基于Kriging模型的主軸箱多目標(biāo)尺寸優(yōu)化

潘英廣　唐清春　袁秀坤　張晨陽(yáng)　魏巍　王太子

摘 要：以自研五軸工具磨床為研究對(duì)象，利用Inventor建立其三維模型，導(dǎo)入ANSYS Workbench建立其整機(jī)有限元模型，通過(guò)對(duì)整機(jī)的模態(tài)分析與諧響應(yīng)分析確定主軸箱為影響整機(jī)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)鍵部件。對(duì)主軸箱進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析，以主軸箱1階固有頻率、幾何質(zhì)量與最大變形量為目標(biāo)函數(shù)，以主軸箱各壁厚以及斜度等為設(shè)計(jì)變量，基于Kriging法建立其響應(yīng)面模型，對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，從而得出最優(yōu)Pareto解集，最后對(duì)優(yōu)化后主軸箱進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明：主軸箱的1階固有頻率從113.03 Hz提升至144.50 Hz，提升了27.84%，幾何質(zhì)量減少了3.83%，最大變形量減少了10.31%，主軸箱綜合性能顯著提高。

關(guān)鍵詞：Kriging模型；模態(tài)分析；諧響應(yīng)分析；多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號(hào)：TG593；TH132 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2024.02.010

0 引言

五軸工具磨床作為數(shù)控刀具的主要制造工具，其精度與穩(wěn)定性等綜合性能極為重要。為確保機(jī)床實(shí)現(xiàn)高速、高效、高性能目標(biāo)，諸多學(xué)者針對(duì)設(shè)計(jì)過(guò)程做了深入研究：郭壘等[1]利用靈敏度分析法對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)件進(jìn)行分析測(cè)量，得到結(jié)構(gòu)各尺寸與質(zhì)量、剛度的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)輕量化設(shè)計(jì)，使結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低了6.9%；薛會(huì)民等[2]利用有限元軟件對(duì)某機(jī)床床身進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析，使用尺寸優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化完成對(duì)床身的綜合優(yōu)化，使床身結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低了3.52%；蒲凡等[3]對(duì)某立式加工中心立柱進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析，并進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，提高了其綜合性能；鄭彬等[4]對(duì)某數(shù)控機(jī)床立柱在靜動(dòng)態(tài)特性分析的基礎(chǔ)上，對(duì)其主要尺寸進(jìn)行Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)以及靈敏度分析，建立響應(yīng)面模型，通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化，立柱綜合性能得到提高。上述研究直接選擇對(duì)機(jī)床的單個(gè)部件進(jìn)行優(yōu)化，沒(méi)有考慮機(jī)床整機(jī)的動(dòng)態(tài)性能，因此缺乏針對(duì)性。在對(duì)機(jī)床優(yōu)化的過(guò)程中，首先尋找整機(jī)的薄弱環(huán)節(jié)，需要對(duì)整機(jī)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，可直接得出對(duì)整機(jī)影響最大的薄弱部件，其次有針對(duì)性地對(duì)該部件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。此類方法能提高機(jī)床的優(yōu)化效率，降低單個(gè)部件優(yōu)化的盲目性。

目前響應(yīng)面模型的建立方法有全二階多項(xiàng)式、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及Kriging等。其中Kriging模型的全局近似和優(yōu)化方法是一種解決“黑箱”仿真模型的復(fù)雜理論體系之一，結(jié)合了試驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析的插值算法，可得到設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)參數(shù)之間的映射關(guān)系，并充分考慮了各個(gè)參數(shù)在變量空間里的相關(guān)特征，在航天航空、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、船舶、汽車等實(shí)際工程中得到廣泛應(yīng)用[5]。胥磊等[6]基于Kriging代理模型對(duì)加筋柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，最終優(yōu)化結(jié)構(gòu)比初始模型質(zhì)量減少了11.91%，并且通過(guò)與直接優(yōu)化方法對(duì)比說(shuō)明該方法效果明顯、效率高。賴喜濤等[7]基于Kriging模型-遺傳算法的離心葉輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以獲得良好的優(yōu)化結(jié)果，與直接用遺傳算法尋優(yōu)相比，極大地減少計(jì)算時(shí)間，提高了設(shè)計(jì)效率，同多項(xiàng)式模型-遺傳算法相比也有效率優(yōu)勢(shì)。

