn),提升解決此類問題的能力,不應(yīng)“為改編而改編”.其次,選題要典型有價(jià)值.圍著知識(shí)重難點(diǎn),選取的例習(xí)題要典型,要有創(chuàng)編的價(jià)值,不能隨意拿來一道例習(xí)題就按照前文提供的路徑進(jìn)行創(chuàng)編;要挑選一些在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上承上啟下的、能體現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)點(diǎn)的“題根”類例習(xí)題進(jìn)行深度挖掘,達(dá)到“研一題、得一法、會(huì)一類”的學(xué)習(xí)效果.第三,創(chuàng)編難易要切合學(xué)情.創(chuàng)編一串問題,要以學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和水平層次來衡量,要貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū),以學(xué)生為中心,新題在內(nèi)容、方法、難度、情境等方面適合學(xué)生實(shí)際需求.第四,新題內(nèi)容要科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn).創(chuàng)編后的新題不能偏離課標(biāo)和課本而產(chǎn)生偏題、怪題;不會(huì)出現(xiàn)常識(shí)性、科學(xué)性錯(cuò)誤;同時(shí)表述要簡潔易懂,情境要接軌現(xiàn)實(shí)情況、合符情理;新題要有利于學(xué)生知識(shí)生長.

同時(shí),教師要積極轉(zhuǎn)變解題教學(xué)思路,重視和用好手邊的教學(xué)資源,克服“題海戰(zhàn)術(shù)”,根據(jù)學(xué)情選擇例習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭?chuàng)編,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究熱情,促進(jìn)學(xué)生深度思考.

另外,不同課型、不同階段習(xí)題創(chuàng)編挖掘應(yīng)該求變存異.常規(guī)課堂教學(xué)要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和需要,選擇有價(jià)值的典型例習(xí)題,借題發(fā)揮做好教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)例習(xí)題進(jìn)行拓展開發(fā);高一、高二的單元綜合復(fù)習(xí)課或高三的二輪復(fù)習(xí)階段,可以選擇一個(gè)主題,圍繞主題選擇一道例習(xí)題,或者是一道典型有價(jià)值的高考題和模擬題,對(duì)其精心設(shè)計(jì)深度挖掘,開展“一題一課”解題教學(xué),這樣教學(xué)效果更佳、對(duì)學(xué)生解題能力培養(yǎng)成效更顯著.