旋轉(zhuǎn)超導轉(zhuǎn)子的氦氣阻尼特性*

張源 胡新寧? 崔春艷 崔旭 牛飛飛 王路忠 王秋良

1) (中國科學院電工研究所,北京 100190)

2) (中國科學院大學電子電氣與通信工程學院,北京 100049)

3) (中國科學院贛江創(chuàng)新研究院,贛州 341119)

超導轉(zhuǎn)子磁懸浮裝置可制作角速度傳感器,超導轉(zhuǎn)子的高速驅(qū)動是實現(xiàn)超導轉(zhuǎn)子磁懸浮裝置高精度的基礎.超導轉(zhuǎn)子的熱損耗和徑向質(zhì)量偏心會使超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程中熱失超和共振,所以在超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程中,超導球腔中需要保持定量的氦氣,以此傳遞超導轉(zhuǎn)子的產(chǎn)熱和抑制超導轉(zhuǎn)子的共振.但氦氣同時會對超導轉(zhuǎn)子產(chǎn)生阻力,影響超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程.基于此開展了超導轉(zhuǎn)子在氦氣中的阻力矩研究,首先引入范德瓦耳斯方程分析了低溫氦氣的性質(zhì),提出了一種低溫氦氣對超導轉(zhuǎn)子阻力矩的研究方法,并進行實驗驗證.然后基于有限元方法分析了超導轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)驅(qū)動的電磁結(jié)構(gòu)和電磁力矩,并研究了氦氣對超導轉(zhuǎn)子加速過程的影響,包括臨界驅(qū)動速度、超導轉(zhuǎn)子的加速時間和氦氣對超導轉(zhuǎn)子的摩擦熱等.研究結(jié)果提供了一種低溫氣體對旋轉(zhuǎn)超導體阻力矩的研究方法,為進一步優(yōu)化超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程提供參考.

1 引言

超導體的邁斯納效應和零電阻特性可使磁場中的超導體實現(xiàn)近乎零損耗的非接觸支撐[1-4].超導轉(zhuǎn)子在極低的溫度下工作,其材料具有膨脹系數(shù)小、蠕變小和化學活性低的優(yōu)勢[5,6],因此應用超導磁懸浮技術的儀器具有極高的精度潛力.高速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子的極軸在慣性坐標系中具有固定的方位,基于此原理,超導轉(zhuǎn)子磁懸浮裝置可制作高精度角速度傳感器.超導轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速越高,其極軸的定向性越好,即超導轉(zhuǎn)子的高轉(zhuǎn)速是實現(xiàn)超導轉(zhuǎn)子磁懸浮裝置高精度測量的基礎.高速旋轉(zhuǎn)的超導轉(zhuǎn)子由懸浮線圈產(chǎn)生的磁場懸浮,并由定子線圈產(chǎn)生的脈沖磁場驅(qū)動.超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程中存在各種熱損耗,同時超導轉(zhuǎn)子的徑向質(zhì)量偏心會使超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程發(fā)生共振[7].所以超導轉(zhuǎn)子在加速過程中,超導球腔需要保持足夠量的氦氣,傳遞超導轉(zhuǎn)子的產(chǎn)熱以及抑制超導轉(zhuǎn)子的共振.

然而,超導球腔中的氦氣也會對旋轉(zhuǎn)的超導轉(zhuǎn)子產(chǎn)生阻力矩,從而影響超導轉(zhuǎn)子的加速過程.關于氣體在旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子上的阻力矩已有許多研究.文獻[8]測量了低密度氣流中的阻力;文獻[9-12]研究了自由旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子在稀薄氣體的阻力矩;文獻[13]給出了超導轉(zhuǎn)子在中等壓強氦氣的阻力矩公式,但該公式不含壓強參數(shù),因此在高壓條件下誤差較大.以上研究大都屬于稀薄氣體領域的氦氣對自由旋轉(zhuǎn)超導轉(zhuǎn)子的阻力矩,而屬于較高壓強的氦氣對超導轉(zhuǎn)子阻力矩的研究很少.為確保超導轉(zhuǎn)子加速過程的可靠性,超導球腔在驅(qū)動前需要充入足夠量的氦氣,最高可達到一個大氣壓.因此研究屬于非稀薄氣體領域的氦氣對超導轉(zhuǎn)子的阻力矩對優(yōu)化超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程具有重要意義.

