總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的以學(xué)生發(fā)展為本的教育理念，要求教育不僅要聚焦于學(xué)科知識的傳授，更要注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，其教學(xué)不僅需要幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，還應(yīng)引導(dǎo)他們通過數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和解決實際問題.本文通過總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，探討在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，并結(jié)合實際案例，提出一系列有針對性的策略，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模的過程，就是從發(fā)現(xiàn)問題到最終解決問題的過程，是一個綜合性的認(rèn)知過程，這個過程不僅涉及數(shù)學(xué)計算，更重要的是它包含了一系列復(fù)雜的認(rèn)知和分析步驟.從發(fā)現(xiàn)問題到提出問題，再到分析問題，建立模型，確定參數(shù)，計算求解，檢驗結(jié)果，改進(jìn)模型，直至最終解決問題，數(shù)學(xué)建模貫穿了問題解決的整個鏈條［1］.它要求學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)知識和技能，還要能夠在實際情境中運用這些知識和技能.這個過程的復(fù)雜性和動態(tài)性要求學(xué)生不僅要具備扎實的數(shù)學(xué)知識，還要有強烈的好奇心、批判性思維和創(chuàng)造性思維能力［2］.

1" 挖掘數(shù)量關(guān)系，強化數(shù)學(xué)建模意識

數(shù)學(xué)建模是一種基于事實和數(shù)據(jù)的思維方式，它強調(diào)通過數(shù)學(xué)推理和檢驗來解決問題.在數(shù)學(xué)建模過程中，挖掘數(shù)量關(guān)系是非常重要的一環(huán).數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)模型的核心，它描述了變量之間的依存關(guān)系，可以幫助學(xué)生更好地理解現(xiàn)實問題的本質(zhì)［3］.在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面來挖掘數(shù)量關(guān)系：確定研究問題、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、建立模型、驗證模型、拓展討論.

例如" 在教授“三角函數(shù)的應(yīng)用”時，教師可以將教學(xué)過程劃分為幾個關(guān)鍵步驟，通過引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)據(jù)所隱藏的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).一是情境引入和問題的引出.教師可以從學(xué)生生活中熟悉的情境出發(fā)，比如觀察日出日落、潮汐變化、天體運動等周期性現(xiàn)象引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考這些現(xiàn)象，引出三角函數(shù)不僅能描述簡單的振動和波動，還能幫助我們理解和預(yù)測更為復(fù)雜的周期性變化.接下來，教師可以通過播放動畫或?qū)嶒炑菔緩椈烧褡拥难h(huán)往復(fù)運動，提出問題：“彈簧振子運動有什么特點？”“如何計算特定時間內(nèi)振子離開平衡位置的距離？”這樣的問題設(shè)置有助于學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)在解釋周期性現(xiàn)象中的應(yīng)用；二是引導(dǎo)學(xué)生觀察和數(shù)據(jù)收集分析.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察振子的運動特點，如來回擺動的周期性，并指導(dǎo)學(xué)生采集關(guān)于振子運動的數(shù)據(jù)，如不同時間點振子的位移，并將這些數(shù)據(jù)整理成表格.接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生利用收集到的數(shù)據(jù)繪制散點圖，從而直觀地展現(xiàn)振子位移與時間的關(guān)系.通過散點圖，學(xué)生可以觀察到數(shù)據(jù)的周期性變化；三是模型建立.在觀察和分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立描述振子運動的數(shù)學(xué)模型.首先，讓學(xué)生明確振子位移與時間的關(guān)系可以用三角函數(shù)來描述；接著，通過觀察散點圖，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的周期性變化與三角函數(shù)圖象相似.此時，教師可以引入三角函數(shù)的概念和公式，幫助學(xué)生理解和掌握如何用三角函數(shù)描述周期性變化.假設(shè)振子的位移y與時間t的關(guān)系可以表示為y=Asin（ωt+φ）.其中，A是振幅（最大位移），ω表示角頻率，φ表示初相位.接下來，教師幫助學(xué)生確定這個函數(shù)中的參數(shù).首先，通過數(shù)據(jù)觀察最大位移確定振幅A.如，如果最大位移是20，則A=20.然后，通過周期T確定角頻率ω，使用公式ω=2πT.最后，選擇一個具體時間點的位移數(shù)據(jù)帶入公式y(tǒng)=Asin（ωt+φ）得出φ；四是模型驗證.一旦函數(shù)關(guān)系式確定，學(xué)生就可以用它來預(yù)測其他時間點的位移.例如，求解y=20sin（10π3t+φ），并與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，驗證模型的準(zhǔn)確性；五是拓展討論.教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步討論是否可以使用余弦函數(shù)模型y=Acos（ωt+φ）表示位移和時間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生探討兩者之間的關(guān)系.

通過以上教學(xué)過程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)據(jù)所隱藏的數(shù)量關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).同時，在教學(xué)過程中，教師還需要注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、抽象思維和創(chuàng)新能力等其他數(shù)學(xué)素養(yǎng).通過不斷實踐和完善教學(xué)方法，教師可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，提高解決實際問題的能力.

2" 聯(lián)系實際生活，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建模問題

對于高中學(xué)生來說，解決社會生活中復(fù)雜的現(xiàn)實問題確實存在一定的難度.由于缺乏足夠的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識儲備，學(xué)生在面對這些問題時可能會感到無從下手，失去探究的熱情，導(dǎo)致數(shù)學(xué)建模教學(xué)無法達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)［4］.因此，教師在進(jìn)行教學(xué)時，應(yīng)盡量選擇與學(xué)生的日常生活密切相關(guān)的問題來展開，以引起學(xué)生的共鳴和探究興趣.可以選取一些與學(xué)生生活、學(xué)科學(xué)習(xí)中遇到的問題相關(guān)的例子.通過這些問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行建模，并幫助他們理解數(shù)學(xué)模型在解決實際問題中的應(yīng)用，打破學(xué)科壁壘，強化數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，鍛煉學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性［5］.

