駐波場中環(huán)狀空化泡聚集結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析*

雷照康 武耀蓉 黃晨陽 莫潤陽 沈壯志 王成會 郭建中 林書玉

(陜西師范大學(xué),陜西省超聲學(xué)重點實驗室,西安 710062)

利用高速攝影和圖像分析技術(shù)研究頻率為40 kHz 超聲清洗槽中產(chǎn)生的環(huán)狀空化泡聚集結(jié)構(gòu)的演化過程.環(huán)狀結(jié)構(gòu)通常出現(xiàn)在波節(jié)附近,其半徑小于1/8 波長;在一個包絡(luò)波周期內(nèi),結(jié)構(gòu)經(jīng)歷建立、穩(wěn)定、消失3 個階段,結(jié)構(gòu)形貌具有穩(wěn)定性.環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)存在氣泡的輸運現(xiàn)象,且在氣泡主聚集區(qū)內(nèi)有小泡團(tuán)形成后向環(huán)內(nèi)溢出,隨后消失成離散的空化泡或泡核再次進(jìn)入氣泡輸運循環(huán).環(huán)狀結(jié)構(gòu)大小和氣泡聚集區(qū)隨時間小幅振蕩變化,且存在結(jié)構(gòu)整體旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象,主要取決于主聲場和氣泡間次級輻射場的共同作用.基于雙氣泡模型分析環(huán)狀結(jié)構(gòu)形成的物理機制,發(fā)現(xiàn)主聲場是導(dǎo)致氣泡形成環(huán)狀聚集的控制因素.基于環(huán)鏈狀模型分析了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,通過數(shù)值計算得到了類環(huán)形結(jié)構(gòu)等效勢分布,且聲壓越高的地方等效勢越高,此處氣泡越易聚集.驅(qū)動聲場越強,環(huán)鏈結(jié)構(gòu)可能越完整,但是,聲壓過高導(dǎo)致高數(shù)密度的氣泡聚集也可能破壞氣泡的環(huán)狀聚集穩(wěn)定性進(jìn)而演化成其他類型泡群結(jié)構(gòu).理論分析結(jié)果與實驗現(xiàn)象具有很好的一致性.

1 引言

超聲換能器輻射的超聲波在液體中傳播可激發(fā)空化現(xiàn)象,表現(xiàn)為空化氣泡的生長、振蕩、坍縮等一系列動力學(xué)過程[1].聲空化泡的急劇坍縮可導(dǎo)致泡內(nèi)氣體形成高溫高壓狀態(tài)[2],同時還可能在外部液體中激發(fā)高速射流[3]和沖擊波等局域極端效應(yīng),是超聲清洗、聲化學(xué)和聲致核聚變等領(lǐng)域聲能應(yīng)用的源動力.最新研究發(fā)現(xiàn),在succinonitrile-8.3%水溶液凝固過程中,不同情形下穩(wěn)態(tài)空化氣泡能夠促進(jìn)枝晶生長、枝晶臂斷裂以及吸附球狀晶生長[4].

聲波激勵下的空化氣泡振動在液體中形成次級聲輻射,擾動局域聲場分布的同時也影響鄰近空化泡的振動行為,從而,空化泡彼此耦合.因此,多空化泡體系中極易出現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)類型的空化云,主要表現(xiàn)為球狀、水母狀、海星狀、ALF (acoustic lichtenberg figure)[5,6].實驗發(fā)現(xiàn),在聲空化場中還存在一種環(huán)狀空化結(jié)構(gòu).Lauterborn 等[7]最早報道了這種由兩個中心氣泡和環(huán)狀氣泡云組成的帶有拖尾的特殊空化云結(jié)構(gòu).隨后,Hatanaka 等[8]使用水聽器測量了超聲換能器在容器中產(chǎn)生的空化場的等效聲壓分布,并使用高速攝像機記錄了容器中產(chǎn)生的半圓形空化結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)空化結(jié)構(gòu)環(huán)繞壓力波節(jié)存在.Mettin 等[5]在駐波聲場中觀察到了環(huán)繞壓力波節(jié)但也更加靠近壓力波腹的環(huán)狀氣泡結(jié)構(gòu),并發(fā)現(xiàn)該環(huán)狀結(jié)構(gòu)在更高的聲壓下會轉(zhuǎn)變?yōu)殡p層結(jié)構(gòu).為更好研究氣泡的聚集行為,Fatjó等[9]使用高速攝像機記錄了直徑僅為15.9 mm 的小尺寸超聲變幅桿與玻璃器壁間的薄層液體中形成的環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)及其中心的空化泡團(tuán),發(fā)現(xiàn)環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)能在超聲變幅桿表面產(chǎn)生環(huán)狀空蝕,并用分析力學(xué)理論建立了確定空化結(jié)構(gòu)位置的方法.Yamashita 等[10]使用高速攝像機記錄了氧氣過飽和水中產(chǎn)生的類環(huán)狀空化結(jié)構(gòu),使用粒子圖像測速方法研究氣泡速度場和液體速度場與水中氧氣無量綱過飽和度之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)氣泡數(shù)密度過高時可能影響聲場局域分布，從而破壞類環(huán)狀空化結(jié)構(gòu).研究表明,液體中同軸平行環(huán)狀泡的耦合振動在其軸線上產(chǎn)生了局部高強度平面波場,并發(fā)現(xiàn)該氣泡系統(tǒng)的集體諧振頻率降低[11],因此,液體內(nèi)空化泡的環(huán)狀聚集也可能對局域聲場形成重要影響.

