聲空化場(chǎng)中球狀泡團(tuán)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析*

劉睿 黃晨陽(yáng) 武耀蓉 胡靜 莫潤(rùn)陽(yáng) 王成會(huì)

(陜西師范大學(xué),陜西省超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710062)

利用高速攝影機(jī)對(duì)驅(qū)動(dòng)頻率分別為28 kHz 和40 kHz 的超聲空化場(chǎng)中距離水面約1/4 波長(zhǎng)范圍內(nèi)的球狀氣泡團(tuán)的上浮生長(zhǎng)和演化過(guò)程進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察,分析了聲軟界面附近駐波場(chǎng)聲壓幅值變化對(duì)泡團(tuán)結(jié)構(gòu)變化的影響,以及泡團(tuán)從球狀向傘狀和層狀結(jié)構(gòu)演化的行為特征.為分析空化場(chǎng)中球狀泡團(tuán)生長(zhǎng)演化機(jī)理,利用鏡像原理構(gòu)建了一個(gè)考慮邊界(水-空氣)影響的球狀泡團(tuán)模型,得到了修正的球狀泡團(tuán)內(nèi)氣泡動(dòng)力學(xué)方程.利用等效勢(shì)數(shù)值分析了兩個(gè)頻率下驅(qū)動(dòng)聲壓幅值、氣泡數(shù)密度、距離水面深度以及氣泡平衡半徑對(duì)球狀泡團(tuán)最佳穩(wěn)定半徑的影響.結(jié)果表明,球狀泡團(tuán)的最佳穩(wěn)定半徑在1—2 mm 的范圍,且隨著驅(qū)動(dòng)聲壓幅值和氣泡數(shù)密度的增大,球狀泡團(tuán)最佳穩(wěn)定半徑有減小的趨勢(shì),但差異不顯著;驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz 條件下的球狀泡團(tuán)穩(wěn)定尺寸略小于驅(qū)動(dòng)頻率為28 kHz 情形;在弱聲場(chǎng)中若能形成氣泡聚集,仍可觀察到較小尺寸的球狀泡團(tuán),但當(dāng)聲壓低于某臨界值,泡團(tuán)將不能存在.理論分析與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果具有很好的一致性.球狀泡團(tuán)的生長(zhǎng)和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定特性分析有助于理解聲場(chǎng)和邊界對(duì)氣泡的行為調(diào)控.

1 引言

液體中的微小氣泡核在負(fù)壓的作用下可以生長(zhǎng)為空化泡,這些空化泡在外界壓力作用下會(huì)經(jīng)歷膨脹、壓縮乃至崩潰等一系列動(dòng)力學(xué)過(guò)程.氣泡的急劇崩潰可能產(chǎn)生局部高溫高壓等極端條件[1],并在其周圍產(chǎn)生沖擊波與微射流等效應(yīng),形成在化工、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用的物理基礎(chǔ)[2,3].為更好地理解空化機(jī)理,Rayleigh 等[4-6]發(fā)展了單氣泡動(dòng)力學(xué)模型,描繪了液體中空化泡運(yùn)動(dòng)變化的物理圖景.在實(shí)際應(yīng)用中,液體空化場(chǎng)中氣泡分布以及聲場(chǎng)十分復(fù)雜,聲波激勵(lì)氣泡振蕩產(chǎn)生的次級(jí)聲輻射[7]影響局域聲場(chǎng)分布,進(jìn)而影響周圍氣泡的振動(dòng)行為,形成耦合振動(dòng)效應(yīng),氣泡間還存在彼此吸引或排斥等物理效應(yīng),促使氣泡自發(fā)聚集成各種復(fù)雜形狀的多氣泡結(jié)構(gòu).Bai 等[8]研究了頻率在20—50 kHz 的超聲場(chǎng)中存在的典型聲空化結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生和控制方法,觀察了錐形泡結(jié)構(gòu)、煙狀泡結(jié)構(gòu)、ALF (acoustic lichtenberg figure)、尾泡結(jié)構(gòu)和射流誘導(dǎo)泡群等結(jié)構(gòu)的形成和演化過(guò)程,發(fā)現(xiàn)在聲輻射面近場(chǎng)區(qū)空化氣泡有沿壓降方向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),為強(qiáng)聲空化結(jié)構(gòu)形成奠定了基礎(chǔ).為解釋多氣泡結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)行為,An[9]從規(guī)則形狀的氣泡結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行研究,利用巧妙的數(shù)學(xué)關(guān)系,推導(dǎo)了一維氣泡鏈和球狀泡群中氣泡動(dòng)力學(xué)方程,并利用等效勢(shì)[10]對(duì)一維氣泡鏈結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.Hansson 和Mctrch[11]構(gòu)建了半球狀和柱形氣泡團(tuán)的邊界振蕩模型等,分析了潛在的動(dòng)力學(xué)影響.因此,基于復(fù)雜的空化結(jié)構(gòu)中的氣泡聚集特征,通過(guò)構(gòu)建合理的理論模型來(lái)解釋空化場(chǎng)中的氣泡耦合特征是可行的.Wu 等[12]通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到液體薄層中的空化結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)條件不變的情況下,空化結(jié)構(gòu) (氣泡云的形狀和氣泡的數(shù)量)具有穩(wěn)定性和記憶特征.李凡等[13]發(fā)展了環(huán)鏈狀氣泡分布理論模型,基于氣泡間次Bjerknes 力效應(yīng)分析結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的物理機(jī)制.在超聲空化場(chǎng)中,具有典型自組織行為的多分枝狀的ALF 是一種非常常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)[14-16].Li 等[17]結(jié)合實(shí)驗(yàn)觀察,分析ALF結(jié)構(gòu)特點(diǎn),通過(guò)構(gòu)建一個(gè)球狀泡團(tuán)和氣泡鏈組成的理論模型,解釋了ALF 結(jié)構(gòu)內(nèi)部氣泡運(yùn)輸機(jī)理.Li 等[18]基于實(shí)驗(yàn)觀察到的超聲清洗槽水面附近層狀結(jié)構(gòu),通過(guò)構(gòu)建一個(gè)Y 分岔模型,結(jié)合氣泡間次級(jí)Bjerknes 力分析解釋了空化場(chǎng)中層狀氣泡團(tuán)中的氣泡輸運(yùn)機(jī)制.可見(jiàn),通過(guò)分析復(fù)雜空化結(jié)構(gòu)特征,合理構(gòu)建簡(jiǎn)化模型解釋復(fù)雜空化結(jié)構(gòu)形成機(jī)理是一種有效的方法.