本文以自主研發(fā)的五軸工具磨床為研究對(duì)象，利用ANSYS workbench對(duì)該磨床進(jìn)行整機(jī)動(dòng)態(tài)特性分析，辨識(shí)出主軸箱為整機(jī)動(dòng)態(tài)性能影響最大的部件；基于Kringing元模型建立主軸箱響應(yīng)面模型，通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化的方法對(duì)該部件進(jìn)行尺寸優(yōu)化，在提高該磨床動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)達(dá)到輕量化的目的。

1 整機(jī)動(dòng)態(tài)分析與薄弱環(huán)節(jié)的識(shí)別

1.1 五軸工具磨床介紹

研究對(duì)象為自主研發(fā)的五軸工具磨床，其模型如圖1所示，外觀尺寸為1 487 mm×1 571 mm×1 925 mm。該機(jī)床主要由床身，立柱，X、Z軸組件與Y軸組件等構(gòu)成，共有5個(gè)運(yùn)動(dòng)軸，其中X、Y、Z為3條平動(dòng)軸，A、B為旋轉(zhuǎn)軸。采用被加工件軸線臥式布局，工件安裝在X、Z軸組件上，加工時(shí)工件可實(shí)現(xiàn)X、Z軸方向移動(dòng)與A軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，砂輪主軸箱與B軸組件設(shè)置在立柱（Y軸）上，可沿Y軸上下運(yùn)動(dòng)和B軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

1.2 有限元模型建立

利用Inventor軟件建立磨床的三維簡(jiǎn)化模型，根據(jù)圣維南定理，刪除尺寸較小的倒角、圓角以及不必要的凸臺(tái)與凹槽等結(jié)構(gòu)，可減少計(jì)算機(jī)的計(jì)算量，有利于后續(xù)的有限元分析。簡(jiǎn)化模型后導(dǎo)入有限元軟件定義其各個(gè)部件的材料屬性，床身、立柱、B軸箱體、X、Z滑臺(tái)等主要承載部件為HT350（密度7.45 g/cm?，彈性模量104 GPa，泊松比0.3），各軸導(dǎo)軌為結(jié)構(gòu)鋼（密度7.85 g/cm?，彈性模量200 GPa，泊松比0.3）。對(duì)整機(jī)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，因?yàn)檎麢C(jī)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，所以機(jī)床各螺栓結(jié)合面采用綁定約束，滑塊與導(dǎo)軌結(jié)合面采用不分離接觸，磨床底部6個(gè)地腳螺栓與底面形成固定約束。利用自由四面體網(wǎng)格劃分方法，得到該磨床有限元模型，其中單元數(shù)為193 869個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為322 312個(gè)。有限元模型如圖2所示。

1.3 整機(jī)模態(tài)與諧響應(yīng)分析

在實(shí)際加工中，機(jī)床在做超高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)極容易引起系統(tǒng)共振，從而影響機(jī)床精度與產(chǎn)品質(zhì)量，因此有必要探究其動(dòng)態(tài)特性，以達(dá)到進(jìn)一步提升機(jī)床性能的目的。模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，固有頻率是結(jié)構(gòu)固有的特性，與其自身質(zhì)量、尺寸有關(guān)，通過(guò)模態(tài)分析可得到結(jié)構(gòu)的固有頻率與振型。由于機(jī)床的各個(gè)構(gòu)件固有頻率對(duì)應(yīng)著無(wú)限多個(gè)模態(tài)，而高階模態(tài)在振動(dòng)中作用較小，因此在模態(tài)分析中僅需要關(guān)注其低階模態(tài)。

諧響應(yīng)分析主要是用于確定線性結(jié)構(gòu)件在承受隨時(shí)間簡(jiǎn)諧規(guī)律變化的載荷作用下所產(chǎn)生的一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)技術(shù)，是判斷結(jié)構(gòu)能否克服共振的重要依據(jù)[8-12]。因此，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析可以有效地防止因其結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振而造成的損壞，并提高其穩(wěn)定性及加工精度。

通過(guò)Block Lanczosd法的模態(tài)分析獲得磨床前6階固有頻率與振型，如表1與圖3所示。

進(jìn)行諧響應(yīng)分析時(shí)，需在磨削主軸X、Y、Z等3個(gè)方向添加1 000 N的簡(jiǎn)諧力，頻率范圍設(shè)置0～200 Hz，利用模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析可得出磨削主軸的頻率響應(yīng)曲線如圖4所示。

