廣義導數(shù)及其在極值問題中的應用

阮詩佺, 于小珊, 于 野

(1.廈門大學 數(shù)學科學學院,福建 廈門 361005; 2.廈門大學 管理學院,福建 廈門 361005)

0 引 言

通過等價關系進行等價分類,將復雜的問題轉化為簡單問題,是十分重要的數(shù)學方法.例如,同一數(shù)域上同型矩陣之間的相抵關系、同階方陣之間的相似關系與合同關系等,都是矩陣之間的等價關系.這些矩陣的等價關系和標準形理論貫穿了整個高等代數(shù)的始終[1-2].

微積分中的同階無窮小和等價無窮小在極限理論和計算中有著重要的作用[3-5].本文將等價思想應用到無窮小理論當中,證明同階無窮小與等價無窮小是函數(shù)之間的兩種等價關系,并將它們應用于解決具體的函數(shù)極值問題.

導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一,是研究函數(shù)理論的重要工具,比如微分中值定理的應用[6-7],求函數(shù)的單調(diào)性與極值問題等等[8-9].不僅如此,它還廣泛應用于其它各個學科之中,比如高等代數(shù)的多項式理論中關于重因式的判定等.通過與等價無窮小相結合,可以更好地發(fā)揮導數(shù)的作用.眾所周知,洛必達法則是求函數(shù)極限的最重要工具之一,而通過與等價無窮小相結合,利用簡單的函數(shù)替代復雜的函數(shù),可以大大簡化其求極限的過程.例如下面的例子(其中首尾兩個等號利用等價無窮小,中間兩個等號利用洛必達法則):

雖然導數(shù)理論已經(jīng)相當完善,但是對于求具體函數(shù)的導數(shù),一般來說是比較困難的,比如求多重復合函數(shù)的高階導數(shù)等.因此,應用導數(shù)方法求函數(shù)的極值問題,微積分教材中只介紹了第一充分性定理與第二充分性定理,它們只涉及低階導數(shù)(一階與二階).并且,上述兩個充分性定理的應用具有較大的局限性.比如,第一充分性定理需要判定函數(shù)在某一個點局部導數(shù)值的符號,而第二充分性定理僅適用于一階導數(shù)為0,但是二階導數(shù)非0的情形.對于更一般的情形,如何判斷函數(shù)的極值是一個自然而然產(chǎn)生的問題.

具體說來,如果f′(x0)=0,但是無法確定f(x)在x0點局部的導數(shù)值的符號,那么無法使用第一充分性定理來判斷x0是否為f(x)的極值點;如果f′(x0)=f″(x0)=0,那么無法根據(jù)第二充分性定理來判斷x0是否為f(x)的極值點.當?shù)谝怀浞中远ɡ砼c第二充分性定理的條件都不滿足的情況下,如何解決函數(shù)極值問題?一般考慮用泰勒公式來處理.有下列結論:設函數(shù)f(x)在x0處有n階導數(shù),且

f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,

則當n為奇數(shù)時,x0不是f(x)的極值點;當n為偶數(shù)時,x0是f(x)的極值點,此時,若f(n)(x0)>0,則x0是f(x)的極小值點,若f(n)(x0)<0,則x0是f(x)的極大值點.

上述泰勒公式解決極值問題的方法理論意義大于實際意義,主要原因是對于一般函數(shù)求n階導數(shù)是比較困難的,特別是對于復合函數(shù)求n階導數(shù).本文的出發(fā)點即是為了解決這一難題.通過引入廣義導數(shù)與導數(shù)指標的概念,利用它們給出判斷函數(shù)極值的充分必要條件,并利用等價無窮小的思想,來提供簡便的算法.最后,通過實例說明,當?shù)谝怀浞中远ɡ砼c第二充分定理的條件都不滿足的情況下,本文的方法能夠給出極值問題的判定.

