學(xué)好“一次函數(shù)”的必備攻略

領(lǐng) "銜 "人：姜鴻雁（江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省無(wú)錫市初中數(shù)學(xué)名師工作室

同學(xué)們，你知道嗎，函數(shù)被德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊茵稱為數(shù)學(xué)的“靈魂”，可見(jiàn)它的地位和價(jià)值至關(guān)重要。學(xué)完“一次函數(shù)”之后，有的同學(xué)感到些許迷糊，甚至覺(jué)得有點(diǎn)難。那我們就一起來(lái)看看學(xué)好一次函數(shù)的幾條必備“攻略”吧。

攻略一：明晰概念，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型

函數(shù)研究的是一個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，當(dāng)變量x取一個(gè)值，變量y有唯一值與它對(duì)應(yīng)。函數(shù)是從“常量數(shù)學(xué)”到“變量數(shù)學(xué)”的跨越，必然進(jìn)入另一番天地。函數(shù)是一個(gè)“龐大的家族”，我們從最基本、最簡(jiǎn)單的一次函數(shù)開始學(xué)習(xí)，它的定義是：形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），y是x的一次函數(shù)。它就在我們的生活中，比如：

（1）一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油5L，加油槍平均加油量為6L/min，那么油箱中的油量y（L）與時(shí)間x（min）之間的函數(shù)表達(dá)式為y=6x+5；

（2）某水庫(kù)的水位在5h內(nèi)持續(xù)上漲，初始水位高度為6m，水位以每小時(shí)0.3m的速度上升，則該水庫(kù)的水位高度y（m）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)表達(dá)式為y=0.3x+6；

（3）某登山隊(duì)大本營(yíng)所在地的氣溫為30℃，海拔每升高1km，氣溫下降6℃，登山隊(duì)員所在位置的氣溫y（℃）與海拔x（km）之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-6x+30。

透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，這些實(shí)際問(wèn)題反映的等量關(guān)系都是：新值=均勻變化部分+初始值，因此可以抽象出y=kx+b（k≠0）這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述共性。

攻略二：研究圖像，體會(huì)數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)幾何直觀

一次函數(shù)的圖像是一條直線，以此表達(dá)“均勻變化”的特質(zhì)，其圖像位置由k和b決定。我們可以用“控制變量法”來(lái)理解。

設(shè)k=2（如圖1），隨著b的變化，圖像的位置發(fā)生變化，但相互平行；當(dāng)k=-2時(shí)（如圖2），也是如此。對(duì)比圖1、圖2可知，k值影響圖像走勢(shì)：當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大（上升），必過(guò)第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。ㄏ陆担?，必過(guò)第二、四象限。

再設(shè)b=2（如圖3），隨著k的變化，圖像與y軸的公共點(diǎn)始終為（0，2）。

可見(jiàn)，k、b的取值與圖像的位置建立了聯(lián)系。例如，若一次函數(shù)y=kx+k+1的圖像不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍。這里要注意，“不經(jīng)過(guò)第三象限”指經(jīng)過(guò)第一、二、四象限或經(jīng)過(guò)第二、四象限和原點(diǎn)。此類問(wèn)題都只需畫出草圖，以形助數(shù)，故此題答案為-1≤k＜0。

借助數(shù)形結(jié)合，我們還可以進(jìn)一步研究如下問(wèn)題。如圖4，觀察圖像的信息，可求直線AB的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C、D坐標(biāo)，聯(lián)立兩個(gè)表達(dá)式還可以求出點(diǎn)E坐標(biāo)；利用圖像法能求出不等式-2x+2＞0.5x-3的解集；還可求出△BED的面積……

通過(guò)研究一次函數(shù)圖像，我們可以深入理解它的性質(zhì)，深度剖析它與方程、不等式之間的關(guān)系，培養(yǎng)幾何直觀的能力。

攻略三：回歸生活，體驗(yàn)建模過(guò)程，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決

函數(shù)源自生活，回歸生活。在實(shí)際生活中，一次函數(shù)一直發(fā)揮著它的應(yīng)用價(jià)值。

例 小明觀察到某水龍頭因損壞不斷滴水，于是用一個(gè)帶有刻度的量筒放在水龍頭下積水，每隔1分鐘記錄量筒中的總水量，得到如下一組數(shù)據(jù)：

（1）開始計(jì)時(shí)時(shí)，量筒中有水嗎？

（2）20分鐘時(shí)，量筒中的水量是多少mL？

（3）一個(gè)人一天大約飲用1500mL水，估算這個(gè)水龍頭一個(gè)月（按30天計(jì)）的漏水量可供一人飲用多少天。

觀察表格發(fā)現(xiàn)，前后一分鐘都相差5毫升水，具有“均勻變化”特質(zhì)，故建立一次函數(shù)模型：y=kt+b（也可以把一組組值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出，觀察函數(shù)圖像），用待定系數(shù)法求出表達(dá)式y(tǒng)=5t+2；令t=0，y=2（mL）；令t=20，y=102（mL）；1個(gè)月的總滴水量：30×24×60×5=216000（mL），再得天數(shù)：216000÷1500=144（天）。真是不算不知道，一點(diǎn)一滴皆重要！

同學(xué)們，以上“攻略”沿著“概念、圖像與性質(zhì)、實(shí)際應(yīng)用”的路徑展開，這也是學(xué)習(xí)函數(shù)的一般路徑，為日后學(xué)習(xí)其他類型的函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)。一次函數(shù)僅僅打開了函數(shù)的大門，里面有非常廣闊的天地任我們馳騁，讓我們一起慢慢細(xì)品這一“數(shù)學(xué)之魂”吧！

（作者單位：江蘇省宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）