本文在上述研究基礎上,開展了超導轉(zhuǎn)子在屬于非稀薄氣體的氦氣中轉(zhuǎn)動的阻尼特性研究,引入范德瓦耳斯方程分析了超導低溫下氣體的克努森數(shù),結(jié)合斯托克斯第一問題和雷諾定律分析了超導轉(zhuǎn)子的阻力矩并進行實驗驗證,然后通過有限元方法分析超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動電磁力矩,最后研究超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動過程中氦氣阻力矩的影響,如驅(qū)動臨界轉(zhuǎn)速、加速時間和摩擦熱等.分析結(jié)果為超導低溫下非稀薄氣體對旋轉(zhuǎn)體的阻力研究,以及超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供參考.

2 超導轉(zhuǎn)子的氦氣阻力矩分析

2.1 超導球腔的氦氣流分析

氣體可劃分為非稀薄氣體和稀薄氣體,非稀薄氣體符合連續(xù)介質(zhì)假設,而稀薄氣體可分為滑流、過渡流和自由分子流.克努森數(shù)Kn可作為劃分氣體種類的依據(jù),克努森數(shù)小于0.01 的氣體屬于非稀薄氣體,克努森數(shù)大于0.01 的氣體屬于稀薄氣體.克努森數(shù)是分子平均自由程λ 與流動特征長度L的比值[14,15],克努森數(shù)Kn的公式:

式中,d是氣體分子直徑,n是分子數(shù)密度.

本文主要研究屬于非稀薄氣體領域的氦氣在4.2 K 溫度下對超導轉(zhuǎn)子的阻力矩.超導球腔的分子數(shù)密度n,由超導球腔的壓強P決定.在4.2 K的超低溫下,理想氣態(tài)方程不能正確反映超導球腔的分子數(shù)密度和超導球腔壓強的關系[16,17],此時需要引入范德瓦耳斯方程分析超導球腔的氣體特性:

式中NA是1 mol 分子中的分子數(shù),a和b是范德瓦耳斯方程常數(shù),R是理想氣體常數(shù),T是絕對溫度.氦氣的范德瓦耳斯方程常數(shù)a等于0.03412 atm·L2/mol2,b等于0.0237 L/mol[18].氦氣的分子直徑為2.18×10-10m,特征尺寸由超導轉(zhuǎn)子磁懸浮系統(tǒng)的標稱間隙決定.

圖1 是超導轉(zhuǎn)子磁懸浮裝置的結(jié)構(gòu)示意圖,超導轉(zhuǎn)子磁懸浮結(jié)構(gòu)由超導轉(zhuǎn)子、整形鈮塊、懸浮線圈和中心柱組成,其中定子線圈和力矩線圈繞制在中心柱上.超導體的邁斯納效應使得懸浮線圈產(chǎn)生的磁場無法穿透超導轉(zhuǎn)子和整形鈮塊,被迫流入超導轉(zhuǎn)子和整形鈮塊之間的狹窄縫隙形成高密磁通,從而實現(xiàn)對超導轉(zhuǎn)子的懸浮.力矩線圈產(chǎn)生的磁場使超導轉(zhuǎn)子保持豎直狀態(tài),定子線圈產(chǎn)生的脈沖磁場實現(xiàn)對超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動.超導轉(zhuǎn)子頂部的花紋圖案與光纖檢測系統(tǒng)用來識別超導轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)位置和旋轉(zhuǎn)速度[19].超導轉(zhuǎn)子的直徑為50 mm,由鈮塊形成的超導球腔直徑為51 mm,則超導球腔的氦氣流特征尺寸等于0.5 mm.結(jié)合方程(1)和方程(2)可計算超導球腔不同氦氣壓強對應的克努森數(shù)Kn,如表1 所示.

表1 超導球腔壓強對應的克努森數(shù)Table 1.Knudsen number corresponding to pressure in superconducting sphere cavity.

圖1 超導轉(zhuǎn)子磁懸浮結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1.Magnetic suspension structure diagram of the superconducting rotor.

在超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動過程中,超導球腔的氦氣屬于非稀薄氣體,可用流體力學的邊界層理論對超導轉(zhuǎn)子的阻力矩進行分析.非稀薄氣體符合連續(xù)介質(zhì)假設,所以超導轉(zhuǎn)子表面的氣體會隨之旋轉(zhuǎn).超導轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速設置在200 Hz 以內(nèi),按200 Hz 計算超導轉(zhuǎn)子表面邊界層氣流的最大馬赫數(shù):式中,v是超導轉(zhuǎn)子表層的最大速度,c是聲速.