為探索多氣泡體系可能形成的耦合空化影響,研究者們基于泡群結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行理論探索,分析其潛在的動力學(xué)效應(yīng).Zhang 等[12]使用氣泡動力學(xué)統(tǒng)一理論建立了研究中心氣泡和環(huán)形氣泡云之間相互影響的數(shù)學(xué)模型,發(fā)現(xiàn)中心氣泡的振動會受到環(huán)形氣泡云的阻礙,表現(xiàn)為振動周期延長、坍縮造成的能量損失降低[13].Wu 等[14,15]研究了薄層液體中空化結(jié)構(gòu)的演化過程,發(fā)現(xiàn)超聲頻率、液體層厚度等因素可影響薄層液體中環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.李凡等[16]建立了薄層液體中環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)的理論模型,通過分析空化結(jié)構(gòu)中氣泡所受次Bjerknes 力發(fā)現(xiàn)氣泡初始半徑、驅(qū)動聲波的頻率和壓強會影響環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.Bai 等[17,18]通過高速攝影與圖像分析技術(shù)研究了附著在壁面上的亞毫米氣泡的圓形環(huán)繞運動,發(fā)現(xiàn)游移氣泡的軌跡在氣泡陣列的形狀等多種因素的共同影響下表現(xiàn)出不穩(wěn)定、不規(guī)則、不光滑的特點.此外,也有學(xué)者從其他方面研究該問題.許龍和汪堯[19]使用Fluent 軟件建立雙泡耦合超聲空化三維有限元仿真模型,并監(jiān)測空化泡內(nèi)部與周圍液體中的壓強變化,發(fā)現(xiàn)雙泡間的耦合會抑制空化泡的擴張、增強空化泡的能量轉(zhuǎn)換能力并加劇空化現(xiàn)象.Zhang 等[20]考慮了耦合雙泡的平移現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)氣泡徑向脈動的無序性可能由其非線性平移引起,即氣泡的平動會影響其脈動.Wu 等[21]考慮了主Bjerknes 力、拖曳力和附加質(zhì)量力等力的影響,使用歐拉-拉格朗日方法追蹤氣泡的遷移軌跡,成功模擬了超聲變幅桿下產(chǎn)生的錐形空化結(jié)構(gòu).這些研究為認(rèn)識氣泡間相互作用機制提供了強有力的理論和實驗支持,但是,在體空化聲場中環(huán)形氣泡聚集的內(nèi)在物理機制尚不清晰,有必要通過進(jìn)一步的實驗觀察表征其演化行為.

本文通過高速攝像機對空化氣泡環(huán)形聚集結(jié)構(gòu)進(jìn)行實驗觀察,基于圖像分析表征環(huán)狀聚集氣泡的行為演化特征,重點關(guān)注環(huán)狀結(jié)構(gòu)出現(xiàn)位置和環(huán)內(nèi)小氣泡團(tuán)運動軌跡等.考慮氣泡次級聲輻射的時間延遲效應(yīng),建立環(huán)鏈狀氣泡分布理論模型得到修正的氣泡動力學(xué)方程,并以此分析泡群結(jié)構(gòu)等效勢的空間分布.本研究有助于理解多氣泡形成環(huán)狀穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的物理機制,可為聲空化應(yīng)用相關(guān)的聲場調(diào)控方案制定提供理論和實驗支持.

