融入體育元素的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式探索與實(shí)踐
——以“曲率”為例

蘇新華, 葛煥敏, 沈燕飛

(北京體育大學(xué) 體育工程學(xué)院 中國體育大數(shù)據(jù)中心,北京 100084)

0 引 言

在如今大數(shù)據(jù)時代下,新型智能體育人才的培養(yǎng)是實(shí)現(xiàn)智慧體育場館、智能體育健身和互聯(lián)網(wǎng)+健身等科技創(chuàng)新的關(guān)鍵.其中,人工智能和工程創(chuàng)新的基石在數(shù)學(xué),其穩(wěn)行致遠(yuǎn)的前提是解決好數(shù)學(xué)的基本問題.因此,強(qiáng)調(diào)大學(xué)數(shù)學(xué)教育在體育科技人才方面的引導(dǎo)作用至關(guān)重要[1-5].

高等數(shù)學(xué)作為理工科學(xué)生的基礎(chǔ)必修課程,是后期工科課程的基礎(chǔ).目前,不少高校通過線上線下、翻轉(zhuǎn)課堂和小組討論等方式實(shí)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)形式改革并取得了一定的成效[6-14].其中,以“曲率教學(xué)設(shè)計(jì)”為例,文獻(xiàn)[11]探究了如何將傳統(tǒng)教學(xué)與微課教學(xué)有序銜接,文獻(xiàn)[12]探索了基于活動-過程-對象-圖式(Action-Process-Object-Scheme,簡稱APOS)的教學(xué)新模式,文獻(xiàn)[13]探究了信息化教學(xué)模式下微課的應(yīng)用,文獻(xiàn)[14]探討了高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的宏觀設(shè)計(jì)和微觀設(shè)計(jì)的內(nèi)容和方法等.但是,目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中鮮有涉及體育教學(xué)案例的分析與應(yīng)用.然而,基于實(shí)際體育賽事及實(shí)際工程的案例教學(xué),對于“體育強(qiáng)國”戰(zhàn)略驅(qū)動下創(chuàng)新型智能體育人才的培養(yǎng)具有重要的意義.

本文以融入體育元素的“曲率”教學(xué)設(shè)計(jì)為例,將我國冰雪運(yùn)動重點(diǎn)突破項(xiàng)目——短道速滑引入課堂,極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.給出曲率與汽車彎道行駛和工業(yè)制造的實(shí)際生活案例,體現(xiàn)了曲率的廣泛應(yīng)用.充分考慮學(xué)生專業(yè)特色,提出合理有趣的案例,避免了課本案例的千篇一律,進(jìn)一步拓寬了學(xué)生的視野,提升了學(xué)生的專業(yè)認(rèn)知.同時,基于曲率與導(dǎo)數(shù)、極限等內(nèi)容具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)性,授課時通過層次引導(dǎo)激發(fā)了學(xué)生的求知欲,有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)專注力.此外,課堂設(shè)計(jì)中案例的首尾呼應(yīng),激發(fā)了學(xué)生思考課前案例引入,引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識進(jìn)行課尾案例分析,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造力與解決實(shí)際問題的能力.總的來說,精彩合適的案例教學(xué)設(shè)計(jì)展現(xiàn)了課堂思政教育,使其產(chǎn)生潤物無聲的效果;層次引導(dǎo)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生從無到有的新思想產(chǎn)生,激發(fā)學(xué)生不斷探索的欲望;案例應(yīng)用中讓學(xué)生及時感知自己所學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,增強(qiáng)報(bào)國之志(圖1).

圖1 基于體育工程案例的高等數(shù)學(xué)課堂思政教學(xué)設(shè)計(jì)

1 融入課程思政的“平面曲線的曲率”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 案例引導(dǎo)與分析——提出問題

曲率為學(xué)生新接觸的一個概念,通過具體案例分析,讓學(xué)生直觀感受曲率的物理意義是用來衡量曲線的彎曲程度.同時,感知曲率在實(shí)際工程實(shí)踐中的重要應(yīng)用.具體案例包括兩方面:

1.1.1 曲率與向心力之間的關(guān)系

(i) 速滑中的轉(zhuǎn)彎

課堂上播放武大靖在美國短道速滑世界杯中的奪冠視頻,同學(xué)們觀看的熱血沸騰,深深地感受到了中國競技體育中的輝煌成就(圖2).在培養(yǎng)學(xué)生民族自豪感的同時,引導(dǎo)學(xué)生思考問題:武大靖在速滑比賽中,觀察直道與彎道滑行的體態(tài)差異與速度差異,其大致原因是什么?

