含參量積分函數(shù)的奇偶性

張清邦

(西南財經(jīng)大學 數(shù)學學院,成都 611130)

0 引 言

第十三屆全國大學生數(shù)學競賽補賽試題的第二題:設(shè)

證明:在區(qū)間(-1,1)上,函數(shù)f(x)有且僅有兩個實根.

這道題目引起了思考,由于區(qū)間(-1,1)是對稱區(qū)間,能不能應(yīng)用函數(shù)f(x)的奇偶性僅證明該函數(shù)在半?yún)^(qū)間(-1,0)或(0,1)上僅有一個實根?顯然f(x)是含參量的積分函數(shù).在《高等數(shù)學》和《數(shù)學分析》教材中,含參量積分函數(shù)的分析性質(zhì),如:連續(xù)性、可微性、可積性等,得到了深入分析.文獻[1]給出了一類含參量積分函數(shù)的連續(xù)性及其應(yīng)用.但對含參量積分函數(shù)的奇偶性鮮有討論.另一方面,函數(shù)的奇偶性在積分運算中,可以簡化定積分和重積分的運算.

1 含參量積分函數(shù)的奇偶性

定義1設(shè)多元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在區(qū)域Ω有定義.

(i) 稱f(x1,x2,…,xn)在Ω上是關(guān)于xi(i=1,2,…,n)的偶函數(shù)(或奇函數(shù)),若對任意(x1,x2,…,xn)∈Ω,都有(x1,…,xi-1,-xi,xi+1,…,xn)∈Ω且

f(x1,…,xi-1,-xi,xi+1,…,xn) =f(x1,…,xi,…,xn) (或-f(x1,…,xi,…,xn));

(ii) 稱f(x1,x2,…,xn)在Ω上是偶函數(shù)(或奇函數(shù)),若對任意(x1,x2,…,xn)∈Ω,都有(-x1,…,-xn)∈Ω且

f(-x1,…,-xi,…,-xn)=f(x1,…,xi,…,xn) (或-f(x1,…,xi,…,xn)).

(i)f(x,y)在D上是關(guān)于x的偶(奇)函數(shù);

(ii)f(x,y)在D上是偶(奇)函數(shù).

證(i) 充分性:由函數(shù)奇偶性的定義及積分的線性運算性質(zhì)易得.

(ii) 充分性.對任意x∈(-∞,+∞),當f(x,y)在D上是偶函數(shù)時,有f(-x,-y)=f(x,y),則

根據(jù)引理1可知,f(-x,-y)=f(x,y),故f(x,t)在D上是偶函數(shù).

同理可證,f(x,t)在D上是奇函數(shù)等價于F(x)是奇函數(shù).

定理2設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為區(qū)域D=2上的連續(xù)函數(shù),φ1(x) 和φ2(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù),則當f(x,y)在D上是關(guān)于x的奇(偶)函數(shù)時,G(x)=f(x,y)dy在(-∞,+∞)上是奇(偶)函數(shù).

證當函數(shù)f(x,y)在D上是關(guān)于x的奇函數(shù)時,對任意給定的y∈,都有f(-x,y)=-f(x,y).故

所以G(x)在(-∞,+∞)上是奇函數(shù).同理可得,G(x)在(-∞,+∞)上是偶函數(shù).

如當x∈[-2,2]時,φ1(x)=x+2,φ2(x)=x2-6,f(x,y)=xy是關(guān)于x的奇函數(shù),但

是非奇非偶函數(shù).

定理3設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為區(qū)域D=2上的連續(xù)函數(shù),φ1(x)和φ2(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù).則當f(x,y)是D上的奇(偶)函數(shù)時,G(x)=f(x,y)dy是(-∞,+∞)上的偶(奇)函數(shù).

證設(shè)φ1(x)和φ2(x)是奇函數(shù),當函數(shù)f(x,y)在D上是奇函數(shù)時,對任意給定的(x,y)∈D,都有f(-x,-y)=-f(x,y).故

所以G(x)在(-∞,+∞)上是偶函數(shù).

當函數(shù)f(x,y)在D上是偶函數(shù)時,對任意給定的(x,y)∈D,都有f(-x,-y)=f(x,y).故

所以G(x)在(-∞,+∞)上是奇函數(shù).

定理4設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為區(qū)域D=2上的連續(xù)函數(shù),φ1(x)和φ2(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù)且對任意x都有φ1(x)+φ2(x)=0,則當f(x,y)在D上是偶(奇)函數(shù)時,函數(shù)G(x)=f(x,y)dy在(-∞,+∞)是偶(奇)函數(shù).

證設(shè)函數(shù)f(x,y)在D上是奇函數(shù),則對任意(x,y)∈D,都有f(-x,-y)=-f(x,y).故

所以G(x)在(-∞,+∞)上是奇函數(shù).同理可證,G(x)在(-∞,+∞)上是偶函數(shù).

2 含參量積分函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用

本節(jié)中,將利用上節(jié)結(jié)論,先討論含參變量積分函數(shù)的導數(shù)的奇偶性,然后給出第十三屆全國大學生數(shù)學競賽補賽第二題的解法.

證當f(x,y)在D上是關(guān)于x的奇函數(shù)時,由定理2可知,F(x)在[-a,a]上是奇函數(shù).又由文獻[4]可知,F(x)在[-a,a]上是可微的且

故對任意x∈[-a,a],都有

即F′(x)在[-a,a]上是偶函數(shù).

同理可證,當f(x,y)在D上是關(guān)于x的偶函數(shù)時,F′(x)在[-a,a]上是奇函數(shù).

對任意x∈[-a,a],由文獻[4]可知,F(x)在[-a,a]上可微.又因

所以當f(x,y)在D上是偶函數(shù)時,可得

即F′(x)在[-a,a]上是奇函數(shù).

當f(x,y)在D上是奇函數(shù)時,F(x)=0(?x∈[-a,a]),由F(x)的可微性知F′(x)在[-a,a]上是偶函數(shù).

證當f(x,y)在D上是關(guān)于x的奇函數(shù)時,由函數(shù)φ1,φ2的奇偶性及定理2可知G(x)在[-a,a]是奇函數(shù).因為由文獻[4-5]可知,函數(shù)G(x)在[-a,a]上可微,且滿足

所以對任意x∈[-a,a]都有

G′(-x)=-(G(-x))′=-(-G(x))′=G′(x),

即G′(x)是[-a,a]上的偶函數(shù).同理可知另一結(jié)論成立.

證由定理3,類似命題1的證明,易知結(jié)論成立.

接下來,利用定理1給出下列競賽題的解答.

證令g(x,t)=|x-t|e-t2,易得g(x,t)在區(qū)域D=[-1,1]×[-1,1]上連續(xù),且是D上的偶函數(shù).由定理1知,函數(shù)f(x)是區(qū)間(-1,1)上的偶函數(shù).下面證明f(x)是區(qū)間(0,1)上僅有一個實根.

對任意x∈(0,1),因為

所以

3 結(jié) 論

本文討論了含參量積分函數(shù)的奇偶性,然后利用所得結(jié)果討論了含參變量積分函數(shù)的導數(shù)的奇偶性,并給出第十三屆全國大學生數(shù)學競賽補賽第二題的解答.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.