在實(shí)驗(yàn)中可發(fā)現(xiàn),氣泡聚集的自組織行為較為復(fù)雜,如球狀泡團(tuán)在向低聲壓區(qū)移動(dòng)的過(guò)程中逐漸散開(kāi)轉(zhuǎn)變成層狀結(jié)構(gòu)或環(huán)狀結(jié)構(gòu)等[18],泡團(tuán)內(nèi)氣泡分布密度變化以及聲場(chǎng)局域分布的影響可能是結(jié)構(gòu)演化的主要影響因素.因此,認(rèn)識(shí)球狀泡團(tuán)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性特征對(duì)解釋結(jié)構(gòu)演化機(jī)制極為重要.基于An[9]提出的球狀泡群模型,徐珂等[19]考慮水蒸氣蒸發(fā)和冷凝,建立了超聲驅(qū)動(dòng)下群狀聚集氣泡的動(dòng)力方程,研究了球狀氣泡團(tuán)內(nèi)氣泡的動(dòng)力學(xué)特征.Nasibullaeva 和Akhatovb[20]忽略球狀氣泡團(tuán)內(nèi)液體的可壓縮特性,發(fā)展了與氣泡徑向振動(dòng)相關(guān)的泡群邊界面振蕩動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型.Wang 等[21]基于氣泡群振動(dòng)模型考慮氣泡間耦合振動(dòng)的影響,得到了均勻球狀泡群內(nèi)振動(dòng)氣泡的動(dòng)力學(xué)方程和非線性聲響應(yīng)特征.由于實(shí)際空化場(chǎng)的復(fù)雜性,球狀泡群結(jié)構(gòu)的平衡尺寸往往是變化的,其演化機(jī)理有待深入研究,特別是計(jì)入邊界條件對(duì)泡群聚集行為的影響.利用鏡像原理發(fā)展真實(shí)氣泡與鏡像氣泡的雙氣泡系統(tǒng)[22],可為考慮邊界效應(yīng)提供支持.

本文基于球狀泡群內(nèi)氣泡的動(dòng)力學(xué)方程[9],考慮邊界對(duì)主聲場(chǎng)以及氣泡次級(jí)聲輻射的影響,發(fā)展考慮邊界影響的球狀泡團(tuán)動(dòng)力學(xué)模型,利用等效勢(shì)分析不同聲場(chǎng)條件下空化場(chǎng)中球狀泡團(tuán)可以存在的最佳穩(wěn)定半徑;結(jié)合高速攝影機(jī)觀察清洗槽水面下不同聲場(chǎng)條件下的空化泡群結(jié)構(gòu),分析其演化行為動(dòng)力學(xué)機(jī)制.

2 空化場(chǎng)中球狀泡團(tuán)結(jié)構(gòu)變化的實(shí)驗(yàn)觀察

利用高速攝像機(jī)(i-SPEED 727,英國(guó))觀察工作頻率分別為28 kHz 和40 kHz 的清洗槽(320 mm × 300 mm × 200 mm) 內(nèi)氣泡的演化行為,清洗槽輸入功率可在0—360 W 范圍內(nèi)調(diào)節(jié).為了捕捉氣泡團(tuán)運(yùn)動(dòng)以及氣泡團(tuán)與水面的相互作用,在槽內(nèi)放置一個(gè)100 mm× 100 mm× 300 mm的玻璃水箱,盛有不同深度去離子水,水深為聲波波長(zhǎng)的整數(shù)倍,記錄水中不同類型的空化結(jié)構(gòu),實(shí)驗(yàn)裝置如圖1 所示.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置(a)原型圖;(b) 示意圖Fig.1.Experimental setup: (a)Experimental devices;(b) schematic diagram.

