師范院校本科抽象代數課程的創(chuàng)新與實踐

樊 惲, 劉宏偉, 周遠揚

(華中師范大學 數學與統計學學院,武漢 430079)

0 引 言

抽象代數,又名近世代數,是綜合院校、師范院校數學系的專業(yè)基礎課程,也是電子類、信息類、量子類等專業(yè)的選修課程.較多的院校使用的是近世代數這個名稱;下文中則都稱抽象代數,不再予以說明.

抽象代數的主要思想來源至少有三個方面,這三個方面都是十九世紀數學的重大進展.

十九世紀初伽羅瓦(Galois)對一元多項式方程的根式求解的研究,直至后來群論、域論逐步成形;從線性函數和線性方程組開始的線性代數的形成和發(fā)展,直至后來的群與代數的線性表示;費爾瑪大定理的研究過程中形成的代數思想(費爾瑪大定理的研究的一部分發(fā)展為代數數論,其中的代數思想是抽象代數的重要來源).

上述三個方面都有深厚的思想歷程,與現代數學的很多重要發(fā)展息息相關.這些進程表明,從十九世紀初就開始了抽象代數課程的孕育.然而抽象代數目前的這種思想框架和理論框架是直至十九世紀末才形成,當時的德國哥廷根學派對框架的形成起了關鍵作用.二十世紀二十年代末哥廷根學派的范德瓦爾登把這些理論寫成了書.該書在1930年第一版時書名為《近世代數學》(Modern Algebra),以示有別于直至十八世紀代數主要以研究多項式運算和代數方程求解的狀況.該書展示了代數的全新面貌,在當時引起強烈震撼,推動了抽象代數的傳播.可以說,范德瓦爾登的書的出版是抽象代數作為一個數學分支被廣泛接受的里程碑事件之一.盡管抽象代數后來的發(fā)展十分迅猛,作為現代數學的一個重要分支的代數學的一些基本面貌在這部書中已經被勾畫出來,作為現在抽象代數課程的基本內容的群、環(huán)、域、模等代數系統在那里也已經成形.該書再版了多次.在1955年第四版時,范德瓦爾登把書名改為《代數學》(Algebra),并在前言中說明了為什么在“代數學”前冠以“近世”(“Modern”)不再合適.請參看文獻[1-2],特別是其中段學復先生寫的該書的中譯本序言.

這全新的代數學在數學中具有基本重要性,在二十世紀它逐步成為大學數學專業(yè)的專業(yè)基礎課程.如同范德瓦爾登的名著的書名的經歷一樣,這個課程在開始時一般被命名為“近世代數”,以示有別于中等教育中的“代數”課程(中學代數課程反映的確實是十九世紀以前的內容).但是,作為大學本科課程,這個課程的基本內容其實并不“近世”.替代名稱有兩個.一個是如同范德瓦爾登的名著的書名,把這個課程仍命名為“代數”.另一個,從上述的代數思想淵源就可看出,這個課程的內容比十八世紀及以前的代數確實更抽象,它與本科其他課程內容相比也顯得更抽象,所以將之命名為“抽象代數”.

二十世紀中葉以來,抽象代數在物理、化學以及在信息類各學科等領域得到廣泛應用,因此抽象代數被列為很多專業(yè)的選修課程.

目前已有很多抽象代數課程的相關教學研究,現有研究大部分集中在重點綜合性大學、地方師范大學和少數工科院校抽象代數的教學研究,且研究主要從單個側面、單個知識點出發(fā)來探討如何在課堂中展開教學及提升學生的數學素質等.如文獻[3]討論了在重點綜合性大學數學系通過本課程如何培養(yǎng)學生的數學能力和數學素質,文獻[4]介紹了本課程教學參考書的改革情況等.筆者學校數學學科是培養(yǎng)未來中學數學卓越教師的重要支撐,現有文獻中關于在和筆者學校同層次的師范大學中開展抽象代數的教學研究的工作并不多.本文作者長期從事師范院校數學系抽象代數及代數相關課程的教學和教學研究,掌握了師范院校本科抽象代數課程的若干特點,在本課程的教學中體會到,學生在大學期間掌握中學數學普遍關心,但在中學數學無法一般性地予以解決的重要問題,從而幫助他們在高觀點下認識到本門課程與中學數學的天然聯系具有重要的意義.本文主要從整體上來介紹我們在課程體系、教材建設和課程資源及課程教學等方面所做的嘗試和一些創(chuàng)新性做法,形成以抽象代數課程為核心,以大學數學代數系列課程為整體的課程體系,從而達到培養(yǎng)學生的代數結構化思維能力和從高觀點下審視中學數學內容的目的.