當氣體馬赫數(shù)小于0.3 時,可認為氣體是不可壓縮流體,其體積力可被忽略[20].在溫度4.2 K、壓強105Pa、超導轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速200 Hz 時,通過(2)式和(4)式可得出氦氣流雷諾數(shù)是2060,則超導轉(zhuǎn)子表面層中的氦流屬于層流[20].所以超導轉(zhuǎn)子在運行過程中,其表面的邊界層屬于不可壓縮層流:

式中,Re為雷諾數(shù),ρ 為氦氣密度,L為流量特征尺寸.

2.2 氦氣對超導轉(zhuǎn)子的阻力矩研究

超導轉(zhuǎn)子的半徑為25 mm,超導球腔中氦氣存在的區(qū)域可近似看作厚度為0.5 mm 的薄球殼.因為邊界層厚度小于球殼厚度,所以邊界層厚度遠小于超導轉(zhuǎn)子半徑.因此超導轉(zhuǎn)子表面的面積微元的瞬時運動產(chǎn)生的邊界層,類似于平板在同樣的氦氣中的瞬時運動產(chǎn)生的邊界層.所以氦氣對超導轉(zhuǎn)子表面微元的阻力可類比平板在不可壓縮層流中運動的阻力分析.斯托克斯研究了平板在屬于不可壓縮層流的黏性流體中突然移動時的阻力,稱為斯托克斯第一問題,并給出了流體剪切應力的計算公式[20]:

式中,Re是流體雷諾數(shù),ρ 是流體密度,U是邊界層外流體相對于板的速度.

參考斯托克斯第一問題的解,超導轉(zhuǎn)子表面的面積微元ds的氦氣阻力可以通過方程(5)計算.根據(jù)雷諾定律,流體阻力系數(shù)Cf只與具有一定形狀的物體的雷諾數(shù)有關[21].所以超導轉(zhuǎn)子表面的面積微元附近區(qū)域的阻力系數(shù)可以設置:

超導轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)如圖2 所示.超導轉(zhuǎn)子由球殼、空心圓柱體和薄圓柱體組成.超導轉(zhuǎn)子與氦氣直接接觸的表面主要包括球殼的外表面S1、內(nèi)表面S21和S22、薄圓柱體的頂面S5和底面S6、空心圓柱體的內(nèi)表面S4和外表面S3.結(jié)合(5)式和(7)式可計算氦氣在轉(zhuǎn)子球表面微元ds的阻力矩:

圖2 超導轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)模型Fig.2.Model of the superconducting rotor.

超導轉(zhuǎn)子球的外球面半徑為25 mm,薄圓柱頂S5到轉(zhuǎn)子赤道平面的距離為23.29 mm,則球殼外表面S1的阻力矩可表示為:

式中,R是超導轉(zhuǎn)子半徑,θ 是轉(zhuǎn)子表面微元ds與轉(zhuǎn)子坐標系OZ軸的夾角,O是轉(zhuǎn)子球心,OZ軸與旋轉(zhuǎn)軸方向一致.

Schlichting 在“邊界層理論”中提到,對于兩側(cè)潤濕的薄圓盤,可將其雷諾數(shù)統(tǒng)一表示[22],

式中,R0是圓盤的半徑,w是圓盤轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速.

所以超導轉(zhuǎn)子也采用統(tǒng)一的雷諾數(shù)簡化(9)式的計算,其中L=0.5 mm,R0=25 mm,則為

圖2 中超導轉(zhuǎn)子球殼內(nèi)表面S2包括半徑為24.25 mm 的球面S21和半徑為22 mm、高度為20.96 mm 的圓柱形側(cè)面S22;空心圓柱內(nèi)表面S4半徑為9.08 mm,外表面S3半徑為8.33 mm,高度為45.96 mm;薄圓柱體與氦氣接觸的表面S5和S6的半徑為9.11 mm.參考外球面S1阻力矩的分析方法,可計算出超導轉(zhuǎn)子的總氦氣阻力矩:

(13)式中α 和β 屬于待定系數(shù),α 和β 通過擬合氦氣阻力矩TS和超導轉(zhuǎn)子角速度w確定.