圖2 給出了28 kHz 清洗槽內(nèi)球狀泡團(tuán)的上浮過(guò)程,具體演化行為可參考補(bǔ)充材料視頻1(online),整個(gè)觀察區(qū)在氣泡上升方向的高度約為1/4 波長(zhǎng).球狀泡團(tuán)最大半徑小于2 mm,遠(yuǎn)小于水中聲波波長(zhǎng),泡團(tuán)內(nèi)氣泡振動(dòng)可以近似看作同步振動(dòng).紅色虛線圓標(biāo)出的球狀泡團(tuán)剛開(kāi)始出現(xiàn)時(shí),結(jié)構(gòu)尺寸約為0.4 mm,其顏色較深,意味著具有較高的數(shù)密度.泡團(tuán)以約0.6 m/s 的速度上浮(圖3 所示),在上浮過(guò)程中,泡團(tuán)可能吸引周圍離散分布的空化氣泡并生長(zhǎng),且隨著尺度的增大而上浮速度略微減慢.不僅如此,隨著泡團(tuán)的生長(zhǎng),泡團(tuán)內(nèi)氣泡分布結(jié)構(gòu)逐漸變稀疏,且逐漸演變?yōu)榕輬F(tuán)上部氣泡分布密度低于其下部分布密度,氣泡緩慢偏離球形向傘狀結(jié)構(gòu)(如6.52 ms 時(shí)刻所示)演化.泡團(tuán)的上浮速度可能與主聲場(chǎng)分布以及周圍空化泡或泡群結(jié)構(gòu)密切相關(guān).泡團(tuán)向水面移動(dòng),水面是聲軟界面,聲波在水面反射形成駐波場(chǎng),在距離水面1/4 波長(zhǎng)的范圍內(nèi),聲壓梯度隨泡團(tuán)靠近水面而增大,而聲壓不斷減小.泡團(tuán)受到的主Bjerknes 力方向向下、黏性阻力方向向下,二者的合力與浮力接近,故泡團(tuán)具有較為穩(wěn)定的上浮速度.隨著上浮泡團(tuán)尺寸的增大,其頂部和底部的壓力差更為明顯,當(dāng)內(nèi)外壓力差周向分布不均勻,泡團(tuán)球狀結(jié)構(gòu)將無(wú)法維持,且泡團(tuán)上部液體壓力幅值小,因此,泡團(tuán)上部向外擴(kuò)張更為迅速,如圖1 中6.52—13.24 ms 的代表性照片所示.

圖3 驅(qū)動(dòng)頻率為28 kHz 聲場(chǎng)中球狀泡團(tuán)形狀和上浮位置變化(a)泡團(tuán)半徑;(b) 泡團(tuán)相對(duì)水面深度Fig.3.Variation of the shape and uplift position of a spherical bubble cluster in the 28 kHz sound field: (a)Radius of the cluster;(b) depth of the cluster below the water surface.

本文測(cè)量了28 kHz 時(shí)12.60 ms 時(shí)刻氣泡結(jié)構(gòu)距離水面的距離,結(jié)構(gòu)中心距離水面約7 mm(0.13λ).結(jié)構(gòu)上端距離水面約5.5 mm (0.1λ),結(jié)構(gòu)下端距離水面約8.5 mm (0.15λ).粗略估計(jì)駐波場(chǎng)中結(jié)構(gòu)上下側(cè)對(duì)應(yīng)的聲壓幅值分別為1.1Pa和1.6Pa(Pa為驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)的聲壓幅值),幅值差約為0.5Pa,因此,泡團(tuán)下半部分外側(cè)液體聲壓高,氣泡聚集密度高,而上半部分聲壓較弱,氣泡擴(kuò)張更加顯著.并且隨著結(jié)構(gòu)的上浮,聲壓幅值會(huì)繼續(xù)減弱,結(jié)構(gòu)內(nèi)部壓力可能大于外部驅(qū)動(dòng)的聲壓,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)分散,不能保持較好的球狀聚集結(jié)構(gòu).當(dāng)泡團(tuán)上升到其中心與自由液面距離小于6 mm 時(shí),泡團(tuán)上部氣泡逐漸擴(kuò)散開(kāi)來(lái),且整個(gè)泡團(tuán)將逐漸向?qū)訝罱Y(jié)構(gòu)演化并保持在液面下一定深度移動(dòng)(如圖1中52.48 ms 的代表性照片所示).在球狀泡團(tuán)氣泡數(shù)密度較為稀疏的情形下,還觀察到泡團(tuán)內(nèi)有小的聚集泡團(tuán)向泡群中心移動(dòng),說(shuō)明泡團(tuán)內(nèi)部液體壓力分布不均勻.

利用視頻分析程序,我們追蹤了補(bǔ)充材料視頻1(online)中球狀泡團(tuán)上升過(guò)程中球形保持較好時(shí)間段內(nèi)的泡團(tuán)半徑以及位置隨時(shí)間變化曲線,如圖3 所示,其中聲波頻率為28 kHz.從圖3(a)給出的半徑演化曲線可以看出,在聲場(chǎng)波腹附近,由于液體內(nèi)聲壓較強(qiáng),泡群數(shù)密度高,泡團(tuán)徑向振蕩較弱,但尺寸生長(zhǎng)較為迅速,在較短的時(shí)間內(nèi)從約0.4 mm 增長(zhǎng)到0.7 mm,隨后繼續(xù)振蕩生長(zhǎng)且振蕩幅度增大,與聲周期形成較好的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即與泡團(tuán)內(nèi)氣泡的生長(zhǎng)和潰滅同步變化.受調(diào)制波影響[18],聲壓幅值周期變化,當(dāng)幅值接近或低于空化閾值,氣泡振動(dòng)幅度減弱,球狀泡團(tuán)無(wú)法顯現(xiàn),故圖3 中4—6 ms 時(shí)間段內(nèi)幾乎無(wú)法探測(cè)泡團(tuán)形狀和位置.泡團(tuán)徑向振蕩的周期性變化引起其平動(dòng)位置的起伏變化,二者相互影響.由于氣泡間耦合相互作用的影響,本文所觀察到的聚集成團(tuán)的球狀或類球狀泡群結(jié)構(gòu)的最大半徑小于2 mm.