例如" 以“函數(shù)的應(yīng)用”投資回報問題教學(xué)例題為例，具體教學(xué)過程如下.

（1）情境創(chuàng)設(shè)與問題引入：教師通過情景模擬或多媒體介紹，設(shè)置一個實際的投資理財問題情境.假設(shè)學(xué)生有一筆資金，面臨三種投資方案的選擇.每種方案的投資回報如下：

方案1" 每天回報40元；

方案2" 第一天回報10元，之后每天比前一天多回報10元；

方案3" 第一天回報0.4元，之后每天的回報比前一天翻一番［6］.

（2）模型構(gòu)建與參數(shù)假設(shè)：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，嘗試用數(shù)學(xué)模型來描述每個方案的投資回報.教師指導(dǎo)學(xué)生假設(shè)投資時間為n天，最終回報為y元，然后建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

（3）數(shù)學(xué)模型及公式：

方案1" 線性模型y=40n；

方案2" 等差數(shù)列求和模型y=10n+n（n-1）2×10；

方案3" 等比數(shù)列求和模型y=0.4×（2n-1）.

（4）模型分析與選擇：利用GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件繪制函數(shù)圖象，幫助學(xué)生直觀地理解每種方案的增長趨勢.根據(jù)圖象，學(xué)生可以比較不同方案在不同投資天數(shù)下的回報情況.

（5）應(yīng)用與決策：學(xué)生通過模型分析，選擇最優(yōu)的投資方案.如，根據(jù)函數(shù)圖象交點，可以得出：

投資天數(shù)為1～6天時，選擇方案1最合適；

投資天數(shù)為7天時，方案1或方案2均可；

投資天數(shù)為8～10天時，選擇方案2；

投資天數(shù)超過11天時，選擇方案3［7］.

（6）課堂小結(jié)與作業(yè)布置：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探究過程，并布置相關(guān)的作業(yè)，如撰寫研究報告或設(shè)計其他實際情境的數(shù)學(xué)模型.

通過投資回報問題的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生不僅能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，還能了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟.這種教學(xué)方法有助于提高學(xué)生的實際問題解決能力、數(shù)學(xué)思維能力及合作能力.同時，它也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

3" 立足課堂教學(xué)，體驗數(shù)學(xué)建模過程

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的重要場所，在課堂教學(xué)中，教師可以選取一些具有代表性的教材或試卷例題，引導(dǎo)學(xué)生通過分析、探究和建立數(shù)學(xué)模型來解決問題.

例如" （2019

？偊b 北京卷）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次力60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

（1）當(dāng)x=10 時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

（2） 在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為.

本題中的數(shù)學(xué)模型是基于實際情境設(shè)置的，即購物滿減活動.這是一個線性模型，其中包括基礎(chǔ)價格、折扣和最終支付金額等參數(shù).在教學(xué)過程中，首先教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解題目中的實際情境，幫助學(xué)生建立情境與數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系.接著，教師要指導(dǎo)學(xué)生如何從實際情境中提取數(shù)學(xué)信息，建立數(shù)學(xué)模型.如，分析如何計算訂單總價、折扣后的支付金額和李明的收入.對于問題（1），可直接計算兩種水果的總價，然后考慮折扣，計算出顧客應(yīng)支付的金額.當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒時，總價為60+80=140（元），達(dá)到120元，所以顧客少付10元，即顧客需要支付140-10=130（元）［8］.對于問題（2），教師可引導(dǎo)學(xué)生探究當(dāng)滿足李明所得金額至少是促銷前總價的70%時，x的可能取值.可以采用不等式求解，確定x.方法1：當(dāng)單筆訂單的總價達(dá)不到120元時，顧客不少付，則李明得到總價的80%.當(dāng)單筆訂單的總價達(dá)到120元時，顧客少x元，設(shè)總價為a元（a≥120），則李明每筆訂單得到的金額與總價的比為0.8（a-x）a=0.8（1-xa），所以當(dāng)a越小時，此比值越小.又a最小值為120元（即買兩盒草莓），所以0.8（120-x）≥120×0.7，解得x≤15，所以最大值為15；方法2：購買水果總價剛好達(dá)到120元時，顧客少付x元，這時x占全部付款的比例最高，此時如果滿足李明所得金額是促銷前總價的70%，那么x值最大，由此列式得（120-x）×0.8=120×0.7，解得x=15，所以x的最大值為15［9］.

通過這樣的教學(xué)過程，學(xué)生不僅能夠掌握解決特定數(shù)學(xué)問題的方法，還能夠理解數(shù)學(xué)模型在實際商業(yè)活動中的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和實際應(yīng)用能力.這種方法有助于提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，使他們能夠在未來的學(xué)習(xí)和生活中更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識［10］.

4" 結(jié)語

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵部分.它要求學(xué)生在解決實際問題的過程中，運用數(shù)學(xué)知識和技能，發(fā)展邏輯思維和空間想象能力，積累實踐經(jīng)驗.隨著新高考改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)建模在考題中的比重日益增加，已成為考生必須掌握的核心技能.因此，教師在教學(xué)中，應(yīng)通過合理的教學(xué)設(shè)計，創(chuàng)新的教學(xué)方法，以及實際問題為導(dǎo)向的教學(xué)實踐，幫助學(xué)生夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維，滿足新高考對能力和素養(yǎng)的綜合考查要求.

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