分離變量法求解一些非線性發(fā)展方程的顯式解

王凡凡, 江志松

(華東理工大學 數(shù)學學院,上海 200237)

0 引 言

數(shù)學物理方程[1]是大學數(shù)學中重要的學習內(nèi)容,關于線性偏微分方程的求解吸引了一些大學數(shù)學工作者的關注和研究[2-3].在求解線性偏微分方程的方法中,分離變量法是最有效的一個方法.文獻[4]用分離變量法研究了無界域內(nèi)線性拉普拉斯方程的解.然而,由于方程的非線性,在試圖將分離變量法推廣到求解非線性偏微分方程時往往會遇到極大困難.

本文的目的是將分離變量法應用于求解一些非線性發(fā)展方程,并討論求解過程中用到的技巧和方法.基于對非線性發(fā)展方程結(jié)構(gòu)的觀察,利用分離變量法成功得到了Harry-Dym方程,Hunter-Saxton方程,非線性擴散方程,半經(jīng)典極限KdV方程等若干非線性發(fā)展方程的新的顯式解析解.

方便起見,在本文中,如果無特別聲明,ci(i=1,2,3,…)均表示常數(shù).

1 Harry-Dym方程

Harry-Dym方程具有如下形式[5]

(1)

(2)

從而,有

與

(3)

分別給出方程(2)和(1)的解.從方程(3)可知,當c1與c2互為相反數(shù)時,ut在有限的時間內(nèi)會出現(xiàn)爆破現(xiàn)象.在文獻[5]中,Wadati得到的尖角解也具有這樣的性質(zhì),即一階導數(shù)為無窮.

2 廣義的Harry-Dym方程

考慮如下廣義的Harry-Dym方程[6]

(4)

方便起見,考慮

(5)

方程(5)具有參數(shù)形式的解

(6)

Zv=α1Uv+α2Vv,Mv=β1Uv+β2Vv,Fv=τZ′v+vZv,Gv=τM′v+vMv,

N=ZvMv,N1=ZvGv+MvFv.

3 Hunter-Saxton方程

Hunter-Saxton方程

utxx+2uxuxx+uuxxx=0.

(7)

描述向列型液晶中波的傳播[7].假設u(x,t)=X(x)T(t)并代入(7),可得

(8)

(9)

(i) 若c3=0,有

(10)

即有如下方程

當取符號為負時,類似得到

4 Cao-Geng提出的可積方程[8]

(11)

假設u(x,t)=T(t)X(x)并代入方程(11),有

(12)

(13)

(14)

(15)

注意到方程(15)的第二個方程通過換元τ→-τ可以變成第一個方程.而(15)關于P1的第一個方程是第二類Painlevé方程中常數(shù)為零時的標準形式.這個方程的解是τ的單值函數(shù),在動極點τp附近可以用如下級數(shù)表示

其中m=±1,τp和C是任意常數(shù),bn(n≥6)由τp和C唯一確定.從方程(14)可以給出方程(12)中第二個方程參數(shù)形式的解

5 非線性擴散方程

非線性擴散方程

ut+(u-2ux)x=0

(16)

在等離子、固態(tài)物理等其他領域如冶金學、聚合物科學都有重要的應用.現(xiàn)尋求其分離變量形式的解,將u(x,t)=T(t)X(x)代入方程(16),有TtT=c1,XXxx=c1.求得

容易發(fā)現(xiàn)當常數(shù)c1與c2互為相反數(shù)時,ut(x,t)在有限時間范圍內(nèi)出現(xiàn)爆破現(xiàn)象.

6 半經(jīng)典極限KdV方程[9]

(17)

將u(x,t)=T(t)X(x)代入方程(17),可以得到分離變量形式的解

半經(jīng)典極限KdV方程有兩個重要的特殊形式:

7 結(jié) 論

本文討論了分離變量法在求解非線性發(fā)展方程中的幾個例子,用該經(jīng)典的方法求解了Harry-Dym方程,Hunter-Saxton方程,非線性擴散方程,半經(jīng)典極限KdV方程等方程的新的顯式解析解,介紹了求解過程中用到的技巧和方法.本文研究說明,通過對非線性發(fā)展方程結(jié)構(gòu)的觀察,利用一些技巧,可以利用分離變量法求解一些非線性發(fā)展方程.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.