對(duì)頻率為40 kHz 的清洗槽而言,其波長(zhǎng)比28 kHz 小,因此,高速攝像機(jī)觀察范圍變大,球狀泡群結(jié)構(gòu)首先出現(xiàn)在距離水面約11 mm (～0.31λ)位置處,尺寸大約為0.3 mm,且泡團(tuán)生長(zhǎng)規(guī)律和頻率為28 kHz 的清洗槽內(nèi)的泡團(tuán)相似,即泡團(tuán)會(huì)迅速生長(zhǎng),相比而言,在前4 ms 內(nèi),頻率為40 kHz聲場(chǎng)內(nèi)出現(xiàn)的泡團(tuán)尺寸生長(zhǎng)達(dá)到的最大半徑略小于頻率為28 kHz 聲場(chǎng)內(nèi)的泡團(tuán),其半徑約為0.5 mm.雖然圖4 中4.68 ms 時(shí)刻泡團(tuán)結(jié)構(gòu)處于波腹位置附近,按駐波場(chǎng)分析,此時(shí)聲壓幅值應(yīng)是最大,但是換能器的振動(dòng)受到市電信號(hào)的調(diào)制,聲壓幅值周期變化[18],當(dāng)聲壓幅值接近或低于空化閾值,氣泡振動(dòng)幅度減弱,球狀泡團(tuán)無(wú)法顯現(xiàn),故圖4 和圖5 中約4.68 ms 后的一小段時(shí)間內(nèi)泡團(tuán)較模糊,不易觀察,幾乎無(wú)法探測(cè)泡團(tuán)形狀和位置.從補(bǔ)充材料視頻2 (online)的代表幀視頻可以看出,在12.60 ms 還可以觀察到較好的球狀結(jié)構(gòu),之后空化場(chǎng)中的聲壓可能到了低壓范圍,氣泡振動(dòng)較弱,較難觀察氣泡結(jié)構(gòu),當(dāng)氣泡結(jié)構(gòu)再次被觀察到時(shí),其不能保持較好的球狀結(jié)構(gòu),其下部氣泡較密集,上部較稀疏.圖4 給出的代表性照片顯示隨著泡團(tuán)上部的擴(kuò)散,尺寸追蹤誤差逐漸增大,圖5中曲線可能已無(wú)法較好地反映16.20 ms 后的氣泡尺寸和位置變化.由圖5(b)知,視頻前10 ms 泡團(tuán)處在距離水面1/4 波長(zhǎng)外的位置,其能夠較好地保持球形,隨后,偏離球形越來(lái)越顯著.可見(jiàn),泡團(tuán)形狀變化可能主要源于聲軟界面(水面)的影響.在球狀泡團(tuán)上浮的過(guò)程中,靠外圍氣泡會(huì)往氣泡團(tuán)中心匯聚,如圖4 中3.62 ms 時(shí)刻對(duì)應(yīng)的情形,可在中心位置看到氣泡匯聚成的較密集小的氣泡團(tuán).向中心匯聚的同時(shí),結(jié)構(gòu)中心位置會(huì)往上緩慢移動(dòng),并且吸引周圍的氣泡補(bǔ)充結(jié)構(gòu)本身.隨后擴(kuò)展成較為完整的球狀結(jié)構(gòu),如圖4 中10.04 ms 時(shí)刻對(duì)應(yīng)的情形.對(duì)于駐波場(chǎng)而言,越靠近波節(jié)位置,聲壓幅值變化越快,隨著上浮泡團(tuán)尺寸的增大,越來(lái)越靠近水面 (波節(jié)位置),結(jié)構(gòu)頂部和底部壓力差更大,泡團(tuán)球狀結(jié)構(gòu)將無(wú)法維持,且泡團(tuán)上部液體壓力幅值小,氣泡振蕩會(huì)較弱,并且更容易向外擴(kuò)張,結(jié)構(gòu)下部分顏色較深,振蕩較強(qiáng),形成下面小,上面大的類似于傘壯結(jié)構(gòu).如圖4 中19 ms 和21.38 ms對(duì)應(yīng)的情形.

圖4 驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz 球狀泡群上浮并向?qū)訝罱Y(jié)構(gòu)演化的過(guò)程,清洗槽輸入電功率為360 WFig.4.Evolution of a spherical bubble cluster to a layer structure at 40 kHz,with an input power of 360 W to the cleaning tank.

圖5 驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz 聲場(chǎng)中球狀泡團(tuán)形狀和上浮位置變化(a)泡團(tuán)半徑;(b) 泡團(tuán)相對(duì)水面深度Fig.5.Variation of the shape and uplift position of a spherical bubble cluster in the 40 kHz sound field: (a)Radius of the cluster;(b) depth of the cluster below the water surface.