由表1和圖3模態(tài)分析可知，磨床整機(jī)振動(dòng)主要表現(xiàn)為主軸箱與B軸箱體振動(dòng)，因此可推斷出磨床振動(dòng)主要由主軸箱與B軸箱體的擺動(dòng)而造成。由圖4諧響應(yīng)分析曲線可知：X方向和Y方向最大振幅均出現(xiàn)在頻率116 Hz左右，Z方向最大振幅出現(xiàn)在132 Hz處，Y方向振幅在65 Hz附近也存在峰值，對(duì)應(yīng)著磨床的1階、3階和4階固有頻率。由此看出，整機(jī)的低階固有頻率對(duì)磨床的動(dòng)態(tài)性能影響較大，且振幅峰值均出現(xiàn)在主軸箱處，因此可判斷主軸箱為對(duì)機(jī)床整機(jī)動(dòng)態(tài)性能影響最大的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)部件。

2 主軸箱靜力分析與模態(tài)分析

通過(guò)上文分析，可判定主軸箱為磨床整機(jī)的薄弱部件，因此需探究其靜動(dòng)態(tài)特性。靜力學(xué)分析的目的是分析當(dāng)結(jié)構(gòu)在承受不隨時(shí)間變化而波動(dòng)的靜載荷時(shí)，結(jié)構(gòu)自身所產(chǎn)生的彈性與塑性變形、應(yīng)變等情況。首先，定義主軸箱的材料屬性，其采用HT350鑄造而成，密度7.45 g/cm?，楊氏模量104 GPa，泊松比0.3。其次，分析其受力情況，主軸箱上端固定于B軸馬達(dá)，承受磨削主軸的質(zhì)量（42.000 kg）、磨削力以及自身的質(zhì)量（46.279 kg），其中磨削力是由軸向磨削力、切向磨削力以及法向磨削力所產(chǎn)生的合力，因軸向力數(shù)值遠(yuǎn)低于切向力與法向力，所以在計(jì)算時(shí)可以忽略不計(jì)。切向力[Ft]與法向力[FN]計(jì)算公式[13]如下，

式中：[Pw]為磨削電主軸輸出功率，[Pw=13 kW]；[n]為磨削砂輪轉(zhuǎn)速，n=10 000 r/min；[r]為磨削砂輪半徑，r=0.05 m。

為保持結(jié)構(gòu)剛度，取[FN/Ft=2.6]。因此，根據(jù)式（1）可知切向磨削力為248.0 N，法向磨削力為644.8 N。

確定所有受力后，對(duì)主軸箱進(jìn)行靜力學(xué)分析，得到總變形與等效應(yīng)力云圖，如圖5所示。由靜力分析結(jié)果可知，主軸箱最大變形0.014 699 mm出現(xiàn)在電主軸孔后端部分，最大等效應(yīng)力2.910 1 MPa出現(xiàn)在直角連接處，遠(yuǎn)小于材料的極限強(qiáng)度。靜力分析后對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，提取其前4階模態(tài)振型如圖6、表2所示。

3.2 優(yōu)化參數(shù)靈敏度分析

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，利用靈敏度分析可以得出設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度，從而可以篩選出重要參數(shù)與非重要參數(shù)，有利于進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。本次選取8個(gè)尺寸參數(shù)作為輸入?yún)?shù)，主軸箱1階固有頻率、主軸箱質(zhì)量以及主軸箱最大變形量作為輸出參數(shù)，利用中間復(fù)合材料設(shè)計(jì)采樣技術(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，生成81個(gè)樣本點(diǎn)，由計(jì)算機(jī)把各樣本點(diǎn)代入模型進(jìn)行計(jì)算并輸出參數(shù)，通過(guò)已知輸出參數(shù)建立響應(yīng)面，并通過(guò)靈敏度分析得出8個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度。靈敏度分析結(jié)果如圖8所示。

