關(guān)于高階差等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明

戴中林

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

0 引 言

若某正整數(shù)列在逐差法下能得到等比數(shù)列,則稱原數(shù)列為高階差等比數(shù)列.這種新型數(shù)列多年來在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教材上一般都很少介紹,研究得到的成果也不多.但近年來關(guān)于高階差等比數(shù)列這一新概念上的研究性文章陸續(xù)出現(xiàn)在當(dāng)今數(shù)學(xué)刊物上.目前主要有以下三個(gè)結(jié)果.

其一,《數(shù)學(xué)通報(bào)》2004年第6期刊出文章:高階差等比數(shù)列.

該文給出了定義及相關(guān)公式:

定義1[1]對于數(shù)列{an},a1為首項(xiàng),dk(k=1,…,r)是數(shù)列{an}第k次作差所得數(shù)列的首項(xiàng),若第r次作差所得數(shù)列時(shí)一個(gè)公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,則稱數(shù)列為r階差等比數(shù)列.

在定義1下,其通項(xiàng)公式為

(1)

其二,《大學(xué)數(shù)學(xué)》2019年第1期刊出文章:求高階差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

該文給出了另一定義和相關(guān)公式:

定義2[2]若一數(shù)列的前r階差數(shù)列不是等比數(shù)列,而其r+1階差數(shù)列是等比數(shù)列,則稱該數(shù)列為r階差等比數(shù)列.

在定義2下,有下述公式:

定理1設(shè)r階差等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,各階差首項(xiàng)分別為dk(k=1,…,r);等比數(shù)列的首項(xiàng)為b,公比為q.則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(2)

其三,《高等數(shù)學(xué)研究》2019年第4期給出文章:r階差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

該文在定義2下又給出了另一公式:

定理2[3]設(shè)r階差等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,各階差首項(xiàng)分別為dk(k=1,…,r);等比數(shù)列的首項(xiàng)為b,公比為q.則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(3)

上述三個(gè)通項(xiàng)公式,僅有通項(xiàng)公式(2)已有證明,而其余兩個(gè)通項(xiàng)公式(1)和(3)均未給與證明,事實(shí)上這三個(gè)通項(xiàng)公式是完全等價(jià)的.完全可以應(yīng)用公式(2)的結(jié)論來證明公式(1)和公式(3)是成立的.

對于與之對應(yīng)的三個(gè)前n項(xiàng)和公式

其證明過程與通項(xiàng)公式的證明方法也是類似的,文中就不再多述..

1 高階差等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明方法

1.1 高階差等比數(shù)列關(guān)于階的定義

一般情況下,對于r階差等比數(shù)列階數(shù)的定義方法,作者是應(yīng)用逐差法[4]并根據(jù)自身公式的需要來定義的,目前來看,其定義方法有兩種,即上述文獻(xiàn)[1]的定義1與文獻(xiàn)[2]的定義2.

若按定義1,該數(shù)列為三階差等比數(shù)列;按定義2,該數(shù)列應(yīng)為二階差等比數(shù)列,顯然該數(shù)列按定義1定義的階數(shù)比按定義2定義的階數(shù)高一階.

1.2 通項(xiàng)公式(1)的證明方法

為證明通項(xiàng)公式(1)成立,首先應(yīng)將r階差等比數(shù)列的定義1按照定義2進(jìn)行統(tǒng)一.即在此定義下該數(shù)列應(yīng)為二階差等比數(shù)列,由于文獻(xiàn)[1]的公式(1)采用的是定義1.首先應(yīng)將定義1下的通項(xiàng)公式(1)改為定義2,并設(shè)dr=b,故通項(xiàng)公式(1)可化為

(4)

然后由文獻(xiàn)[2]中已有結(jié)論,只需證明通項(xiàng)公式(4)與(2)中第三部分和式相等,即證

(5)

證任意r,令q-1=p,q=p+1,代入上式,故

故等式(5)成立,即通項(xiàng)公式(1)成立.

1.3 通項(xiàng)公式(3)的證明

證在上式中,令q-1=p,則q=p+1,代入得

(6)

故只需證明等式(6)兩端關(guān)于p的各次冪系數(shù)相等即可.

下面對等式(6)應(yīng)用完全歸納法(即第二歸納法)證明.

首先證明k=0,1,2等式(6)成立.

當(dāng)k=1時(shí),關(guān)于p的[(n-r-2)-1]次冪的系數(shù)

是相等的.

且有等式

(7)

當(dāng)k=2時(shí),關(guān)于p的[(n-r-2)-2]次冪的系數(shù),即

故兩端系數(shù)也是相等的.

且有等式

(8)

其次假設(shè)k≤t(t=3,…,n-r-2)時(shí)(6)式成立,即設(shè)p的[(n-r-2)-t]次冪(t=3,…,n-r-1),根據(jù)等式(7),(8),…的構(gòu)成規(guī)律,直到最后一項(xiàng)為一次項(xiàng)時(shí),其系數(shù)等式

應(yīng)是成立的.

最后證明k=t+1時(shí)等式(6)成立.實(shí)際上p的[(n-r-2)-(t+1)]次冪應(yīng)為(6)式中的常數(shù)項(xiàng),故當(dāng)p的[(n-r-2)-(t+1)]次冪,即k=t+1時(shí),由上假設(shè)其左端常數(shù)應(yīng)為

且p的[(n-r-2)-(t+1)]次冪為常數(shù)項(xiàng),應(yīng)有

(i)p的次數(shù)(n-r-2)-(t+1)=0;

(ii) 由于公式(6)的右端不出現(xiàn)r,可由(i)得r=n-t-3,可將X中的r換掉;

(iii) 注意到由n-t-r-3=0,應(yīng)有n-t-r-2=1,n-t-r-1=2,…成立,故有

由組合公式[5]

將上式中n換為n-2,k=t+1得等式

故當(dāng)k=t+1時(shí)等式(6)成立

綜上所述,等式(6)兩端關(guān)于p的各次冪k≤t(t=0,1,…,n-r-2)系數(shù)都是相等的,故通項(xiàng)公式(3)成立.

2 應(yīng)用實(shí)例

例已知數(shù)列 3,7,17,63,295,1463,…;求a8.

解 法1由前知該數(shù)列按定義1為三階差等比數(shù)列,且有

r=3,a1=3,d1=4,d2=6,d3=30,q=5.

應(yīng)用公式(1),

故得

法2按定義2該數(shù)列為二階差等比數(shù)列,且有

r=2,a1=3,d1=4,d2=6,b=30,q=5.

應(yīng)用公式(2),得

法3該數(shù)列按定義2為二階差等比數(shù)列,由通項(xiàng)公式(3),

3 結(jié) 論

對于高階差等比數(shù)列的三個(gè)通項(xiàng)公式,其中兩個(gè)通項(xiàng)公式目前均未給與證明而直接應(yīng)用,顯然不具備數(shù)學(xué)應(yīng)有的嚴(yán)密性.對于《數(shù)學(xué)通報(bào)》上的通項(xiàng)公式(1)的證明,其關(guān)鍵是首先應(yīng)將其r階差等比數(shù)列的階數(shù)定義統(tǒng)一到《大學(xué)數(shù)學(xué)》的定義2上來,并應(yīng)用已有的結(jié)果,其后續(xù)證明就迎刃而解.而對于《高等數(shù)學(xué)研究》上通項(xiàng)公式(3)的證明,則應(yīng)用了數(shù)學(xué)上的完全歸納法,其證明過程具有較高的技巧性,從而給高階差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的嚴(yán)密性劃上一個(gè)完美的句號.

致謝作者十分感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審搞專家對本文提出的寶貴意見.