為探究超聲清洗機(jī)輸入電功率對(duì)球狀氣泡團(tuán)形成和演化過(guò)程的影響,從最大功率360 W 逐次降低36 W 進(jìn)行拍攝,發(fā)現(xiàn)當(dāng)功率降低到252 W時(shí),空化場(chǎng)中幾乎無(wú)法觀測(cè)到匯聚成的球狀氣泡團(tuán)結(jié)構(gòu).圖6 選取了功率為360,324 和288 W 三種功率下聲場(chǎng)中的泡團(tuán)上升過(guò)程的代表幀,對(duì)比發(fā)現(xiàn),隨著輸入電功率的減小,水中泡團(tuán)數(shù)量有減少的趨勢(shì),從泡團(tuán)形成的機(jī)制看,主要源于離散的氣泡的局部聚集,如圖6(c)中0—1 ms 的代表幀所示.形成的泡團(tuán)在上浮過(guò)程除了在聲波的影響下經(jīng)歷形狀振蕩外,還存在尺寸的生長(zhǎng),由于泡團(tuán)內(nèi)氣泡間相互作用的影響,結(jié)構(gòu)具有一定的穩(wěn)定性,但隨著到水面距離的減小,橫向和縱向形變?cè)絹?lái)越顯著.總體看來(lái),功率越小,形狀穩(wěn)定性越差,越易受擾動(dòng).聲場(chǎng)中多泡團(tuán)共存也會(huì)影響其結(jié)構(gòu)演變,當(dāng)兩泡團(tuán)相互靠近時(shí),可觀察到圖6(a)的7.55 ms代表幀藍(lán)色線圈標(biāo)注的泡團(tuán)存在拖尾氣泡分布,隨后二者在水面附近融合成一個(gè)結(jié)構(gòu)并在崩潰期形成射向水面的氣泡沖流.從比較圖6(a)的12 ms代表幀、圖6(b)的10.15 ms 代表幀和圖6(c)的14.55 ms 代表幀所示的目標(biāo)氣泡團(tuán)可達(dá)到的最大可視尺寸發(fā)現(xiàn),此3 種功率條件下水中類球狀氣泡團(tuán)最大穩(wěn)定尺寸差異不大.

圖6 驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz,不同清洗槽輸入電功率條件下球狀泡群上浮過(guò)程代表幀照片(a)360 W;(b) 324 W;(c) 288 WFig.6.Photographs of representative frames of the upwelling process of spherical bubble cluster under different power conditions with driving frequency of 40 kHz: (a)360 W;(b) 324 W;(c) 288 W.

3 理論模型

為研究水面下球狀泡群結(jié)構(gòu)演變機(jī)理,引入考慮邊界影響的球狀泡群理論模型.水-空氣界面的聲反射系數(shù)AR=-1 (軟邊界).根據(jù)鏡像原理[22],構(gòu)建真實(shí)泡團(tuán)和鏡像泡團(tuán)組成的雙球狀泡團(tuán)系統(tǒng),如圖7 所示,其中鏡像氣泡團(tuán)中氣泡的振動(dòng)與真實(shí)氣泡團(tuán)中的氣泡錯(cuò)相振蕩,為簡(jiǎn)化分析,在方程中引入自由液面聲反射系數(shù)考慮像泡團(tuán)的影響,如方程(5)所示.若換能器聲輻射超聲場(chǎng)振幅為Pa,則反射場(chǎng)振幅為ARPa,形成駐波場(chǎng).

圖7 模型示意圖Fig.7.Schematic diagram of the model.

考慮空化氣泡次級(jí)聲輻射影響,其輻射聲壓可表示為[23]

其中ρ 是液體密度,r是氣泡中心和空間中任何一點(diǎn)之間的距離,R是氣泡的瞬時(shí)半徑.為簡(jiǎn)化分析,考慮球狀泡團(tuán)內(nèi)氣泡為全同振蕩[9],球狀泡群中氣泡動(dòng)力學(xué)方程為

式中P0為環(huán)境壓力,γ為氣體絕熱指數(shù),η 和σ 分別為黏滯系數(shù)和表面張力,聲壓Ps可以表示為

其中前兩項(xiàng)表示驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)和經(jīng)過(guò)水面反射后的聲場(chǎng),第3 項(xiàng)為鏡像泡團(tuán)次級(jí)聲輻射,Pa和f分別為驅(qū)動(dòng)聲壓幅值和頻率.耦合系數(shù)S為[24]

式中di是鏡像泡團(tuán)中氣泡與真實(shí)泡團(tuán)中氣泡之間的距離,N為泡團(tuán)中氣泡總數(shù),a為泡團(tuán)中心到水面的距離.參考等效勢(shì)分析氣泡鏈結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究方法[10],本文將分析球狀氣泡團(tuán)最佳穩(wěn)定半徑.等效勢(shì)U可以表示為[10]

式中V為氣泡的體積,Pint為氣泡受到其他泡的次級(jí)輻射壓強(qiáng),〈·〉 表示時(shí)間平均.

4 數(shù)值分析

4.1 模型對(duì)比

基于氣泡動(dòng)力學(xué)方程(2)可分析氣泡的聲響應(yīng).數(shù)值分析所用參數(shù)設(shè)為: ρ=998 kg/m3,σ=0.0725 N/m,c=1500 m/s,η=0.001 kg/(m·s),P0=101 kPa,γ=1.4.考慮邊界和不考慮邊界情形下氣泡歸一化半徑隨時(shí)間變化曲線,如圖7 所示.根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察,設(shè)定聲波頻率28 kHz 時(shí),泡群與水面間距a=11 mm;而40 kHz 時(shí),a=9 mm.根據(jù)實(shí)驗(yàn)視頻粗略估計(jì)了泡團(tuán)內(nèi)氣泡數(shù)密度約在1013m-3的數(shù)量級(jí).估計(jì)方法如下: 根據(jù)每一幀照片中氣泡團(tuán)的輪廓估計(jì)氣泡團(tuán)的半徑,根據(jù)氣泡團(tuán)內(nèi)部黑色像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及每個(gè)像素點(diǎn)的大小估計(jì)泡團(tuán)內(nèi)氣泡的個(gè)數(shù),然后用個(gè)數(shù)除以氣泡團(tuán)的體積.