1 抽象代數與中學數學及筆者學校教學現狀

1.1 抽象代數與中學數學的聯系

十九世紀發(fā)展起來的代數,根源于十九世紀以前的代數和其他數學,而中學數學內容基本上是十九世紀以前的數學內容,因此大學本科抽象代數內容與中學數學有很自然的密切聯系.從這個意義上來說,抽象代數課程對師范院校數學專業(yè)應該特別具有親和力,它包含了中學數學關心的內容,但無法一 般性地予以解決的許多課題和問題.

(i) 數系發(fā)展.數系發(fā)展是中小學數學的主線索之一,從自然數到整數,從整數到有理數(分數),從有理數到實數(無理數),從實數到復數(虛數).不過,這些發(fā)展在中小學數學中多少是從感性直觀的角度予以描述.然而在一個適當安排的本科抽象代數課程中,這整個發(fā)展過程幾乎都可以從數學理性的角度予以闡述.而且從歷史來說,數系發(fā)展的終點其實是四元數系和弗洛賓紐斯定理,盡管它在后續(xù)數學中地位不很重要,作為數學師范生仍有了解的必要,而在本科抽象代數課程中是有可能予以表述的.應該說,上面的陳述中,實數理論是一個例外,因為它也是數學分析課程的重要內容,所以目前的很多抽象代數課程教材中并沒有談到它.

(ii) 多項式與分式運算.這無疑是中學代數課程的基本內容之一,然而在中學數學中哪怕一些最基本的東西也無法解決.例如:

介紹因式分解但無法講述因式分解定理、不可約多項式的概念和判定等;

介紹分母有理化但只談二次根式分母有理化,無法講述一般根式分母有理化;

介紹對稱多項式,偶爾涉及到對稱多項式基本定理,但無法介紹清楚.

(iii) 代數方程求解.這無疑是中學代數課程的主要內容之一.但在中學數學中,只有一元二次方程的問題是完全介紹清楚了的;其他的很多問題,偶爾涉及但只能是一般介紹而已.例如:

線性方程組問題,直到大學線性代數課程才解決好;如引言中提到的,抽象代數與線性代數密切相關.

一元多項式的根的一系列性質,如:根與系數的關系(中學數學只講了二次的情形)、余式定理等.

代數基本定理,當然具有基本重要性,因為它確立了一元多項式的根的存在性.中學數學只是承認它應用它,但無法證明.在一個適當安排的本科抽象代數課程中可予以邏輯證明.

一元多項式方程求解,問題屬于抽象代數課程范疇,不過在大學本科抽象代數課程中也無法解決,因為本科抽象代數的基本學時,無法安排伽羅瓦理論.

(iv) 平面幾何作圖.這是平面幾何(歐氏幾何)的基本內容之一,也可以說是比較能培養(yǎng)學生創(chuàng)新性思維的內容之一.中學數學教師甚至一些學生多少知道三大幾何作圖難題,但中學數學無法解決它們,以致有極少數中學數學教師甚至不知道它們是一般不可作的.如同上面提到的代數基本定理,在一個適當安排的本科抽象代數課程中可徹底解決直尺圓規(guī)作圖的可作性判別和實施問題.

整數帶余除法、剩余類等問題,既可作為群、環(huán)的基本例子,也是抽象代數思想的重要來源啟示;反過來若干經典數論問題可由抽象代數知識給出簡單解答,如費爾瑪小定理、歐拉函數的性質等.

算術基本定理.從這個命名就知道它是初等數論的基礎定理,它所論述的東西常常出現在中小學數學資料中;這些資料通過上述的各種渠道進入老師和學生視野,但這些東西基本上是以默認的形式出現.在本科抽象代數課程中,算術基本定理則是因式分解定理的特例.

中國剩余定理.最初的中國剩余定理是數論形式的,但最一般的中國剩余定理則是代數形式的,并且可能安排在本科抽象代數課程之中.

