有理分式函數(shù)的對稱復(fù)極點的留數(shù)

丁明玲, 肖祥春, 李 薇

(1.福建農(nóng)林大學(xué) 計算機(jī)與信息學(xué)院,福州 350002; 2.廈門理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建 廈門 361024)

0 引 言

留數(shù)定理及推廣的留數(shù)定理[1]是計算閉合路徑復(fù)積分的重要工具,同時也為數(shù)學(xué)分析無法或難以處理的一些實的定積分及廣義積分提供有效的計算方法[1-4].復(fù)變函數(shù)在三大類孤立奇點(可去奇點、極點及本性奇點)的留數(shù)的計算規(guī)則與方法很多,但對于其中的極點,特別是級數(shù)較高的極點,其留數(shù)計算往往較為復(fù)雜.而有理分式函數(shù)是常見的復(fù)變函數(shù),其孤立奇點多以關(guān)于坐標(biāo)軸或原點對稱的形式出現(xiàn),但目前關(guān)于有理分式函數(shù)(特別是復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù))對稱極點的留數(shù)的研究很少.

本文主要研究復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù)在各類對稱極點的留數(shù)之間的關(guān)系:有理分式函數(shù)的某一種形式的對稱極點的留數(shù)之間是否也存在某種對稱性?結(jié)合有理分式函數(shù)的奇偶性給出相應(yīng)的結(jié)論.這些結(jié)論為有理分式函數(shù)對稱極點的留數(shù)以及有理分式函數(shù)在閉合路徑上的復(fù)積分提供了新的簡便計算方法.

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)

P(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an,Q(z)=b0zm+b1zm-1+…+bm-1z+bm,

其中ai,bj∈,i=0,1,2,…,n,j=0,1,2,…,m.a0≠0,b0≠0,且Q(z)≠0,則稱

為復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù).

特別地,若ai,bj∈,i=0,1,2,…,n,j=0,1,2,…,m,則稱

為實系數(shù)有理分式函數(shù).

引理1[1]如果z0是復(fù)變函數(shù)f(z)的k級極點,k為正整數(shù),則

引理2[5]設(shè)f(z)是不恒為零的解析函數(shù),則z0是f(z)的k級零點的充要條件是

f(z)=(z-z0)kφ(z),

其中φ(z)在點z0處解析,且φ(z0)≠0.

引理3[1]z0是函數(shù)f(z)的m級極點的充要條件是f(z)在z0點的某空心鄰域0<|z-z0|

其中φ(z)在z0點解析,φ(z0)≠0.

引理5[6]設(shè)

是實系數(shù)有理分式函數(shù),則R(k)(z)仍是實系數(shù)多項式,且

引理6[7]設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).

引理7設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)是解析函數(shù),則在對于任意k∈,

(i) 若f(z)是奇函數(shù),則f(2k)(z)是奇函數(shù),f(2k+1)(z)是偶函數(shù);

(ii) 若f(z)是偶函數(shù),則f(2k)(z)是偶函數(shù),f(2k+1)(z)是奇函數(shù).

證若f(z)為解析函數(shù),則由引理6,對任意k∈,f(k)(z)都存在.

(i) 若f(z)是奇函數(shù),則f(-z)=-f(z),從而f′(-z)(-1)=-f′(z),即f′(-z)=f′(z),因此f′(z)是偶函數(shù).

① 當(dāng)k=0時,顯然f(2k)(z)=f(z)是奇函數(shù),f(2k+1)(z)=f′(z)是偶函數(shù).

② 假設(shè)當(dāng)k=m∈+時,結(jié)論成立,即f(2m)(z)是奇函數(shù),f(2m+1)(z)是偶函數(shù),則

f(2m+1)(-z)=f(2m+1)(z),

從而

f(2m+2)(-z)=-f(2m+2)(z),

即f(2m+2)(z)是奇函數(shù).

類似可證

f(2m+3)(-z)=f(2m+3)(z),

即f(2m+3)(z)是偶函數(shù).因此當(dāng)k=m+1時,f(2k)(z)是奇函數(shù),f(2k+1)(z)是偶函數(shù).

由數(shù)學(xué)歸納法,可得對任意k∈,若f(z)是奇函數(shù),則f(2k)(z)是奇函數(shù),f(2k+1)(z)是偶函數(shù).

(ii) 若f(z)是偶函數(shù),類似(i)的證明可得f(2k)(z)是偶函數(shù),f(2k+1)(z)是奇函數(shù).

引理8[1]設(shè)復(fù)變函數(shù)

其中P(z),Q(z)在z0處解析,若P(z0)≠0,z0是Q(z)的一級零點,則z0是f(z)的一級極點,且

2 有理分式函數(shù)的對稱極點的留數(shù)之間的關(guān)系

2.1 有理分式函數(shù)關(guān)于x軸對稱的極點的留數(shù)的關(guān)系

文獻(xiàn)[6]給出關(guān)于實系數(shù)有理分式函數(shù)的共軛k級極點的留數(shù)的關(guān)系.