泡團(tuán)越靠近波腹 (距離水面1/4 波長(zhǎng)),驅(qū)動(dòng)聲壓越大,氣泡的振蕩越劇烈;越靠近水面位置,聲壓幅值越小,氣泡的振動(dòng)越弱,如圖8 所示.在考慮邊界影響時(shí),盡管可能存在彼此的振動(dòng)抑制效應(yīng),但在不考慮其他影響因素的情形下,駐波場(chǎng)內(nèi)最大聲壓幅值可達(dá)行波場(chǎng)的2 倍,因此,可觀察到同樣的驅(qū)動(dòng)壓力幅值下考慮邊界影響時(shí)氣泡振動(dòng)更強(qiáng) (圖8(a)).同時(shí)還發(fā)現(xiàn),在驅(qū)動(dòng)壓力差異不大的情形下,中心氣泡達(dá)到最小半徑的時(shí)刻差異不大,意味著在低聲壓區(qū)氣泡可能存在同步崩潰的現(xiàn)象,但隨著驅(qū)動(dòng)壓力增大到150 kPa,崩潰時(shí)刻后移,即存在相位落后.泡群內(nèi)氣泡崩潰相位差異可能源于高氣泡數(shù)密度導(dǎo)致的強(qiáng)耦合效應(yīng).驅(qū)動(dòng)聲波頻率40 kHz 時(shí),氣泡振動(dòng)行為與28 kHz 時(shí)基本一致(圖8(c),(d)).

圖8 泡團(tuán)中心處氣泡半徑隨時(shí)間變化曲線,n=9×1012.f=28 kHz,a=11 mm,R0=6 μm(a)考慮邊界;(b)不考慮邊界.f=40 kHz,a=9 mm,R0=5 μm(c)考慮邊界;(d)不考慮邊界Fig.8.Bubble radius at the center of the bubble cluster versus time,n=9×1012: (a)With and (b) without considering the impacts of soft boundary,f=28 kHz,a=11 mm,R0=6 μm;(c) with and (d) without considering the impacts of soft boundary,f=40 kHz,a=9 mm,R0=5 μm.

4.2 形狀穩(wěn)定性分析

根據(jù)(6)式分析球狀泡團(tuán)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.在頻率為28 kHz 的駐波場(chǎng)中,泡群處在距離液面深度分別為7,8,9 和10 mm 位置時(shí)泡群內(nèi)中心位置初氣泡振動(dòng)對(duì)應(yīng)的等效勢(shì)隨泡群半徑的分布情況如圖9(a)所示,在半徑小于3 mm 的范圍內(nèi),等效勢(shì)呈現(xiàn)出起伏變化的特征,勢(shì)能的最低點(diǎn)出現(xiàn)在1—2 mm 之間,此即為泡群可能出現(xiàn)的最佳穩(wěn)定半徑;在小于1 mm 的范圍內(nèi),起伏變化較為密集;因此,在此范圍內(nèi)分布的泡群極不穩(wěn)定,易于生長(zhǎng)為大泡團(tuán),且隨著深度減小,紅色橢圓虛線標(biāo)度的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)右移,即泡群具有生長(zhǎng)的趨勢(shì),從整體變化情形看,球狀泡團(tuán)的穩(wěn)定平衡半徑可能處在小于2 mm 的范圍內(nèi).對(duì)聲波為40 kHz 的駐波場(chǎng)而言,其泡群等效勢(shì)變化和28 kHz 聲場(chǎng)結(jié)果具有相似性,但對(duì)應(yīng)最佳穩(wěn)定半徑略小,與實(shí)驗(yàn)觀察到的球狀泡團(tuán)半徑尺寸變化趨勢(shì)以及范圍具有很好的一致性.因此,盡管在分析過(guò)程中選取泡群內(nèi)氣泡半徑為5 μm,數(shù)密度為9×1012,驅(qū)動(dòng)聲壓為150 kPa,但結(jié)論仍具有典型代表性.

圖9 等效勢(shì)隨球狀泡群半徑變化曲線,R0=5 μm,n=9×1012,Pa=150 kPa(a)聲波頻率28 kHz;(b) 聲波頻率40 kHzFig.9.Equivalent potential versus radius of the bubble cluster,R0=5 μm,n=9×1012,Pa=150 kPa : (a)f=28 kHz;(b) f=40 kHz.

由于泡群在上浮過(guò)程中泡群內(nèi)氣泡數(shù)密度和聲波壓力幅值都會(huì)發(fā)生變化,因此,有必要考慮壓力幅值變化可能形成的影響,數(shù)值分析結(jié)果如圖10所示.隨著驅(qū)動(dòng)聲壓從80 kPa 增大到180 kPa,對(duì)應(yīng)的最佳穩(wěn)定半徑整體有減小的趨勢(shì);但當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓幅值為80 kPa 時(shí),由于氣泡振動(dòng)相對(duì)弱,其等效勢(shì)較小,且28 kHz 聲場(chǎng)內(nèi)等效勢(shì)的起伏變化主要分布在小于1.5 mm 的范圍內(nèi),這和我們?cè)诰嚯x水面附近的層狀結(jié)構(gòu)內(nèi)仍可觀察到較小的聚集氣泡團(tuán)行為具有很好的一致性,即在較弱的驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)中的多氣泡分布區(qū)域仍可觀察到較小尺寸的球狀泡團(tuán)聚集行為發(fā)生,且這類球狀泡團(tuán)極不穩(wěn)定,在形成后很快向聲壓更小的區(qū)域移動(dòng),如圖2 中52.48 ms 的代表幀中紅色虛線圓標(biāo)識(shí)的泡團(tuán),以及圖4 中48.64 ms 橢圓虛線包圍的范圍內(nèi)的顏色較深的團(tuán)狀物所示.驅(qū)動(dòng)壓力越高,氣泡的振動(dòng)越強(qiáng),等效勢(shì)的絕對(duì)值越大,且在驅(qū)動(dòng)壓力為180 kPa 是在1—2 mm 范圍出現(xiàn)雙谷點(diǎn)現(xiàn)象,說(shuō)明高聲壓環(huán)境下由于強(qiáng)非線性影響,球狀泡團(tuán)的穩(wěn)定尺寸可能存在多值性,因此,在強(qiáng)聲場(chǎng)中球狀泡團(tuán)的演化行為更加復(fù)雜.驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz 的駐波場(chǎng)而言,在同樣的氣泡數(shù)密度和氣泡初始半徑情形下,雖然泡群內(nèi)氣泡的振動(dòng)減弱,但是與等效勢(shì)變化相關(guān)的非線性有增強(qiáng)的趨勢(shì),因?yàn)樵隍?qū)動(dòng)壓力幅值為150 kPa 時(shí)即可觀察到“雙谷點(diǎn)”現(xiàn)象.隨著驅(qū)動(dòng)壓力的增大,虛線表示的不穩(wěn)定平衡半徑有右移的趨勢(shì),說(shuō)明在高聲壓區(qū)更易形成高密度的大尺寸泡團(tuán),這與實(shí)驗(yàn)觀察到的驅(qū)動(dòng)頻率在40 kHz 時(shí)泡團(tuán)結(jié)構(gòu)在靠近波腹位置(圖4 前10 ms)過(guò)程中迅速生長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)論一致,因此,盡管是近似的理論分析,仍能夠較好地反映實(shí)驗(yàn)變化趨勢(shì),基于等效勢(shì)分析泡群結(jié)構(gòu)能夠穩(wěn)定存在可能機(jī)制具有可行性.