2.3 超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減試驗

超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速w和相應的氦氣阻力矩TS可通過超導轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速衰減實驗獲得.當超導轉(zhuǎn)子被驅(qū)動到一定的旋轉(zhuǎn)速度時,定子線圈斷電,則超導轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度在氦氣阻力矩作用下逐漸衰減.通過記錄時間t對應的超導轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度w,可間接測量超導轉(zhuǎn)子的氦氣阻力矩TS:

式中,w1是時刻t1的轉(zhuǎn)速,w2是時刻t2的轉(zhuǎn)速,Jz是超導轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量.

通過超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速度衰減實驗測量氦氣阻力矩的關鍵是,確保超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速度衰減的主要因素是氦氣.影響超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減的因素主要有氦氣阻尼和徑向質(zhì)量偏心[11].力矩器通電產(chǎn)生的磁場使超導轉(zhuǎn)子始終保持豎直狀態(tài)[23],可大程度地降低徑向質(zhì)量偏心對超導轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速衰減的影響.圖3(a)是超導轉(zhuǎn)子內(nèi)部的力矩器模型,力矩器包括8 個力矩線圈,對稱分布在超導轉(zhuǎn)子的內(nèi)開圓柱孔.基于矢量磁勢A方程在有限元軟件Ansoft 建模超導轉(zhuǎn)子磁懸浮結(jié)構(gòu),對超導轉(zhuǎn)子磁懸浮系統(tǒng)的磁場分布和麥斯納力進行求解[24,25].力矩器通電3 A 超導轉(zhuǎn)子內(nèi)壁產(chǎn)生的磁場分布如圖3(b)所示,超導轉(zhuǎn)子在豎直狀態(tài)時,超導轉(zhuǎn)子內(nèi)孔的磁場關于球心對稱分布,此時力矩器磁場對超導轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的磁力矩為零;超導轉(zhuǎn)子傾斜時,超導轉(zhuǎn)子內(nèi)孔的磁場不在均勻分布,從而產(chǎn)生定中力矩,使超導轉(zhuǎn)子回到豎直狀態(tài).圖1 中鈮環(huán)的作用是屏蔽懸浮線圈產(chǎn)生的磁場,使懸浮線圈的磁場只作用在超導轉(zhuǎn)子的球面上,而非球面部分沒有磁場,如圖4 所示.超導體表面的邁斯納力垂直于超導體表面并向內(nèi),作用在球面的邁斯納力均過球心,因此懸浮線圈磁場在超導球上不產(chǎn)生磁力矩.

圖3 力矩器結(jié)構(gòu)模型(a)超導轉(zhuǎn)子定中結(jié)構(gòu);(b)力矩器產(chǎn)生磁場分布Fig.3.Structural model of torquer: (a)Superconducting rotor’s polar axis alignment structure;(b) distribution of magnetic field generated by the torque.

圖4 懸浮線圈產(chǎn)生的磁場分布圖Fig.4.Distribution of magnetic field generated by suspension coils.

圖5 是超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗示意圖,在降溫前使超導球腔充入足量的氦氣,使超導球腔在降溫過程有足夠好的傳熱性.超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗操作如下.

圖5 超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗示意圖Fig.5.Schematic diagram of superconducting rotor speed attenuation experiment.

首先,將超導轉(zhuǎn)子冷卻至4.2 K,并用真空泵將超導球腔的氦氣抽到壓強P.

其次,通過力矩器電流源對力矩線圈通電10 A,保持超導轉(zhuǎn)子的豎直狀態(tài).通過懸浮電流源對懸浮線圈通電,將超導轉(zhuǎn)子懸浮在超導球腔中心位置.然后對超導轉(zhuǎn)子進行驅(qū)動,光纖測控系統(tǒng)向定子電流源發(fā)送控制信號,控制定子線圈的通電和斷電,將超導轉(zhuǎn)子加速到w0.

最后,關閉定子電流源,通過示波器記錄轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速w隨時間t變化的數(shù)據(jù).在實驗過程中力矩線圈一直通電10 A,對超導轉(zhuǎn)子進行定中,從而使超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速降低的主要因素是氦氣阻力矩.改變超導球腔的壓強P,并重復上述實驗.在實驗中,超導球腔的壓強主要由真空泵改變,超導球腔的壓強通過手動調(diào)節(jié)閥門的開和關來控制.因此,很難將超導球腔壓強控制在精確的預設值.速度衰減實驗數(shù)據(jù)如圖6 所示.超導腔的壓強設定為0.016,0.221,3.27,20,200,4000,40000 Pa.