圖2 武大靖短道速滑

學(xué)生發(fā)現(xiàn),在直道滑行時體態(tài)是直立的,而在彎道時需要向滑行曲線凹的一側(cè)大幅度傾斜身體.直觀感知原因?yàn)?在彎道時需要通過側(cè)身的方式增加運(yùn)動所需要的向心力,防止離心作用力引起的外彈.也就是說,理想情況下,在速度v不損失的情況下,彎道滑行時所需要的向心力增大.假設(shè)用K來表示彎道的彎曲程度,那么向心力F與K為正相關(guān),即F∝K.

(ii) 開車中的彎道行駛

在彎道開車時需減速慢行,避免發(fā)生交通事故.通過播放汽車在彎道行駛過程中因超速而造成交通事故的視頻,提醒學(xué)生在自己及家人朋友駕駛中要時刻遵守交通法規(guī),珍愛生命,減速慢行.同時,引導(dǎo)學(xué)生們分析事故發(fā)生的原因,汽車在高速狀態(tài)下進(jìn)行彎道行駛,此時所需要的向心力增大.然而,當(dāng)?shù)孛嬷瘟湍Σ亮Φ群狭o法達(dá)到所需的向心力時,最終產(chǎn)生交通事故.類似于短道速滑案例分析,可知向心力F與K為正相關(guān),即F∝K.

通過分析上述兩個案例,初步得到結(jié)論,在速度不變時,向心力F與曲率K正相關(guān).而同學(xué)們都清楚向心力F與運(yùn)動半徑R負(fù)相關(guān),進(jìn)而導(dǎo)出1/R∝K.其中,半徑R與K的準(zhǔn)確關(guān)系為本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn).

1.1.2 曲率與工業(yè)制造的關(guān)系

挖掘高等數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科在工程研究中的應(yīng)用,讓學(xué)生直觀感受所學(xué)知識的實(shí)用性,可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,重視基礎(chǔ)學(xué)科的學(xué)習(xí),為將來科技報(bào)國奠定基礎(chǔ)與信念.本節(jié)課中,通過器件曲面加厚闡述了工業(yè)制造與曲率的密切關(guān)系(圖3).具體而言,制造業(yè)中常需對弧形器件進(jìn)行曲面加厚,其加厚度以曲率最大的那段弧形為標(biāo)準(zhǔn).這都與曲率的知識密切相關(guān).

圖3 工業(yè)制造中的曲率

1.2 知識關(guān)聯(lián)與講解——分析問題

了解曲率的相關(guān)應(yīng)用之后,開始曲率知識的系統(tǒng)性學(xué)習(xí).要清楚上述案例發(fā)生的原因,需要解決兩個問題:(i)曲率如何計(jì)算;(ii)曲率與曲線半徑之間的關(guān)系是什么?

學(xué)生們已經(jīng)清楚曲率是用來衡量曲線彎曲程度的量.通過繪制曲線,讓學(xué)生感知影響曲線彎曲程度的因素包括兩因素:曲線的切線轉(zhuǎn)角(見圖4(i))和曲線的弧長(見圖4(ii)).

圖4 曲線彎曲程度度量

啟發(fā)提問2:目前,平均彎曲程度和平均速度運(yùn)用了類似的思路.那么,結(jié)合在某點(diǎn)瞬時速度和平均速度的關(guān)系,推測曲線上某點(diǎn)M的曲率如何計(jì)算?

至此,通過對相關(guān)知識點(diǎn)層層遞進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)得出計(jì)算曲線一點(diǎn)處的曲率公式

(1)

由上述曲率公式(1)知,直線的曲率為0,即直線是不彎曲的.對于半徑為R的圓,圓上各點(diǎn)的彎曲程度均勻?qū)ΨQ,利用圓弧與圓心角之間的關(guān)系(圖5),可以得到圓上各點(diǎn)的曲率為

圖5 圓弧與圓心角的關(guān)系

目前,學(xué)生清楚了直線與半徑為R的圓上點(diǎn)的曲率.那么,對于一般曲線的曲率如何計(jì)算呢?觀察發(fā)現(xiàn),假設(shè)曲線方程滿足某些條件(如二階可導(dǎo))時,K的計(jì)算關(guān)鍵在于dα和ds的計(jì)算.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及《高等數(shù)學(xué)Ⅰ》微分的內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生探究dα和ds的計(jì)算公式.