圖10 驅(qū)動(dòng)聲壓幅值對(duì)等效勢(shì)的影響 (n=9×1012)(a)f=28 kHz,R0=6 μm,a=11 mm;(b) f =40 kHz,R0=5 μm,a=9 mmFig.10.Effect of driving sound pressure amplitude on equivalent potential (n=9×1012): (a)f=28 kHz,R0=6 μm,a=11 mm;(b) f =40 kHz,R0=5 μm,a=9 mm.

聲壓條件不同,聲場(chǎng)中氣泡數(shù)密度不同,泡團(tuán)內(nèi)的氣泡總量也可能不同,因此,在給定驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)條件下分析氣泡數(shù)密度變化可能形成的影響,如圖11 所示.對(duì)28 kHz 和40 kHz 聲場(chǎng)而言,氣泡數(shù)密度的影響具有相似的趨勢(shì),即隨著氣泡數(shù)密度的增大,對(duì)泡群內(nèi)氣泡振動(dòng)的抑制作用增強(qiáng),氣泡振動(dòng)減弱,因此等效勢(shì)減小,故等效勢(shì)谷點(diǎn)處的值越小,谷點(diǎn)對(duì)應(yīng)的泡群穩(wěn)定半徑越小,說(shuō)明高密度泡團(tuán)具有更小的穩(wěn)定半徑,這與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果也具有很好的一致性,即泡團(tuán)最初出現(xiàn)時(shí)顏色更深,氣泡數(shù)密度更大,泡團(tuán)半徑越小.氣泡數(shù)密度越高,最大不穩(wěn)定平衡的臨界半徑也越小,即更容易生長(zhǎng).氣泡數(shù)密度與聲壓通常呈正相關(guān)關(guān)系[25],因此,驅(qū)動(dòng)聲壓幅值越大,氣泡數(shù)密度越高,對(duì)應(yīng)的最佳穩(wěn)定半徑會(huì)越小,也更易于受周圍聲場(chǎng)和氣泡分布環(huán)境的影響.同樣,從數(shù)密度影響也可以看出,40 kHz 情形下等效勢(shì)變化的非線性可能增強(qiáng),可能存在更大范圍的穩(wěn)定泡團(tuán)半徑區(qū).

圖11 氣泡團(tuán)數(shù)密度對(duì)等效勢(shì)的影響(Pa=150 kPa)(a)f=28 kHz,R0=6 μm,a=11 mm;(b) f =40 kHz,R0=5 μm,a=9 mmFig.11.Effect of bubble cluster number density on equivalent potential (Pa=150 kPa): (a)f=28 kHz,R0=6 μm,a=11 mm;(b) f=40 kHz,R0=5 μm,a=9 mm.