本文的結構如下:第1節(jié)中給出等價關系的嚴格定義,并證明等價無窮小與同階無窮小都是等價關系.第2節(jié)引入廣義導數(shù)的概念,研究它的基本性質,揭示它與高階導數(shù)之間的關系,并利用等價無窮小的方法來提供廣義導數(shù)的簡便計算方法.在第3節(jié)中,通過廣義導數(shù),引入導數(shù)指標的概念,給出它的等價刻畫,并證明導數(shù)指標可以作為同階無窮小的完全不變量,即兩個函數(shù)是同階無窮小當且僅當它們的導數(shù)指標相等.第4節(jié)提供了函數(shù)極值問題判定的一個充分必要條件.證明了函數(shù)在一個點處取極值當且僅當它的導數(shù)指標為偶數(shù),并利用廣義導數(shù)的符號給出極大值與極小值的判定方法.通過例子說明,當?shù)谝怀浞中远ɡ砼c第二充分性定理的條件都不滿足的情況下,本文的判別方法依然有效.

1 等價關系

定義1設S是一個集合,T是S×S的子集.則稱T定義了S的一個二元關系,記為～.具體說來,對于任意(x,y)∈S×S,若(x,y)∈T,則稱x和y有關系,記為x～y;若(x,y)?T,則稱x和y沒有關系.

注 設T定義了集合S的一個二元關系,則對于任意的x,y∈S,或者它們有關系,或者沒有關系,兩者必居其一且只居其一.

定義2集合S的一個二元關系“～”稱為S的一個等價關系,如果滿足:

(i) 反身性:對于任意的x∈S,有x～x;

(ii) 對稱性:對于任意的x,y∈S,若x～y,則y～x;

(iii) 傳遞性:對于任意的x,y,z∈S,若x～y,y～z,則x～z.

通過等價關系,可以將集合S中的元素進行分類,互相等價的元素構成一個等價類,它們將集合S劃分成互不相交的子集合的并.對S進行等價分類的意義在于,將對集合S的研究轉化為對S的子集合(等價類)的研究,化大為小;進一步,掌握每個等價類中的代表元,將對等價類的研究轉化成對代表元的研究.尋找等價關系下的完全不變量,通過不變量來區(qū)分不同的等價類,是等價關系研究過程中的一個重要課題.

下面回顧實數(shù)域上的函數(shù)之間的同階無窮小與等價無窮小的概念,并證明它們都是等價關系.以下所有的函數(shù)都是指實數(shù)域上的函數(shù).

定義3如果函數(shù)f(x)當x→x0時的極限為0,則稱f(x)為當x→x0時的無窮小.

定義4設f(x),g(x)都是當x→x0時的無窮小.

命題1同階無窮小與等價無窮小都是等價關系.

證顯然,同階無窮小與等價無窮小分別定義了實數(shù)域上函數(shù)之間的兩種二元關系.下面只證明同階無窮小是等價關系,關于等價無窮小的證明類似.為此需要分別驗證反身性、對稱性與傳遞性.

設f(x),g(x),h(x)均為當x→x0時的無窮小.

即f(x)≈h(x).

2 廣義導數(shù)

本節(jié)將經(jīng)典的導數(shù)概念進行推廣,定義廣義導數(shù),研究它的基本性質,建立它與經(jīng)典的高階導數(shù)之間的聯(lián)系,并通過等價無窮小的思想給出廣義導數(shù)的簡單計算方法.

從現(xiàn)在開始,總假定x0是函數(shù)f(x)定義域中的點,并且f(x)在x0點連續(xù).

定義5設n是正整數(shù),x0是函數(shù)f(x)定義域中的點.若極限

根據(jù)定義,當n=1時,廣義1-導數(shù)即為經(jīng)典的導數(shù),因此,廣義n-導數(shù)是經(jīng)典導數(shù)定義的推廣.

命題2假設存在正整數(shù)n,使得f(x)在x0點的廣義n-導數(shù)存在,則f(x)在x0點連續(xù)且可導.