圖6 超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗Fig.6.Experimental data on speed attenuation of superconducting rotor.

2.4 阻力矩方程待定系數(shù)的擬合分析

超導球腔中氦氣分子數(shù)密度n與低溫氦的質(zhì)量密度ρ 之間的關系為

式中,n是分子數(shù)密度,NA是1 mol 氦的分子數(shù),ρ 是氦的密度,M是1 mol 氦氣分子的質(zhì)量.

將(15)式代入(2)式得到超導球腔中氦氣的質(zhì)量密度ρ 和壓強P之間的關系:

非稀薄氣體中,氣體的黏度系數(shù)不受氣體分子密度的影響,而是由溫度決定[26,27].昂納斯和韋伯研究了氦氣的動態(tài)黏度,并給出了用于計算氦氣黏度的方程[27]:

通過(17)式可計算出氦氣在4.2 K 下的動態(tài)黏度是1.267×10-6Pa·s.圖6 記錄數(shù)據(jù)中任意兩個相鄰點的平均氦氣阻力矩T可通過方程(14)計算,然后選擇其中一點作為氦氣阻力矩T對應的轉(zhuǎn)速w.變換方程(12):

將(19)式代入(18)式,并取對數(shù):

其中l(wèi)og10y和log10x可根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算,然后再將log10y和log10x進行最小二乘法擬合可得到待定系數(shù)α 和β 的值.氦氣壓強為200,1000,4000和40000 Pa 時,氦氣屬于非稀薄氣體.使用上述壓強下的轉(zhuǎn)速衰減實驗數(shù)據(jù)擬合待定系數(shù)α 和β 的結(jié)果如圖7.圖7 中l(wèi)og10y與log10x線性變化表明,超導轉(zhuǎn)子阻力矩在不同氦氣壓強下有相同的系數(shù)α 和β,即所得到的阻力矩方程符合實驗.擬合結(jié)果為α=0.96427,β=0.9569,則超導轉(zhuǎn)子的阻力矩方程:

超導轉(zhuǎn)子在氦氣的阻力矩作用下的動力學方程為

式中,Jz是超導轉(zhuǎn)子繞旋轉(zhuǎn)軸的慣性矩,Jz=4.32×10-5kg·m2.聯(lián)立(21)式和(22)式,可推導出超導轉(zhuǎn)子在氦氣阻力矩作用下的轉(zhuǎn)速衰減方程:

式中,w0是超導轉(zhuǎn)子的初始轉(zhuǎn)速,ρ 是低溫氦氣密度.

上述方程是基于斯托克斯第一問題和N-S 方程的解,它適用于符合連續(xù)介質(zhì)假設的氣體.克努森數(shù)小于0.1 的氦氣是符合連續(xù)介質(zhì)假設的氣體,使連續(xù)介質(zhì)假設成立的克努森數(shù)上限可增加到0.2[14].壓強3.27,20,200,1000,4000,40000 Pa的氦氣可以視為連續(xù)介質(zhì).圖8 是在非稀薄氣體中超導轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速衰減的實驗數(shù)據(jù)和理論計算數(shù)據(jù)的對比,圖9 是稀薄氣體中的超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗數(shù)據(jù)與理論計算數(shù)據(jù)對比.表2 是在不同氦氣壓強下,實驗結(jié)果與(23)式計算結(jié)果的平均誤差(最大誤差)與測試時間的比值.結(jié)果表明在符合連續(xù)介質(zhì)假設的氦氣中,超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減1 h 累積的最大誤差不超過3.6%,累積的平均誤差不超過1.6%.而在稀薄氣體中,超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減1 h 累積的最大誤差可達到27.6%,累積的平均誤差可達到13.08%.

表2 實驗數(shù)據(jù)與理論計算誤差對比Table 2.Comparison of experimental data and theoretical calculation errors.

圖8 非稀薄氣體中轉(zhuǎn)速衰減實驗數(shù)據(jù)與理論計算數(shù)據(jù)的比較(a)40000 Pa;(b) 4000 Pa;(c) 1000 Pa;(d) 200 Pa;(e) 20 Pa;(f) 3.27 PaFig.8.Comparison between experimental data and theoretical calculations for non rarefied gases: (a)40000 Pa;(b) 4000 Pa;(c) 1000 Pa;(d) 200 Pa;(e) 20 Pa;(f) 3.27 Pa.