在實(shí)際的空化場(chǎng)中,由于氣泡的初始半徑在微米量級(jí),通過(guò)高速攝影技術(shù)較難分辨多氣泡聚集而成的泡團(tuán)結(jié)構(gòu)內(nèi)氣泡的大小.然而,由于氣泡的非線性振動(dòng)對(duì)初始條件非常敏感,因此,氣泡平衡半徑對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的影響不能忽略.為便于比較,選擇控制聲場(chǎng)條件和氣泡占空比,分析氣泡平衡半徑的影響,如圖12 所示.在頻率28 kHz 和40 kHz的聲波驅(qū)動(dòng)下,隨著氣泡初始半徑的減小,等效勢(shì)的低谷點(diǎn)對(duì)應(yīng)的氣泡團(tuán)半徑有增大的趨勢(shì),這說(shuō)明對(duì)于較小的氣泡更容易形成較大的穩(wěn)定的氣泡團(tuán)結(jié)構(gòu),即在水中游離的小氣泡或泡核容易在聲波的驅(qū)動(dòng)下聚集但不完全聚合成大氣泡[13].通過(guò)對(duì)比圖12(a),(b)發(fā)現(xiàn),驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz 時(shí),隨著氣泡初始半徑的增大,谷點(diǎn)位置雖右移但并不顯著,因此,可以推斷盡管球形跑團(tuán)內(nèi)可能因?yàn)榫植繗馀莸男〉膱F(tuán)簇聚集或者因碰撞或潰滅引起的尺度分布變化對(duì)球狀氣泡團(tuán)聚集穩(wěn)定性影響較小.在實(shí)驗(yàn)中觀察到大的球狀泡團(tuán)內(nèi)還有局部聚集的小氣泡團(tuán)簇朝向泡群內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,這類運(yùn)動(dòng)從某種角度講增強(qiáng)了球狀泡群聚集結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,因此,實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論預(yù)測(cè)具有較好的一致性.圖12(b)顯示隨著氣泡半徑的增大,同樣的泡群半徑情形下在等效勢(shì)絕對(duì)值有減小的趨勢(shì),且存在較為平坦的勢(shì)能谷點(diǎn)分布區(qū),說(shuō)明若泡團(tuán)氣泡平衡尺寸較大,泡團(tuán)可能更易于擴(kuò)張,但是隨著擴(kuò)張程度的增大,也極易過(guò)度到不穩(wěn)定平衡區(qū),進(jìn)而影響泡團(tuán)的整體穩(wěn)定性.因此,結(jié)合數(shù)值分析,在球狀泡團(tuán)內(nèi)氣泡最可幾平衡半徑分布在小于10 μm 范圍內(nèi),與文獻(xiàn)[26,27]預(yù)測(cè)一致.

圖12 球狀泡團(tuán)內(nèi)氣泡平衡半徑對(duì)等效勢(shì)的影響 (Pa=150 kPa)(a)f=28 kHz,a=11 mm,泡團(tuán)內(nèi)氣泡占空比為0.0081;(b) f=40 kHz,a=9 mm,泡團(tuán)內(nèi)氣泡占空比為0.0047Fig.12.Influence of the equivalent radii of small bubbles within the cluster on the equivalent potential (Pa=150 kPa):(a)f=28 kHz,a=11 mm,and void ratio of the cluster is 0.0081;(b) f=40 kHz,a=9 mm,and void ratio of the cluster is 0.0047.

5 結(jié)果與討論

基于聲空化場(chǎng)中氣泡聚集泡團(tuán)上浮過(guò)程演化行為的實(shí)驗(yàn)觀察,對(duì)距離自由液面附近1/4 波長(zhǎng)范圍內(nèi)的球狀泡團(tuán)向傘狀和層狀結(jié)構(gòu)的演化過(guò)程進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)軟界面附近駐波場(chǎng)聲壓分布對(duì)結(jié)構(gòu)演化起主導(dǎo)作用,頻率的影響相對(duì)較小.在聲壓波腹附近,泡群結(jié)構(gòu)致密且能夠保持較好的球形結(jié)構(gòu),在隨著到水面距離的減小,泡群內(nèi)上部氣泡數(shù)密度減小,氣泡分布較為稀疏.為更好地認(rèn)識(shí)水面軟界面對(duì)泡團(tuán)演化行為的影響,本文基于鏡像原理發(fā)展了雙氣泡團(tuán)理論模型,并基于等效勢(shì)對(duì)球狀泡團(tuán)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,考慮了泡團(tuán)距離水面位置、驅(qū)動(dòng)聲壓幅值和頻率、氣泡數(shù)密度以及氣泡平衡半徑的影響,發(fā)現(xiàn)理論預(yù)測(cè)的最佳穩(wěn)定半徑在1—2 mm 范圍內(nèi),且隨著驅(qū)動(dòng)聲壓幅值的增大,球狀泡團(tuán)的最佳穩(wěn)定半徑有減小的趨勢(shì),但差異不顯著,即在高壓區(qū)域容易形成較小的氣泡團(tuán)結(jié)構(gòu),但是當(dāng)壓強(qiáng)增大到一定程度時(shí),非線性增強(qiáng),可能出現(xiàn)穩(wěn)定半徑的多值性,即更容易生長(zhǎng).當(dāng)壓強(qiáng)減小到一定程度時(shí),也易于在氣泡聚集區(qū)出現(xiàn)較小的泡團(tuán)結(jié)構(gòu).氣泡數(shù)密度與聲壓幅值呈正相關(guān)關(guān)系,二者對(duì)等效勢(shì)影響趨勢(shì)相同.相比而言,頻率越高,等效勢(shì)變化的非線性可能會(huì)增強(qiáng).空化場(chǎng)內(nèi)聲壓變化十分復(fù)雜,球狀泡群除在上浮過(guò)程中還可能演化為環(huán)狀結(jié)構(gòu)等,同時(shí)其行為還可能受到周圍存在的其他氣泡聚集結(jié)構(gòu)的影響.值得一提的是,本文雖然考慮了泡團(tuán)上浮過(guò)程中位置變化的聲場(chǎng)分布影響,但是并未將泡團(tuán)平動(dòng)動(dòng)力學(xué)計(jì)入理論模型中,以此,本文的理論分析仍然是一定程度上的理論近似,在后續(xù)的工作中,我們將繼續(xù)發(fā)展考慮平動(dòng)泡團(tuán)動(dòng)力學(xué)模型,以期更好地解釋聲場(chǎng)中氣泡的聚集行為.球狀泡團(tuán)生長(zhǎng)和穩(wěn)定特性分析有助于理解聲場(chǎng)內(nèi)的氣泡團(tuán)聚行為和邊界效應(yīng),對(duì)氣泡聚集行為的調(diào)控以及在生物醫(yī)學(xué)超聲等領(lǐng)域空化場(chǎng)的應(yīng)用具有重要意義.