1.2 抽象代數教學狀況

本文作者長期承擔本科抽象代數教學,采用過的教學參考書有張禾瑞先生編寫的《近世代數基礎》、劉紹學先生的《近世代數基礎》和本校自編的教學參考書《抽象代數》等,一般按照教學參考書章節(jié)順序講授.張禾瑞先生編寫的《近世代數基礎》(見文獻[5-6])有很多優(yōu)點,選材比較經典,邏輯性強,使用起來比較容易上手.多年實踐下來,發(fā)現一個學期的課時講授不完抽象代數課程教學大綱規(guī)定的基本內容(盡管那本書很薄),一般只能介紹域論的概念、例子、次數公式.劉紹學先生的《近世代數基礎》(見文獻[7])內容上比張禾瑞先生的《近世代數基礎》多一些,編排和講述風格上則靈活多樣一些,闡述了一些思想上的來龍去脈.正因為內容更多了,所以一個學期依舊講不完教學大綱規(guī)定的內容.為了解決講不完的問題,樊惲和劉宏偉根據師范院校的特點,自編了教學參考書《抽象代數》.當初采用該教學參考書時,抽象代數教學計劃課時數是72學時,可以講授完代數基本定理.后來抽象代數課時數縮減到64學時,考慮到師范院校本課程與中學數學的天然聯系,課程教學大綱的主要內容并沒有減少,此時就只能講授到單擴張.然而,如何安排好課堂內容講授和習題課還是頗費思量,講授完預定教學內容顯得很匆忙.

從學生的層面看,他們普遍覺得抽象代數太抽象,不知道它說的是什么東西.數學系本科學生學習了一學期的抽象代數,通過了期末考試,然而經過一個假期再回到學校時,對抽象代數課程的印象基本上就只剩下群、環(huán)、域幾個名詞了.另一個可以反映本科生抽象代數學習狀況的側面是數學系入學碩士研究生的有關知識結構.現在各個學校數學碩士研究生的培養(yǎng)方案一般也把抽象代數設為公共基礎課(這同樣說明了抽象代數在數學中的基礎作用).作者們也多次承擔過數學研究生的這個公共基礎課程,使用的是自編的講義.作者感受到的基本狀況是,由于數學專業(yè)研究生入學考試的統考科目中不再包含抽象代數,大多數學生在本科學完抽象代數后基本不再投入時間和精力鞏固該課程的學習,導致入學研究生中相當一部分同學關于抽象代數的知識仍接近于零,也就是除了幾個名詞(群、環(huán)、域、同態(tài)等)外實質內容幾乎忘光;這使得碩士階段的抽象代數的學習也不得不從復習群、環(huán)、域等概念開始.作者們在華中師范大學講授這門碩士研究生公共基礎課時,最后達到的內容比近年來華中師范大學數學系本科抽象代數內容多約三分之一.作者們招收的專攻代數的碩士研究生入學時關于抽象代數的知識狀況也好不了多少,抽象代數方面的知識和素養(yǎng)幾乎還是得從頭開始培養(yǎng).

2 抽象代數課程特點及課程材料選取

為什么大多數綜合性和師范院校本科抽象代數課程的基本教學內容一個學期很難上完?雖然抽象代數與十九世紀以前的代數以及與數學其他領域有廣泛的深刻的聯系,從而與中學數學應該有天然的親和力,但是為什么一般學生很難感受到這種親和力和很難對課程形成印象?作者們思考了產生這兩個現象的原因,認為原因主要是兩個方面.一方面是抽象代數具有背景深厚、風格全新的特點,另一方面則涉及課程設置和內容選取.

2.1 抽象代數課程特點

如前所述,抽象代數的原始背景是研究十九世紀以前的代數以及數學其他領域的重大問題,如一元多項式方程的根式解問題、線性方程組問題、費爾瑪大定理等等,但是這些真正的背景卻不可能對初學者講清楚.盡管二年級本科生已在線性代數課程中學過了線性方程組問題,但是在抽象代數中,在以線性代數為背景的內容來臨之前,要走過很長一段路,以致這段路還沒走完一學期已經結束了.換言之,抽象代數的真正的“來龍”無法在“入門”的教材中作為啟蒙思想.對若干精彩的“來龍”,頂多只能作為歷史標簽予以故事性的簡單注釋.這與數學分析的情況不一樣,微分、積分本來就是從研究速度、加速度、路程、幾何體體積等等問題萌芽的,而這些背景材料完全是微積分的初學者可以理解的.

