基于切向量的兩類曲線積分的關(guān)系

吳淑君, 于 娟

(中國石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院,山東 青島 266580)

0 引 言

第二類曲線積分是多元函數(shù)積分學(xué)中的重要內(nèi)容[1-2],很多文獻(xiàn)已經(jīng)從理論、教法等方面討論了該積分的計算[3-5].其中,兩類曲線積分之間的關(guān)系是一個重要的公式:

(1)

其中cosα,cosβ是“有向曲線弧的切向量”的方向余弦.

在文獻(xiàn)[1]中,“有向曲線弧的切向量”定義為 “指向與有向曲線弧的方向一致的切向量”.這個定義是在文獻(xiàn)[1]中8.6這一節(jié),利用向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合幾何直觀給出的.文獻(xiàn)[6]曾指出文獻(xiàn)[1]中的缺陷,并加以改進(jìn)(1).文獻(xiàn)[7]以弧長作為參數(shù),用極限的方法嚴(yán)格證明了在文獻(xiàn)[2]中提出的 “有向曲線弧的切向量”的表達(dá)式,并推導(dǎo)出(1).

在教學(xué)中注意到,如果按照文獻(xiàn)[1]的授課順序,學(xué)生會對突然插入的向量值函數(shù)感覺很突兀,不容易理解向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也不能全面深刻地掌握切向量和曲線方向以及參數(shù)變化之間關(guān)系.受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā),不再引入向量值函數(shù),而是用一般的參數(shù),借助極限的基本方法求出切向量.具體來說,利用切線是割線的極限位置這個學(xué)生熟悉的知識點,證明切向量的表達(dá)式,該過程可以直觀地展示出切向量和曲線方向以及參數(shù)變化的關(guān)系.

1 提出問題

假設(shè)平面曲線L的兩個端點分別記為A和B,曲線的參數(shù)方程是

端點A和B對應(yīng)的參數(shù)分別是t1和t2.M(x,y)是L上的一個點,對應(yīng)參數(shù)為t.函數(shù)x(t),y(t)在以t1和t2為端點的區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且(x′(t))2+(y′(t))2≠0.曲線的方向是從A到B.下面針對不同的情況,先用極限計算出M處的切向量,進(jìn)而推出兩類曲線積分之間的關(guān)系.

2 解決問題

根據(jù)兩個端點參數(shù)的大小關(guān)系,分為兩種情況討論,即t1>t2和t1

為了求切向量,在下面的討論中,將切向量的極限轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間的距離問題,避免了向量值函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù).

2.1 當(dāng)t1>t2時,曲線的正向和參數(shù)減少的方向一致

2.1.1 按照參數(shù)的增大的方向求切向量

圖1 反向

進(jìn)一步地,當(dāng)T的方向角分別為α,β時,有

(2)

按照第二類曲線積分的計算公式,有

(3)

當(dāng)t1>t2時,根據(jù)第一類曲線分的計算公式與(2),

所以

(4)

2.1.2 按照參數(shù)減小的方向求切向量

(5)

圖2 同向

當(dāng)t1>t2時,根據(jù)第一類曲線分的計算公式與(5),

由(3),得到

即公式(1)成立.

2.2 當(dāng)t1

2.2.1 按照參數(shù)增大的方向求切向量

如圖2所示,按照參數(shù)增大的方向,即曲線L的正向,在M點右側(cè)且在曲線上任取一點N(x+Δx,y+Δy),對應(yīng)的參數(shù)仍記為t+Δt,此時Δt>0.按照上述完全相同的討論,可以得到切向量是T=(x′(t),y′(t)).注意,此時切向量T指向參數(shù)增大的方向,并且與曲線的正向一致.并且,切向量的方向余弦用(2)式來表示.

當(dāng)t1

由(3),得到

即(1)式成立.

2.2.2 按照參數(shù)減小的方向求切向量

如圖1所示,按照參數(shù)減小的方向,即曲線L的反向,M左側(cè)且在L上的一點N(x+Δx,y+Δy),N對應(yīng)的參數(shù)是t+Δt,此時Δt<0.可以求得切向量是T=(-x′(t),-y′(t)).注意,此時切向量T指向參數(shù)減小的方向,并且與曲線的反向一致.此時,切向量的方向余弦用(5)式來表示.

當(dāng)t1

由(3),得到

即公式(4)成立.

3 應(yīng) 用

解曲線L∶y=x2,x∶1→0.符合情況2.1,并且

(6)

如果按照2.1.1,有

(7)

(8)

所以

也驗證了(4)式成立.

如果按照2.1.2,有

(9)

利用(6)式、(8)式和(9)式,有

也驗證了(1)式成立.

解曲線L∶y=x2,x∶0→1,符合情況2.2,并且

(10)

如果按照2.2.1,則(7)式成立,再聯(lián)合(10)式,有

說明(1)式成立.

如果按照2.2.2,則(9)成立.聯(lián)合(8)式和(10)式,有

驗證了(4)式成立.

4 結(jié) 論

綜上,利用極限嚴(yán)格證明了,無論給定的曲線方向如何,只要按照參數(shù)增大方向選取切向量,方向余弦都可以用(2)式來表示.反之,切向量的方向余弦都用(5)式來表示.進(jìn)一步地,如果曲線的方向是根據(jù)參數(shù)的遞減來確定的,即情況2.1,兩類曲線積分之間的關(guān)系在不同的切向量的取法下相差一個負(fù)號;同理,如果曲線的方向是根據(jù)參數(shù)的遞增來確定的,即情況2.2,兩類曲線積分之間的關(guān)系在不同的切向量的取法下也相差一個負(fù)號.這說明了,討論兩類曲線積分之間的關(guān)系時,可以借助參數(shù)的變化來確定切向量,進(jìn)而得到了兩種關(guān)系式,即(1)和(4).但實際上,兩種關(guān)系式的本質(zhì)是一樣的,所以很多教材直接統(tǒng)一為(1)式.在最后的兩個例子里,也說明了雖然相差一個負(fù)號,但是對于具體的問題來說,只要給定了曲線的方向,兩類曲線積分之間的關(guān)系是唯一確定的.本文展開為四種具體情況來討論,并利用實例驗證了結(jié)論,能幫助學(xué)生更好地理解切向量、參數(shù)、曲線方向之間的關(guān)系,準(zhǔn)確把握第二類曲線積分的方向性和兩類曲線積分之間的關(guān)系.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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