從而

這說明f(x)在x0點連續(xù).

下面證明f(x)在x0點可導.當n=1時,顯然f′(x0)=A.當n>1時,

從而f(x)在x0可導.

命題3若f(x)在x0點的n階導數(shù)存在且連續(xù),且f(k)(x0)=0(1≤k

證由假設,可以連續(xù)使用洛必達法則,從而得到

例1設f(x)=xn,則

(i) 在x0=0點,f(x)的廣義m-導數(shù)為

證(i) 可由定義直接得到.

下面證明(ii).根據(jù)定義,有

命題4設f(x)與g(x)在x0點處存在廣義n-導數(shù),則

證(i) 根據(jù)定義與極限性質可知

從上面的命題可以看出,廣義n-導數(shù)與通常的n階導數(shù)具有密切的聯(lián)系,理論上可以通過高階導數(shù)來計算廣義n-導數(shù).但是,通常情況下,要計算n階導數(shù)是一件很困難的事情,特別是對復合函數(shù)計算高階導數(shù).下面利用等價無窮小的思想來給出廣義n-導數(shù)的一種簡單計算方法.

證由假設

解當x→0時,有等價無窮小f(x)～x2·sinx·arctanx～x4.因此,根據(jù)定理1和例1可以得到

3 導數(shù)指標

利用廣義導數(shù),本節(jié)引入導數(shù)指標的概念,證明導數(shù)指標是同階無窮小這一等價關系的完全不變量,即兩個無窮小函數(shù)是同階無窮小的充分必要條件是它們的導數(shù)指標相等.

證根據(jù)定義直接驗證即可.

一般地,關于導數(shù)指標,有如下等價刻畫,它在后續(xù)的研究中起到至關重要的作用.

命題5設函數(shù)f(x)是當x→x0時的無窮小,則DI(f,x0)=n當且僅當

f(x)=(x-x0)n·g(x),

再證充分性.由條件可知,對于任意的正整數(shù)m

當m=n時,

當m

故DI(f,x0)=n.

從命題5可以看出,若f(x)為實數(shù)域上的多項式,則它在x0點的導數(shù)指標恰好等于f(x)中一次因式x-x0的重數(shù).因此,導數(shù)指標可以看成是因式重數(shù)的推廣.

命題6設函數(shù)f(x)與g(x)在x0點的導數(shù)指標存在,則

DI(f·g,x0)=DI(f,x0)+DI(g,x0).

證設DI(f,x0)=m,DI(g,x0)=n.則由命題5知

f(x)=(x-x0)m·f1(x),g(x)=(x-x0)n·g1(x),

f(x)·g(x)=(x-x0)m+n·f1(x)·g1(x).

DI(f·g,x0)=m+n=DI(f,x0)+DI(g,x0).

下面的定理說明,導數(shù)指標是同階無窮小的完全不變量.

定理2設函數(shù)f(x)與g(x)是當x→x0時的無窮小,則f(x)與g(x)是同階無窮小當且僅當DI(f,x0)=DI(g,x0).

證設DI(f,x0)=m,DI(g,x0)=n.由命題5知

f(x)=(x-x0)m·f1(x),g(x)=(x-x0)n·g1(x),

由于等價無窮小是特殊的同階無窮小,顯然有如下推論.

推論1設f(x)與g(x)都是當x→x0時的等價無窮小,則DI(f,x0)=DI(g,x0).

下面的命題揭示了導數(shù)指標與高階導數(shù)之間的關系.