關于抽象代數的“去脈”.它是現代數學的基本工具,在數學中的應用很多,但這些是后續(xù)課程內容(而且是一段時間以后的后續(xù)課程),不可能成為抽象代數“入門”教材的內容.抽象代數在其他科學技術中有著廣泛應用,如可應用于量子物理、化學、現代信息類等各種科學技術中,其中能為二年級大學生所接受的大概要數密碼、編碼了.確實有一些抽象代數教材在這方面做出了寶貴的努力.但實際情況是,在一個64課時的“入門”性質的抽象代數課程中,把對密碼或編碼的應用作為實際教學內容幾乎不可能.

因為抽象代數真正的深厚背景不可能對初學者講清楚,初學者容易覺得它來無影去無蹤.純形式定義和純邏輯推演難以給初學者留下印象.

抽象代數從十九世紀初開始經過了長時期的孕育,至十九世紀末才形成了思想框架和理論框架.與十九世紀以前的數學相比,它形成的數學觀念是全新的,它的思想方法有脫胎換骨的變化.例如,當時的大數學家柯西在初讀伽羅瓦的手稿時,尚且頗費周折地理解伽羅瓦解決一元多項式方程根式解問題的思路,就是因為伽羅瓦的想法是一種全新的思想.然而這種全新的思想徹底解決了一元多項式方程根式解的問題.這樣一個在近代經過長時期孕育誕生的、有脫胎換骨全新風格的東西,一般學生在初接觸它時與原來學的數學相比甚至有面目全非的感覺,要在課程大綱規(guī)定的基本學時中理解它,確實有一定難度.

抽象代數的后續(xù)課程太少.從學習的規(guī)律來說,如同孔子說的,學而時習之,不亦說乎.對一個全新的東西,要熟悉它和理解它需要有一個學而時習之的過程,需要反復認識.在一般師范院校,學生二年級學了一個學期的抽象代數以后,基本上就沒有相關的后續(xù)代數課程了.學生在一學期中剛經受了一些全新的抽象概念的傾盆式的灌輸,以后就基本沒機會再接觸再認識了,所以難于形成映像.

2.2 課程材料選取問題

關于本科抽象代數課程的內容,現在幾乎有了共識.簡言之,群、環(huán)、域等代數系統的概念與基本知識.張禾瑞先生的《近世代數基礎》、劉紹學先生的《近世代數基礎》都是如此.有的教學參考書還放上了一點模論基礎,也有的加上了一點點范疇論,等等.

稍微細言之,就有差別了.基本知識包括哪些?這是一個仁者見仁,智者見智的問題.比如群論,概況如下.

首先,從建立概念(群、子群、元素的階、陪集、正規(guī)子群、商群、同態(tài)等)到同態(tài)基本定理,這些應該是最低底線,否則其他內容,不僅是群的其它內容,更包括后面的環(huán)、域等代數系統,都沒法談.

但是,如果純粹從邏輯語言來講述上面說的最低底線一套東西,那就真是空對空,讓初學者丈二和尚摸不著頭腦.所以介紹一點循環(huán)群,介紹一點置換群.不過伽羅瓦考慮的多項式的伽羅瓦群(這是后人的命名)卻是沒法介紹的,盡管它是群論的真正的萌芽形態(tài).

那么緊跟著的問題是,循環(huán)群介紹多少?置換群介紹多少?再接著,群作用要不要介紹?西洛定理要不要介紹?生成與定義關系要不要敘述?等等.這些對于群論來說也都是基礎,比如:西洛定理是有限群的最基本出發(fā)點;群作用是群這個概念從伽羅瓦開始直至后來各種廣泛應用的基本存在形態(tài); 生成與定義關系是群的簡化表達形式;等等.而且,與伽羅瓦群不一樣,這些材料是可以放在這里講授的.于是,課程教學中這些材料就很難忍痛割愛.

這樣一來,群論這一部分選材的差別就可以很大了.結果,有的本科抽象代數課把群論部分講授下來一學期時間也就耗得差不多了.

另一個問題是背景材料的選取問題,就是群的來龍去脈,與其他數學特別是學生已熟悉的知識的聯系、群的應用等材料的選取問題.如前所述,群論的背景是很深厚的,是在研究解決十九世紀以前的數學中的大問題中形成的;但是這些大背景,如伽羅瓦群,具有相當的深度和廣度,以致無法在這個“入門”課程中講解.如果課程中沒有把群論與學生熟悉的東西相聯系的實質性的背景材料,學生會覺得群這些東西是憑空冒出來的形式的概念,就會難以接受,難以形成映像.僅僅舉出“整數在加法下構成群”這樣的例子是不能成為背景材料的,因為這不是實質性的背景材料,只是名詞而已,學生從中看不到群這個東西能解決什么問題.這是一個具有挑戰(zhàn)性的局面:一般學生很難接受沒有實質性背景材料的抽象概念,然而群論真正的大背景又無法在這課程中提供.因此是否選取以及如何選取這類材料就是很值得深思熟慮的問題.