圖9 稀薄氣體中轉(zhuǎn)速衰減實驗數(shù)據(jù)與理論計算數(shù)據(jù)的比較(a)0.221 Pa;(b) 0.016 PaFig.9.Comparison of experimental and theoretical data of speed attenuation in rarefied gas: (a)0.221 Pa; (b)0.016 Pa.

通過以上分析表明,(23)式計算的超導轉(zhuǎn)子在非稀薄氣體中的轉(zhuǎn)速衰減數(shù)據(jù)與超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗數(shù)據(jù)是一致的,則(21)式計算的非稀薄氣體阻力矩是正確的.由于超導轉(zhuǎn)子的加工和裝配誤差,超導轉(zhuǎn)子的表面不是理想的球面,這是計算結(jié)果與試驗結(jié)果之間存在誤差的主要原因.

3 超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩分析

超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動結(jié)構(gòu)主要包括超導轉(zhuǎn)子、超導定子和超導力矩器三部分,如圖10 所示,超導定子產(chǎn)生的脈沖磁場作用在超導轉(zhuǎn)子使其產(chǎn)生加速力矩;超導力矩器的磁場作用在超導轉(zhuǎn)子使其維持其在加轉(zhuǎn)過程中的豎直狀態(tài).基于矢量磁勢A方程的有限元方法可計算超導轉(zhuǎn)子的麥斯納力矩.在有限元軟件Ansoft 中建立超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動結(jié)構(gòu)模型有限元模型,其中超導體的相對磁導率設置10-7,電導率設置107,其他部分設置為真空條件;懸浮線圈區(qū)域的電流密度J設置為線圈電流與線圈截面積之比,其他區(qū)域的電流密度設置為零;遠大于所建模型的計算域外邊界設置Dirichlet 邊界條件,其他邊界條件設置自然邊界條件.然后便可根據(jù)懸浮線圈輸入的電流,計算出超導磁懸浮系統(tǒng)的矢量磁勢A的分布,由麥克斯韋方程可計算出超導轉(zhuǎn)子表面磁場的分布,由虛功原理可計算出超導轉(zhuǎn)子的邁斯納力矩[28].

圖10 超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動結(jié)構(gòu)Fig.10.Superconducting rotor drive structure.

超導轉(zhuǎn)子是內(nèi)開圓柱孔的空心薄壁球,并在圓柱孔側(cè)面對稱開4 個窗口,所有窗口側(cè)棱面指向球心,所以超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動力矩的變化角周期是90°.圖11 是定子線圈通電50 A,超導轉(zhuǎn)子在起始位置的磁場分布.定子磁場作用在超導轉(zhuǎn)子內(nèi)開窗口的側(cè)棱實現(xiàn)對超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動.超導轉(zhuǎn)子繞極軸旋轉(zhuǎn)90°,超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩分布如圖12(a)所示.超導定子實際包括兩路相同的定子線圈,A 路和B 路,兩路線圈關于豎直軸45°旋轉(zhuǎn)對稱.在驅(qū)動過程中,兩路定子線圈交替作用實現(xiàn)超導轉(zhuǎn)子的連續(xù)驅(qū)動,如圖12(b)所示.超導轉(zhuǎn)子在逆時針加速過程中,0°—45°位置A 路作用,45°—90°位置B 路作用.超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速超過20 Hz 后,每個定子線圈的作用時間只有幾個毫秒,此時超導轉(zhuǎn)子近似均勻加速,可采用平均力矩分析超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動效果.定子通電10 A,兩路定子同時作用,一個驅(qū)動周期的平均驅(qū)動力矩是1.0567×10-5N·m.由超導轉(zhuǎn)子的麥斯納力方程(24)及麥克斯韋方程?×H=J,可推出作用在超導轉(zhuǎn)子的邁斯納力矩與電流的平方成正比.

圖11 超導轉(zhuǎn)子內(nèi)孔磁場分布圖Fig.11.Distribution of magnetic field in the inner hole of the superconducting rotor.

圖12 超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動力矩分布(a)單路定子通電;(b)兩路定子線圈通電Fig.12.Distribution of driving torque for superconducting rotor: (a)Single stator energized;(b) two stator coils energized.