命題7設f(x)在x0點具有n階連續(xù)導數(shù),則DI(f,x0)=n當且僅當f(k)(x0)=0 (1≤k

證先證必要性.設DI(f,x0)=n,則由命題5

f(x)=(x-x0)n·g(x),

當1≤k

再證充分性.對于任意的1≤k≤n,通過連續(xù)利用洛必達求導法則可得

4 導數(shù)指標在極值問題中的應用

導數(shù)在函數(shù)極值中具有重要的應用.利用導數(shù)判斷函數(shù)極值的主要方法包括第一充分性定理與第二充分性定理,但是兩個充分性定理的應用具有較大的局限性.第一充分性定理需要判定函數(shù)在某一個點的局部導數(shù)值的符號,而第二充分性定理僅適用于在一階導數(shù)為0,但是二階導數(shù)非0的情形.對于更一般的情形,目前仍然沒有行之有效的方法.本節(jié)將通過導數(shù)指標給出判斷函數(shù)在某一點取極值的一個充分必要條件.

注意到上述兩個充分性定理判別法都只需要考慮導函數(shù)在某一點局部取值的符號,而不需要精確求出導數(shù)值.因此,通過等價無窮小的方法,將復雜函數(shù)轉化為簡單函數(shù)(如冪函數(shù)),通過廣義導數(shù)的符號來給出極大值與極小值的判定方法.

證考慮f(x)在x0點帶有佩亞諾余項的泰勒公式

根據(jù)假設,f(x)在x0點的導數(shù)指標DI(f,x0)=n,所以由命題3可知,

并且

下面根據(jù)n的奇偶性展開討論.

(i) 若n為奇數(shù),則當x0-δ

例4設f(x)=(x-1)x2(x+1),則由命題5可知,DI(f,±1)=1,DI(f,0)=2.因此,根據(jù)定理3,x=±1不是f(x)的極值點,而x=0是f(x)的極值點.

最后,通過一個例子說明,當?shù)谝怀浞中远ɡ砼c第二充分性定理的條件都不滿足時,導數(shù)指標判定方法(定理3)仍然可以適用.

例5判斷f(x)=ex2·sinx·arctanx-1在x=0處是否取極值?

解當x→0 時,有如下等價無窮小關系:

f(x)～x2·sinx·arctanx～x4.

記g(x)=x4.根據(jù)推論1與例3,有DI(f,0)=DI(g,0)=4.因此,由定理3知,x=0是f(x)的極值點.

注 (i) 根據(jù)第一充分性定理,無法判斷例3中函數(shù)是否取極值.

事實上,令h(x)=x2·sinx·arctanx,則

易知h(0)=0.但是當x<0時,無法判斷g′(x)的符號.由于f′(x)=eh(x)·h′(x)與h′(x)在任意一點處具有相同符號.故無法根據(jù)第一充分性定理判斷x=0是否為f(x)的極值點.

(ii) 根據(jù)第二充分性定理,也無法判斷例3中函數(shù)是否取極值.

事實上,根據(jù)Leibnitz求導法則可知,h″(x)的每一項至少含有因式x,sinx或者arctanx,因此容易得到h″(0)=0.由于

f″(x)=eh(x)·h″(x)+eh(x)·(h′(x))2,

從而由h′(0)=0=h″(0)可知,f″(0)=0.故第二充分性定理也無法確定x=0是否為f(x)的極值點.

5 結 論

首先將經(jīng)典的導數(shù)概念進行推廣,定義了廣義導數(shù),并利用等價無窮小給出廣義導數(shù)的簡單計算方法.其次,引入了導數(shù)指標的概念,證明了兩個函數(shù)在某一點處是同階無窮小當且僅當它們在該點處導數(shù)指標相等.特別地,等價無窮小具有相同的導數(shù)指標.最后,得出函數(shù)在某一點處取極值當且僅當導數(shù)指標為偶數(shù)的結論,并且可以根據(jù)廣義導數(shù)的符號來判定極大值與極小值.因此,通過廣義導數(shù)與導數(shù)指標,可以有效解決函數(shù)極值問題.進一步,通過例子說明,當?shù)谝怀浞中远ɡ砼c第二充分性定理的條件都不滿足的情況下,導數(shù)指標判斷方法依然有效.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.