環(huán)與域都是類似的情況,這里不再詳述.總的說就是兩點:一是除了最低底線的材料以外,基本知識的選材的差別可以很大,結果是選擇材料時基礎知識材料很難忍痛割愛,課程教學內容在一學期課時內講授不完; 二是是否選取以及如何選取能對學生具有親和力的實質性的背景材料.

3 抽象代數教學實踐

關于本科抽象代數課程,前面提出了一些問題,談到了作者們的一些教學經歷與體驗.到底如何做,即如何選取材料如何教學,這更是仁者見仁,智者見智的事情.作者在學校對教材建設、課程安排、教學實踐、教學資源等方面進行了一系列的嘗試.

3.1 教材建設方面的有益嘗試

這里以筆者學校入選普通高等教育“十一五國家級規(guī)劃教材”[8]的一些想法為主,介紹做法,與同仁交流.

文獻[8]作為普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,是以師范院校數學系為主稍微兼顧其他的一個教材,它是在近年華中師范大學數學與應用數學及相關專業(yè)抽象代數課程的基礎上完成的.按前面談到的思考,在華中師范大學進行的這個課程改革主要是希望做到:設計的課程內容按照大多數學校的教學日歷,即一個學期72課時(18周,一周4學時)內完成,且達到大多數學校教學大綱規(guī)定的本門課程基本的教學內容,能給對代數及其相關應用感興趣的學生學習后續(xù)代數系列課程,如群論、伽羅瓦理論、代數編碼及交換代數等課程建立一些最基本的代數概念和代數思維框架.同時,考慮到筆者學校是師范院校,有很大一部分學生畢業(yè)后將到中小學從事數學教學及相關工作,因此,希望通過本門課程,讓今后從事中小學數學教育的學生建立該課程與中小學數學的教學內容的內在聯系,從而指導學生在抽象代數高觀點下展開中學數學的教學.

為此,按上節(jié)的分析,首先,最低底線的基礎內容是不可或缺的.然后,需要適當選取背景材料.所謂適當選取,應該是:對學生有親和力;對內容有支撐力.當然還要有可行性,即在基礎內容之上進一步的知識要求不多.顯然,由于課時制約,這類材料不可能多選.具體操作時,教材選擇了一些認為對師范學生應該有親和力的材料.

如上節(jié)所述,這種設計勢必把一些通常被認為是很基本的,而且可以在大學本科傳授的知識排除在教學內容以外了.作為補償,教材把若干這類知識編排為選讀選講材料,供學有余力和對代數感興趣的學生利用課余時間自學參考.這樣,文獻[8]由教學內容和選讀選講兩部分構成,后一部分約占全書的三分之一.因而該教材除可操作性外也具有一定可塑性.

選讀選講材料大部分是教學內容的補充.小部分則用于介紹模論,因為它現在被廣泛認為是代數的基礎知識;除了一些必需的基本概念,從對學生有親和力的希望出發(fā),作者選取了與線性代數密切相關的若干模論知識.

現在把教學內容選材情況稍加展開,涉及的專業(yè)名詞就會稍微多些.教學內容分為四章:集合、群、環(huán)、域.

集合這一章較短,包含集合概念、關系、映射三節(jié)內容,可以說是數學的公共基礎,不需要過多說明了.這一章中的第三節(jié)給出了映射基本定理,這個基本定理是后面學習群、環(huán)、模的同態(tài)基本定理的共同基礎.

關于群.除了上節(jié)說到的最低底線部分外,教材選取了循環(huán)群、置換的對換分解定理兩個內容.循環(huán)群一節(jié)在給出結構定理后主要介紹了與初等數論的一些聯系和相互作用,既用群論知識證明了數論歐拉函數的重要性質,反過來又用歐拉函數性質證明了循環(huán)群的一個判別定理.這是屬于中學數學關心的問題,見上節(jié).置換的對換分解定理對學生來說是相對具體的較易接受的內容,一方面通過它利用同態(tài)基本定理導出交錯群的定義;另一方面,置換的對換分解定理實際上是學生已經熟悉的行列式的本質定義方式,正因為如此,教材中沒有引用行列式的性質來證明該定理,而是采用了文獻[1]的第二章第二節(jié)中的原始證明.