定理1[6]設(shè)

注1 由定理1知實系數(shù)有理分式函數(shù)在關(guān)于x軸對稱的k級極點的留數(shù)也關(guān)于x軸對稱.該結(jié)論是否適用于一般的復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù)?答案是否定的.

例如,設(shè)復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù)

由于i與-i都是R(z)的一級極點且關(guān)于x軸對稱,由引理1,得

對于其他類型的對稱極點,有理分式函數(shù)的留數(shù)是否也具有一定的對稱性?下面分別就關(guān)于y軸對稱,原點對稱的極點給出有理分式函數(shù)的留數(shù)之間的關(guān)系.

2.2 有理分式函數(shù)關(guān)于y軸對稱的極點的留數(shù)的關(guān)系

定理2設(shè)

(1)

其中

則

(2)

類似可得

(3)

另由(2)式及引理4,有

(4)

下面對k分兩種情形討論:

情形1若k為奇數(shù),則由(3)式,引理7與(4)式,有

情形2若k為偶數(shù),則由(3)式,引理7與(4)式,有

解實系數(shù)有理分式函數(shù)

為奇函數(shù),且在復(fù)平面上有兩個關(guān)于y軸對稱的二級極點-1與1.由引理1,有

注2 由定理2知,具有奇偶性的實系數(shù)有理分式函數(shù)在關(guān)于y軸對稱的k級極點的留數(shù)也具有相應(yīng)的對稱性.若實系數(shù)有理分式函數(shù)是奇函數(shù),則其在關(guān)于y軸對稱的k級極點的留數(shù)關(guān)于x軸對稱;若實系數(shù)有理分式函數(shù)是偶函數(shù),則其在關(guān)于y軸對稱的k級極點的留數(shù)也關(guān)于y軸對稱.但定理2結(jié)論對于一般的復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù)并不成立.

例如,復(fù)系數(shù)有理函數(shù)

是偶函數(shù).R(z)在復(fù)平面上有兩個關(guān)于y軸對稱的一級極點-1與1.由引理1,有

定理3設(shè)

(5)

(6)

(7)

2.3 有理分式函數(shù)關(guān)于原點對稱的極點的留數(shù)的關(guān)系

定理4設(shè)

為復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù).若α與-α都是Q(z)的k級零點,但不是P(z)的零點,則α與-α都是R(z)的k級極點,且

(i) 若R(z)是奇函數(shù),則Res[R(z),-α]=Res[R(z),α];

(ii) 若R(z)是偶函數(shù),則Res[R(z),-α]=-Res[R(z),α].

證若α與-α都是Q(z)的k級零點,則

Q(z)=(z-α)k(z+α)kH(z),

且H(α)≠0,H(-α)≠0,從而

(8)

其中

于是

(9)

類似可得

(10)

(i) 若R(z)是奇函數(shù),則R(-z)=-R(z).再由式(8)式,可得

從而w(-z)=-w(z),即w(z)是奇函數(shù).

下面對k分兩種情形討論:

情形1 若k為奇數(shù),則由(10)式,引理7與(9)式,有

情形2 若k為偶數(shù),則由(10)式,引理7與(9)式,有

綜上,若R(z)是奇函數(shù),則Res[R(z),-α]=Res[R(z),α].

(ii)若R(z)是偶函數(shù),則R(-z)=R(z).類似情形(i)的證明,可得w(z)是偶函數(shù),并進(jìn)一步對k分奇數(shù),偶數(shù)兩種情形討論,可得Res[R(z),-α]=-Res[R(z),α].

注4 由定理4知,若復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù)是奇函數(shù),則其在關(guān)于原點對稱的k級極點的留數(shù)相等;若復(fù)系數(shù)有理分式函數(shù)是偶函數(shù),則其在關(guān)于原點對稱的k級極點的留數(shù)也關(guān)于原點對稱.

又R(z)是偶函數(shù),由定理4(ii),得

3 綜合應(yīng)用舉例

由定理2(ii),得

由定理4(ii),得

由定理1得

再由留數(shù)定理得

4 結(jié) 論

對于級數(shù)較高的極點,利用傳統(tǒng)的留數(shù)計算公式計算留數(shù)一般較繁瑣.本文進(jìn)一步舉例說明運用上述結(jié)論可在一定程度上簡化有理分式函數(shù)的對稱極點留數(shù)的計算,并結(jié)合留數(shù)定理為閉合路徑上的有理分式函數(shù)的復(fù)積分計算提供一種簡便計算方法.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.