啟發(fā)提問3:要計(jì)算dα,需要清楚α的函數(shù)表達(dá)式.目前,與α相關(guān)的表達(dá)式是什么?對應(yīng)的微分是否可得?

啟發(fā)提問4:接下來要計(jì)算ds.對于曲線函數(shù)y=f(x),其弧長s與x存在函數(shù)關(guān)系s=s(x).因此ds的計(jì)算關(guān)鍵在于s′(x),目前s=s(x)的具體表達(dá)式未知,如何計(jì)算s′(x)?

學(xué)生反饋:可以嘗試?yán)脤?dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行推導(dǎo).對于函數(shù)曲線y=f(x),弧長s與x的函數(shù)s=s(x)是x的單調(diào)遞增函數(shù).因此,由導(dǎo)數(shù)定義可得

進(jìn)而有

辨析與討論:弧微分與微分之間的關(guān)聯(lián)性.

微分的幾何意義:用切線縱坐標(biāo)的增量近似函數(shù)真實(shí)變化量,即用QT近似代替QM′(?x→0時),公式表示為:Δy≈dy=f′(x)dx=tanαdx(見圖6).

圖6 微分與弧微分幾何關(guān)系

弧微分的幾何意義:用切線的斜邊增量近似曲線中真實(shí)弧長的增長量,即用MT近似MM′(?x→0時),公式表示為:Δs≈ds=s′(x)dx=secαdx(見圖6).

至此,通過啟發(fā)式教學(xué),將學(xué)生的已學(xué)知識點(diǎn)與未知知識點(diǎn)建立聯(lián)系,層次引導(dǎo)學(xué)生自主探究,進(jìn)而推導(dǎo)了dα與ds的計(jì)算公式(圖7).將其表達(dá)式代入到曲率計(jì)算公式中,得到曲率的計(jì)算公式

圖7 導(dǎo)數(shù)與弧微分的知識點(diǎn)關(guān)聯(lián)圖

對于曲線而言,彎曲程度越大,所對應(yīng)的曲率值越大.至此,對于曲線上各點(diǎn)所在鄰域彎曲程度的衡量,不再是通過簡單的視覺感知而給出結(jié)論,可通過曲率公式進(jìn)行精確計(jì)算.

在曲率與向心力之間關(guān)系的課前案例中,分析得到了曲線在某一點(diǎn)的曲率K與運(yùn)動半徑R成反比關(guān)系.接下來,分析曲率與曲率半徑之間的確切關(guān)系.

設(shè)M為曲線C上任一點(diǎn),在點(diǎn)M處作曲線的切線和法線,在曲線的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)D使|DM|=1/K=R(圖8),把以D為中心,R為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓(密切圓),R叫做曲率半徑,D叫做曲率中心.

圖8 曲率圓與曲率半徑

注意:當(dāng)K=0時,曲率半徑可以認(rèn)為無窮的.在M點(diǎn)處曲率圓與曲線有下列關(guān)系:(i)有公切線;(ii)凹向一致;(iii)曲率相同.

1.3 知識遷移與應(yīng)用——解決問題

通過上述內(nèi)容的學(xué)習(xí),學(xué)生掌握了曲率的計(jì)算公式,以及曲率半徑與曲率之間的關(guān)系.利用這些知識,可以解決工程中的相關(guān)問題并解釋課前實(shí)際案例,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識.

例設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線y=0.4x2(圖9(i)).現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問用直徑為多大的砂輪才比較合適?

圖9 不同尺度砂輪的示意圖

分析 為了可以更高效地完成磨削工作,砂輪的半徑需盡可能的大,這樣可以避免頻繁更換砂輪.同時,為了不使砂輪磨去太多,砂輪的半徑又不能太大,否則曲率較大的位置砂輪無法進(jìn)行磨削.通過動畫演示兩種情況(圖9(ii)和圖9(iii)),直觀感知砂輪選取不合適所產(chǎn)生的低效性與材料浪費(fèi)問題.鑒于上述分析,砂輪的半徑應(yīng)不大于拋物線上各點(diǎn)曲率半徑的最小值.

解計(jì)算可得y′=0.8x,y″=0.8,將其代入曲率計(jì)算公式可得

回歸到課前案例,解釋它們?nèi)绾螒?yīng)用曲率的相 關(guān)知識.