式中,B微元面積ds處的磁場強度,μ0真空磁導率.超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩T0與定子電流I0的關系:

4 氦氣阻力矩對超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動過程的影響

超導磁懸浮裝置在使用中要求超導轉(zhuǎn)子快速加速到目標轉(zhuǎn)速,使超導轉(zhuǎn)子磁懸浮裝置快速投入使用.由于超導轉(zhuǎn)子存在徑向質(zhì)量偏心等因素,在驅(qū)動過程中需要對超導轉(zhuǎn)子的磁支承剛度進行調(diào)控以避免超導轉(zhuǎn)子的共振[7],因此超導轉(zhuǎn)子不能加速過快.所以通過設置氦氣阻尼控制超導轉(zhuǎn)子的加速時間等參量,對優(yōu)化超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程具有重要意義.氦氣阻尼對超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動過程的影響主要包括驅(qū)動臨界轉(zhuǎn)速、加速時間、氦氣與轉(zhuǎn)子之間的摩擦熱等.基于阻力矩公式(21)和驅(qū)動力矩公式(25)可以分析驅(qū)動過程中的驅(qū)動臨界速度、加速時間和摩擦熱功率.

超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程中,力矩線圈通電使超導轉(zhuǎn)子保持豎直狀態(tài),使超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩方向與旋轉(zhuǎn)方向一致.鈮環(huán)使懸浮線圈產(chǎn)生的磁場只作用在超導轉(zhuǎn)子的球面部分,除了定子線圈產(chǎn)生的磁場外,其他磁場幾乎不會在超導轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生磁轉(zhuǎn)矩.因此,在超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動過程中只考慮驅(qū)動力矩T0和氦氣阻力矩,驅(qū)動過程的動力學方程如下:

設超導轉(zhuǎn)子的初始角速度為零.(26)式表明氦氣阻力矩隨著轉(zhuǎn)子角速度的增加而逐漸增大,超導轉(zhuǎn)子的角加速度隨著角速度的增大而減小,最終達到驅(qū)動力矩等于氦氣阻力矩,轉(zhuǎn)子速度達到臨界驅(qū)動速度wc的狀態(tài).

式中,超導轉(zhuǎn)子的臨界驅(qū)動轉(zhuǎn)速wc由驅(qū)動力矩T0和氦氣壓強P共同決定.在氦氣壓強P一定時,T0越大,超導轉(zhuǎn)子臨界驅(qū)動轉(zhuǎn)速越大;在驅(qū)動力矩T0一定時,氦氣壓強越大,超導轉(zhuǎn)子的臨界驅(qū)動轉(zhuǎn)速越小.圖13 給出了具體算例,計算了驅(qū)動力矩1×10-5,2×10-5和5×10-5N·m.驅(qū)動力矩1×10-5,2×10-5和5×10-5N·m 對應的驅(qū)動電流可由(25)式計算.圖13 表明,氦氣壓強在100—10000 Pa之間時,超導轉(zhuǎn)子臨界驅(qū)動速度隨著氦氣壓強的增大而明顯變化.當驅(qū)動轉(zhuǎn)矩T0等于5×10-5N·m時,100 和10000 Pa 的氦氣壓強之間的臨界驅(qū)動速度差為167 Hz.當壓強增大超過10000 Pa 后,隨著壓強的增大,臨界驅(qū)動速度變化緩慢.

圖13 超導轉(zhuǎn)子臨界驅(qū)動轉(zhuǎn)速分析Fig.13.Analysis of critical driving speed of the superconducting rotor.

超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程中,轉(zhuǎn)速w隨時間t的變化可通過求解微分方程(26)獲得.對方程(26)進行變化得:

超導轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速設置為200 Hz,超導球腔的氦氣壓強設置在100—100000 Pa 之間.根據(jù)臨界轉(zhuǎn)速的分析,超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩應不小于2×10-5N·m.根據(jù)上述條件,可計算出k1w2-β/T0的最大值:

因k1w2-β/T0的最大值小于1,可對方程(28)進行泰勒多項式展開:

取(30)式等號左邊的前10 項求解方程:

結(jié)合(30)式和(25)式可分析超導轉(zhuǎn)子在任意驅(qū)動電流和氦氣壓強下的加速過程.例如,當驅(qū)動力矩2×10-5N·m 時,超導轉(zhuǎn)子的加速過程如圖14 所示.超導轉(zhuǎn)子將轉(zhuǎn)子驅(qū)動到200 Hz 的加速時間與壓強P之間的對應關系,如圖15 所示.圖14 表明超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不超過50 Hz 時,不同壓強的氦氣阻力矩對超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程影響很小;超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速超過50 Hz 后,不同氦氣壓強開始對超導轉(zhuǎn)子的加速過程產(chǎn)生顯著影響.氦氣壓強100 Pa 時超導轉(zhuǎn)子加速到200 Hz 的時間為3663 s,而氦氣壓強100000 Pa 加速到200 Hz 的時間是4293 s,氦氣壓強100 Pa 與100000 Pa 的加速時間相差630 s.圖15 顯示氦氣壓強達到10000 Pa 后,壓強的增大幾乎對加速時間(200 Hz)的影響很小.在氦氣壓強100—10000 Pa 時,氦氣壓強對其加速到200 Hz的時間有明顯影響.當驅(qū)動力矩2×10-5N·m 時,氦氣壓強100—10000 Pa 之間的驅(qū)動時間差為629.7 s;當驅(qū)動力矩為5×10-5N·m 時,氦氣壓強100—10000 Pa 之間的驅(qū)動時間差僅為52.9 s.驅(qū)動力矩越大,氦氣阻力矩對加速時間的影響越小.

圖14 超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程Fig.14.Driving process of superconducting rotor.

圖15 不同壓強加速到200 Hz 的時間Fig.15.Time for different pressures to accelerate to 200 Hz.

超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩T0的增大通過增大定子電流I0實現(xiàn).然而,由于超導轉(zhuǎn)子臨界磁場以及低溫系統(tǒng)的限制,定子線圈中的電流不能過大.同時超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程中,超導球腔的氦氣必須保持足夠,使超導轉(zhuǎn)子的熱及時傳遞.否則,超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程中將失去超導性,導致加速失效,甚至損壞超導轉(zhuǎn)子.超導轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中與氦氣之間的摩擦熱也是驅(qū)動過程中的熱損失.氦氣對超導轉(zhuǎn)子的摩擦熱為

式中,Pw是轉(zhuǎn)速w下的氦氣摩擦熱.將(23)式代入(32)式:

氦氣與超導轉(zhuǎn)子表面的摩擦熱隨著轉(zhuǎn)速的增大而增大.超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速200 Hz 時,不同氦氣壓強產(chǎn)生的摩擦熱可通過(32)式計算,計算結(jié)果如圖16 所示.計算結(jié)果表明,在符合連續(xù)介質(zhì)假設的氦氣中,摩擦熱可達10 mW 以上.在100—10000 Pa 之間,摩擦熱變化明顯,其對應的摩擦熱功率差為4.5 mW,當壓強大于10000 Pa 時,摩擦熱的變化緩慢.

圖16 超導轉(zhuǎn)子的氦氣摩擦功率Fig.16.Helium friction power of the superconducting rotor.

5 結(jié) 論

本文針對一種超導轉(zhuǎn)子磁懸浮結(jié)構(gòu),分析了超導轉(zhuǎn)子在非稀薄氣體中旋轉(zhuǎn)的阻尼特性.引入了范德瓦耳斯方程分析了4.2 K 低溫時不同壓強氦氣對應的流體特性,并分析了超導轉(zhuǎn)子在驅(qū)動過程中,其邊界層的流體屬性.

基于雷諾定律和斯托克斯第一問題,提出了一種非稀薄氣體對超導轉(zhuǎn)子阻力矩的分析方法,并進行超導轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速衰減實驗驗證.該方法進一步完善了低溫氦氣對旋轉(zhuǎn)超導體阻力矩的研究.

本文分析了超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動電磁結(jié)構(gòu),基于有限元方法研究了超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩與定子電流的關系,然后結(jié)合氦氣阻力矩方程分析了超導轉(zhuǎn)子在非稀薄氣體中驅(qū)動的過程,主要包括超導轉(zhuǎn)子的臨界驅(qū)動轉(zhuǎn)速、超導轉(zhuǎn)子的加速時間以及氦氣對超導轉(zhuǎn)子的摩擦熱等.可以通過控制氦氣壓強和定子電流控制超導轉(zhuǎn)子的加速過程及對應的加速時間和摩擦熱等.綜合超導轉(zhuǎn)子驅(qū)動過程的交流損耗、氦氣導熱特性等因素,可進一步優(yōu)化超導轉(zhuǎn)子的驅(qū)動過程.