關于環(huán).作為底線的基本內容:環(huán)、理想、商環(huán)、同態(tài)和同態(tài)基本定理、整環(huán)、域、主理想整環(huán)、歐氏環(huán)等概念以及分式域、多項式環(huán)等基本構造.因式分解理論僅介紹了基本概念復習了域上多項式環(huán)是因式分解環(huán),忍痛舍棄了因式分解環(huán)的充要條件和因式分解環(huán)上的多項式環(huán)仍是因式分解環(huán)兩個基本定理(作為了選讀選講材料).作為能與學生熟悉的內容相接軌的材料,選取了中國剩余定理、對稱多項式基本定理.如同上上節(jié)所表述的,它們是中學數學關心但無法解決的課題,應該對師范學生具有親和力.

關于域.作為底線的基本內容:域擴張的概念、次數公式、擴張的生成、代數元與超越元、代數單擴張結構.作為本質性的背景材料則選取了直尺圓規(guī)作圖問題、代數基本定理,還穿插介紹了一般的分母有理化方法.這些無疑是中學數學關心但無法解決的課題.

另外還有一個背景材料:整數剩余類問題,這是師范學生應該清楚的問題.作者把有關材料分布在第1,2,3章各處,既作為底線基礎內容的支撐也作為新概念新方法的啟蒙.

最后簡單說一下教材[8]的編排形式.希望它是一個操作性較強的教材.這有兩層含義.一層含義是上面已談了的選編的教學內容確實能在一學期72課時內講授完.還有另一層含義是,編排處理方式盡量方便教師的教學活動和學生的閱讀.因此,對于教學部分的章節(jié)劃分,作者盡可能安排為一節(jié)內容正好供一次課(2學時)講授.當然少數地方仍不盡人意,有的一節(jié)內容在一次課內完成不了.每節(jié)內容的講述,則是按內容的邏輯次序展開;語言形式則以清晰的邏輯陳述為主,描述性的、引導性的敘述為輔.每節(jié)內容之后附有內容關鍵詞以供學生自己復習小結.

3.2 課程教學實踐

經過十余年來在華中師范大學數學與應用數學及其他相關專業(yè)的實踐,這樣一個教學內容設計可在72課時內完成.這里說的72課時,包括隨堂習題課、期中測驗等.不過,一個學期72學時只是按每周4課時,共18周計算的.實際上每學期課時長短不一,稍有出入,節(jié)假日及其他活動還會減掉幾課時.因此這個教學內容設計在一般師范院校的較短學期會略顯緊張,在這種情況下可考慮略去一兩個背景材料即可.對學生入學層次較高的數學系,在此內容之上還可補充一些選讀選講材料.從課堂教學的雙方,即任課老師方面和學生方面等的反饋來看,課程教學效果整體上符合設想.下面具體通過幾個知識點的處理來說明做法.

圖1 映射基本定理與群同態(tài)基本定理

(ii) 關于群的教學.為了讓學生建立起“群”這個抽象代數概念,而不至于學完后就剩下一個抽象名詞“群”,在學生學習“群”的過程中,幫助學生建立了幾類“群”的具體模型.第一類模型是向量空間.在教學過程中,根據教學內容需要,逐步回顧線性空間、子空間、商空間、線性映射、線性同構等,將這些概念對應到群、正規(guī)子群、商群、群同態(tài)、群同構等,幫助學生建立起向量空間和群的基本邏輯結構框架之間的一一對應關系,讓學生初步和反復感受抽象代數學習的基本模式和思路,從而幫助學生建立起對“群”的整體觀念.第二類模型就是整數加群(Z,+)和剩余類加群(Zm,+).在教學過程中,利用Z和Zm之間的關系,從分析問題和解決問題的角度,自然而然地引入關于子群的左右同余關系、正規(guī)子群、商群等.對比較小的自然數m,我們還利用Zm建立直觀的群同態(tài)基本定理模型、Zm的子群模型等,讓學生在m的變化中,直觀感受、觸摸群同態(tài)基本定理、循環(huán)群的子群、元素的階的結構定理等,加深學生對這些定理的理解.