(i) 曲率與向心力之間的關(guān)系

回顧武大靖短道速滑的視頻分析,運(yùn)動中向心力F與K正相關(guān),即F∝K.向心力的計(jì)算公式為F=mv2/R,其中R為運(yùn)動半徑.結(jié)合本節(jié)課所學(xué)的曲率與曲率半徑之間的關(guān)系R=1/K,可得F=mv2K,進(jìn)而得出向心力與曲率之間的正比關(guān)系.依據(jù)此公式,可以解釋汽車在彎道轉(zhuǎn)彎時所需要的向心力增加,因此在彎道要減速慢行,減小汽車行駛所需要的向心力.

(ii) 曲率與工業(yè)制造的關(guān)系

利用曲率與曲率半徑的關(guān)系R=1/K,可解釋工業(yè)制造中的現(xiàn)象.在器件曲面加厚中,不同弧段對應(yīng)的曲率半徑不同,器件要實(shí)現(xiàn)均勻加厚,需以可增加厚度最小的那一段弧作為參照標(biāo)準(zhǔn),即曲率半徑最小的弧段作為標(biāo)準(zhǔn)(曲率最大的弧段).此外,曲率半徑為曲率顯示器的重要參數(shù).理論上,為了更好地體驗(yàn)沉浸式與環(huán)繞感,在符合人眼生理弧度曲線的情況下,顯示器彎曲的幅度越大越好,此時曲率半徑越小.在汽車設(shè)計(jì)中,汽車的曲率半徑越小,說明在彎道的靈活性越好,汽車機(jī)動性越好.

總的來說,通過體育和工程案例引出曲率的內(nèi)容.然后,將新知識與學(xué)生已學(xué)知識進(jìn)行層次關(guān)聯(lián),引導(dǎo)學(xué)生自主分析曲率的相關(guān)內(nèi)容.最后,將所學(xué)的知識應(yīng)用于實(shí)際問題和課前案例,實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的首位呼應(yīng).

2 教學(xué)效果

通過實(shí)踐融入體育元素的高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情、學(xué)習(xí)效果與愛國之情等方面都有顯著提升.為了更加客觀地了解以“曲率”為例的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式的教學(xué)效果,針對參與這次教學(xué)實(shí)踐的北京體育大學(xué)體育工程學(xué)院2020級數(shù)據(jù)科學(xué)與智能體育工程專業(yè)的學(xué)生設(shè)計(jì)了一份問卷調(diào)查(表1).通過問卷星發(fā)放調(diào)查問卷,其中79名學(xué)生參與了問卷填寫.

表1 問卷調(diào)查

通過問卷結(jié)果統(tǒng)計(jì),融入體育元素的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式顯著提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和愛國之情,讓學(xué)生們深刻體會到了高等數(shù)學(xué)在體育及工程領(lǐng)域的重要性,更加重視高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).同時,學(xué)生對于此類課堂設(shè)計(jì)的滿意度達(dá)到了95%.總體而言,此教學(xué)模式探究與實(shí)踐激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,促使他們重視基礎(chǔ)學(xué)科的學(xué)習(xí),提升了他們對體育科技的認(rèn)知,為將來體育科技強(qiáng)國奠定了基礎(chǔ)與信念.

3 結(jié) 論

本文基于高等數(shù)學(xué)中曲率的教學(xué)設(shè)計(jì),將高等數(shù)學(xué)知識與體育工程領(lǐng)域相結(jié)合,旨在讓學(xué)生們在實(shí)際案例中感知高等數(shù)學(xué)的重要性,為培養(yǎng)新型體育智能人才奠定基礎(chǔ).在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),選擇合適的案例進(jìn)行知識導(dǎo)入,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,同時在案例分析中讓思政教育潤物細(xì)無聲地影響著學(xué)生.例如,通過播放武大靖短道速滑的奪冠視頻,學(xué)生為中國競技體育在世界的領(lǐng)先地位而自豪.接下來,通過啟發(fā)式與關(guān)聯(lián)式教學(xué)模式,讓學(xué)生層次進(jìn)入教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容,并且積極主動的思考與討論,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對于知識的探知欲.最后,運(yùn)用所學(xué)知識解決工程問題與課前案例,讓學(xué)生及時體會學(xué)有所用.通過知識外延引導(dǎo),激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和報(bào)國之志.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.