從單個(gè)性能指標(biāo)來(lái)看，8個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)主軸箱1階固有頻率都具有一定的影響。8個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)與1階固有頻率成反比關(guān)系，說(shuō)明設(shè)計(jì)參數(shù)越小，1階固有頻率越大，其中主軸箱與B軸連接處厚度D5與主軸箱后端壁厚D1對(duì)主軸箱質(zhì)量最大，其影響系數(shù)分別為-0.841 22和-0.279 32，其余設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)1階固有頻率影響系數(shù)均在-0.136 97～-0.069 80內(nèi)。其次，主軸箱后端壁厚D1和B軸連接處厚度D5對(duì)主軸箱質(zhì)量影響最大，與質(zhì)量分別成正比和反比關(guān)系，主軸箱后端壁厚越大質(zhì)量也越大，B軸連接處厚度越小則質(zhì)量越大，其敏感性系數(shù)分別為0.259 86和-0.495 72，其中主軸箱斜面高度D7與斜面斜度D8對(duì)主軸箱質(zhì)量敏感性系數(shù)為0。最后，主軸箱后端壁厚D1、兩側(cè)壁厚D2、B軸連接處厚度D5、圓弧面厚度D6對(duì)主軸箱最大變形量均有不同程度的影響，敏感度系數(shù)分別為-0.339 85、-0.236 68、0.355 98、-0.206 53，其中后端壁厚、兩側(cè)壁厚以及圓弧面厚度與最大變形量成反比關(guān)系。

根據(jù)靈敏度分析結(jié)果可知，D1、D5、D6以及D8對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響較大，需重點(diǎn)關(guān)注，其余參數(shù)可根據(jù)優(yōu)化結(jié)果做出相應(yīng)修改。

3.3 基于Kriging元模型的響應(yīng)面原理

響應(yīng)面法是利用數(shù)據(jù)代替模型，近似估計(jì)非試驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)面值，其主要思想是在確定輸入輸出變量的基礎(chǔ)上，利用合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，通過(guò)試驗(yàn)得到一定的數(shù)據(jù)，采用數(shù)學(xué)中的多元二次回歸方程來(lái)擬合輸入和輸出變量之間的映像關(guān)系，具有較好的可導(dǎo)性和良好的連續(xù)性，尋優(yōu)簡(jiǎn)單，并且可采用常規(guī)數(shù)學(xué)優(yōu)化方法進(jìn)行求解。其中Kriging模型的全局近似和優(yōu)化方法是一種解決“黑箱”仿真模型的復(fù)雜理論體系之一，其結(jié)合了試驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析的插值算法，可得到設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)參數(shù)之間的映射關(guān)系，并充分考慮了各個(gè)參數(shù)在變量空間里的相關(guān)特征。該方法在航天航空、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、船舶、汽車等實(shí)際工程中得到廣泛的應(yīng)用。其數(shù)學(xué)表達(dá)式[14-15]如下

通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)與響應(yīng)值確定Kriging模型后，便可通過(guò)該模型預(yù)測(cè)待測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)值。通過(guò)計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算可獲得所有輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的響應(yīng)面模型，在此僅列出D1、D5對(duì)3個(gè)輸出參數(shù)的響應(yīng)面模型，如圖9所示。

為了驗(yàn)證響應(yīng)面模型準(zhǔn)確性，在建立好響應(yīng)面模型后，需要引入多重判定系數(shù)R2以及均方根差[ERMSE]來(lái)評(píng)價(jià)響應(yīng)面準(zhǔn)確性。其計(jì)算公式如下，

式中：k為試驗(yàn)個(gè)數(shù)；n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；[SSY]為離差平方和；[SSE]為離回歸平方和。

判定系數(shù)大于0.9以及越接近1.0表示響應(yīng)面模型顯著性越好，模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值越接近。均方根差越接近于0表示響應(yīng)面模型顯著性越好。81組試驗(yàn)點(diǎn)計(jì)算值與模型預(yù)測(cè)值差別如圖10所示，顯著性分析如表4所示。

由圖10與表4可知，該響應(yīng)值模型判定系數(shù)均大于0.9，均方根差接近于0，說(shuō)明該模型預(yù)測(cè)精確性達(dá)到要求。

3.4 主軸箱多目標(biāo)優(yōu)化

基于Kriging響應(yīng)面模型，以主軸箱的1階固有頻率、幾何質(zhì)量以及最大變形量為目標(biāo)函數(shù)，并以最大化1階固有頻率、最小化質(zhì)量以及最小化最大變形量為約束條件，建立起主軸箱多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型[16]，

式中：[xi]為輸入變量，表示設(shè)計(jì)參數(shù)的值；[fX]為主軸箱1階固有頻率；[mX]為主軸箱質(zhì)量；[FX]為主軸箱最大變形量；[αi]為輸入變量的上限約束值；[βi]為輸入變量的下限約束值。