(iii) 關于環(huán)和域的教學.“群”的教學是“環(huán)”的教學的重要基礎.如果 “群”的教學實施得好,關于“環(huán)”的教學就會順利得多.比如學習了商群,由于環(huán)R的子環(huán)S是環(huán)在加法之下的正規(guī)子群,自然就有商群(R/S,+);一種自然的考量是:能否在這個商群中引入乘法運算,使其成為一個環(huán)? 這自然就引入了環(huán)的理想的概念.又如,學習了群同態(tài)基本定理之后,環(huán)同態(tài)基本定理就會容易得多,因為只需驗證保持乘法運算.另一個方面,在環(huán)和域的學習中,中國剩余定理是一個難點,主要通過模m剩余類環(huán)建立具體的模型來加深對該定理的理解.整環(huán)上的整除理論是另一個教學難點.通過將整數中的質數(可理解為不可分解數)和素數以及整數的整除理論、數域上的不可約多項式和素多項式以及多項式整除理論進行類比,進而在一般的有限交換環(huán)上可自然地引入不可約元和素元以及討論一般整環(huán)上的唯一分解的問題.另一個是通過域的擴張中尋找擴域中的元素的逆的表達式的問題自然建立與中學數學中的分母有理化的聯系,讓學生深刻理解中學數學中的分母有理化的本質.

(iv) 筆者所在學院本科生中師范生是主體,還有數量不少的非師范生.考慮到本科生的構成,在抽象代數教學中,通過數學家故事讓學生了解抽象代數的發(fā)展簡史,將抽象代數與中學數學密切聯系起來,還給出尺規(guī)作圖是否可行以及代數基本定理的證明.這些內容對大部分學生都有很強的親和力,對開闊師范生將來的教學視野也很有幫助.還通過具體的例子和視頻,如紀錄片“被數學選中的人”,幫助學生探索抽象代數與現實世界之間的聯系;介紹數學前沿.在學習對稱群Sn的過程中,強調了置換的對換分解定理,它的直接應用導致了交錯群的發(fā)現.介紹對稱群的表示、有限單群分類定理等.這些做法的目的是幫助學生了解數學前沿,充分喚起學生對代數學的興趣,激發(fā)學生特別是非師范生投身于數學研究的熱情.

3.3 課程教學效果

經過10余年的教學實踐,筆者在華中師范大學的抽象代數課程教學取得了較好的教學效果.筆者設計了問卷調查,包含10個問題,發(fā)放對象為在讀的數學專業(yè)學生和已在中學從事數學教學的畢業(yè)生,共收到有效問卷調查85份,其中男生占41.85%,女生占58.82%,師范生占69.42%,非師范生占30.58%.調查問卷反映出同學們對抽象代數的學習效果表示滿意的占82.36%.89.41%同學認為抽象代數的學習對該課程的后續(xù)課程,如群論、代數編碼、Galois理論等的學習奠定了很好的基礎,也吸引了他們對這些后續(xù)課程的學習興趣.調查反映在已經從事中學數學教學的畢業(yè)生中,有79.69%的畢業(yè)生認為通過抽象代數課程的學習,他們對于中學數學中相關知識點的理解更加深刻,對相關內容的教學也更加游刃有余.表1是問卷調查的部分相關統計結果分析.

4 結 論

本文主要介紹了作者對綜合院校師范院校數學系專業(yè)基礎課程抽象代數的歷史、現狀等問題的一些思考,并結合近年來作者在華中師范大學數學專業(yè)教授這門課程中進行的若干創(chuàng)新與實踐.具體來說,在課程體系結構、課程資源建設和課程教學評價等方面進行了一系列的嘗試,取得了一些好的效果.相信這些教學創(chuàng)新的探索實踐對相關師范院校本課程的教學會起到積極的促進和借鑒作用.

在新的形式下,如何更好地適應在信息爆炸的時代成長起來的學生的實際需求,開展有針對性的教學,是一個值得深入思考的問題.筆者建議是,由于這門課程的基礎性地位、抽象性以及和中學數學內容的緊密聯系,在師范院校數學專業(yè),本課程教學計劃的基本教學時數達到每周5學時比較合理,這樣有較為充足的時間用于課堂研討式習題課教學.同時,如何繼續(xù)深入挖掘抽象代數課程中的思政元素,將相關知識結構體系和中學相關內容進行深度融合,提高學生學習興趣,克服畏難心理,也是后續(xù)教學改革中一個值得思考的問題.

致謝作者非常感謝編輯和審稿人提出的寶貴意見.