建立好數(shù)學(xué)模型后，通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，獲得Pareto最優(yōu)解如圖11所示。根據(jù)上述優(yōu)化模型從圖中選取最佳的3組數(shù)據(jù)，得到多目標(biāo)優(yōu)化解集如表5所示。

根據(jù)前文靈敏度分析來(lái)對(duì)比優(yōu)化參數(shù)權(quán)重，且在綜合考慮1階固有頻率、幾何質(zhì)量及最大變形量的情況下，選擇1號(hào)解集中的最優(yōu)解，因此，根據(jù)1號(hào)解集中的參數(shù)進(jìn)行主軸箱的尺寸優(yōu)化。為避免修正參數(shù)的盲目性，需參考靈敏度來(lái)分析結(jié)果。最終優(yōu)化結(jié)果如表6所示。

修正優(yōu)化參數(shù)后，對(duì)主軸箱重新進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析，其1階固有頻率為144.50 Hz，幾何質(zhì)量為44.507 kg，最大變形量為0.013 184 mm，對(duì)比優(yōu)化前后分析結(jié)果如表7所示，通過(guò)該結(jié)果可知該方案優(yōu)化效果顯著。

4 結(jié)論

為提高機(jī)床的綜合特性與精度，以自研五軸工具磨床為研究對(duì)象，對(duì)磨床整機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析與諧響應(yīng)分析，得出磨床薄弱部件為主軸箱。對(duì)主軸箱進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析，得出其等效應(yīng)力云圖與最大變形量以及前4階固有頻率，最后采用多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)主軸箱進(jìn)行優(yōu)化。得出以下結(jié)論：

1）利用整機(jī)分析的方法可以精確地識(shí)別出整機(jī)薄弱部件，有利于機(jī)床設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性與有效性。

2）采用多目標(biāo)優(yōu)化方法能夠有效地減輕主軸箱的質(zhì)量并提高抗振特性，運(yùn)用基于Kriging響應(yīng)面法以及靈敏度分析可以精確地找出部件的關(guān)鍵尺寸，該方法能夠預(yù)測(cè)出精確模型及有利于明確優(yōu)化目標(biāo)，提高優(yōu)化效率。

3）優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后主軸箱的1階固有頻率從113.03 Hz提升至144.50 Hz，提升了27.84%，質(zhì)量減少了3.83%，最大變形量減少了10.31%。由此可知，在提高主軸箱的抗振性能的同時(shí)達(dá)到了輕量化的效果，優(yōu)化效果顯著，為機(jī)床部件與整機(jī)優(yōu)化提供參考方案。

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Multi-objective size optimization of headstock based on Kriging model

PAN Yingguang1， TANG Qingchun*1， YUAN Xiukun2， ZHANG Chenyang1， WEI Wei1， WANG Taizi1

（1. School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China; 2. Department of Transportation Engineering， Sichuan Engineering Vocational College， Deyang 618000， China）

Abstract： Taking the self-developed five-axis tool grinder as the research object， the 3D model was established by Inventor， and the finite element model of the whole machine was established by importing ANSYS Workbench. Through the modal analysis and harmonic response analysis of the whole machine， the headstock was determined as the key component affecting the dynamic characteristics of the whole machine. The static and dynamic characteristics of the headstock were analyzed. With the first-order natural frequency， mass and maximum deformation of the headstock as the objective functions， and the wall thickness and slope of the headstock as the design variables， the response surface model was established based on Kriging method， and the multi-objective optimization was carried out to obtain the optimal Pareto solution set. Finally， the headstock was verified after optimization. The results show that the first-order natural frequency of the headstock is increased by 27.84% from 113.03 Hz to 144.50 Hz， the mass is reduced by 3.83%， the maximum deformation is reduced by 10.31%， and the comprehensive performance of the headstock is significantly improved.

Keywords： Kriging model; modal analysis; harmonic response analysis; multi-objective optimization

（責(zé)任編輯：黎 婭）

收稿日期：2023-01-07；修回日期：2023-05-05

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（52165054）；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2020GXNSFAA1591）資助

第一作者：潘英廣，在讀碩士研究生

*通信作者：唐清春，博士，教授，研究方向：多軸加工技術(shù)、超精密加工、激光增減材復(fù)合制造，E-mail：gxtangqingchun@163.com