2 環(huán)形結(jié)構(gòu)的空化泡聚集行為的實驗觀察

觀察聲空化場中環(huán)狀氣泡結(jié)構(gòu)演化過程的實驗裝置主要由超聲清洗機、透明亞克力水缸、高速攝像機、強光光源、水聽器和示波器組成,如圖1所示.以亞克力水缸底面幾何中心為原點建立笛卡爾坐標(biāo)系O-xyz,亞克力水缸底面與超聲清洗機底面之間的距離為5.08 cm,超聲清洗機中水面高度為5.20 cm,亞克力水缸中的水面高度為22.50 cm.超聲清洗機(深圳市佳源達(dá)科技有限公司)的工作頻率為40 kHz,最大電功率為360 W.在強光光源(上海兆季電子科技有限公司)的照明下用高速攝像機(i-SPEED 727,iX Cameras Ltd.UK)以每秒5 萬幀的幀率觀察透明水缸(9.42 cm×9.43 cm×29.50 cm)的去離子水中的環(huán)狀空化結(jié)構(gòu);用水聽器(Miniature Hydrophone Type 8103,Bruel &Kjar,Denmark)測量液體內(nèi)的空化信號.實驗時水溫保持為26 ℃,僅開啟超聲清洗機約80%的最大功率以避免過強的超聲損壞水聽器.圖2(a)中黃色線條為液體內(nèi)空化信號波形,具有典型的周期性分布特性[22],紅色線條和黑色線條分別為該信號的上側(cè)包絡(luò)線和下側(cè)包絡(luò)線.受市電信號造成的工頻干擾的影響[22,23],紅色包絡(luò)線的頻譜(圖2(c))中存在頻率約100 Hz 的調(diào)制波;空化信號中基頻約為38.15 kHz,略低于清洗機預(yù)設(shè)頻率40 kHz;除此之外還可觀察到二分頻、二分之三倍頻和二倍頻等頻率成分的波(圖2(b));調(diào)制波的二倍頻和三倍頻成分幅度較高(圖2(c)),說明該頻率的調(diào)制波倍頻成分也是聲場內(nèi)的空化信號的重要組成部分.聲空化場內(nèi)的聲信息復(fù)雜,還包含和差頻波成分,因此,其幅度譜中除了主峰外,還包含了較為豐富的邊帶峰值,其相鄰峰值之間相距約100 Hz.

圖1 實驗裝置示意圖Fig.1.Schematic diagram of experimental apparatus.

圖2 液體的空化信號(a)波形圖(紅色和黑色曲線分別為空化場信號的上下包絡(luò)線);(b) 空化信號幅度譜;(c) 空化信號上包絡(luò)線的幅度譜Fig.2.Cavitation signal of liquid: (a)Waveform diagram (the red and black curves are the upper and lower envelope lines of the cavitation field signal,respectively);(b) amplitude spectrum of cavitation signal;(c) amplitude spectrum of envelope on cavitation signal.

環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的位置大約在z=20.7 cm處,其直徑約5.7 mm,圖3 給出了環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)演化時序圖,相鄰兩幀的時間間隔為0.02 ms,每5 幀大致對應(yīng)4 個聲周期[24].圖像分析表明,該結(jié)構(gòu)主要由兩個半弧形結(jié)構(gòu)組成且氣泡分布不均勻,存在局部聚集密度較高的區(qū)域,從補充材料視頻1(online)觀察可發(fā)現(xiàn)氣泡從氣泡分布極為稀疏的區(qū)域I 沿環(huán)狀分布結(jié)構(gòu)向氣泡聚集區(qū)II 移動,進(jìn)而導(dǎo)致該區(qū)域氣泡數(shù)密度增大,氣泡聚合或聚集成小泡團(tuán)的概率增大,聚集而成的小泡團(tuán)在主聲場作用下向環(huán)結(jié)構(gòu)中心位置方向移動,隨后消失.因此,分析認(rèn)為,氣泡聚集區(qū)域聲壓相對較高,氣泡分布極為稀疏的區(qū)域聲壓較低,可近似認(rèn)為在聲波節(jié)附近,聲壓低到一定程度時,小泡團(tuán)因聚集狀態(tài)不能維持而分散成許多離散的空化泡或泡核,這些空化泡或泡核在主聲場和環(huán)狀結(jié)構(gòu)上氣泡形成的次級輻射聲場的共同影響下重新向氣泡聚集區(qū)運動.由于小泡核更易于被近側(cè)聚集的氣泡結(jié)構(gòu)吸引,因此,可近似認(rèn)為波節(jié)兩側(cè)不發(fā)生離散的空化泡的交換,即波節(jié)兩側(cè)的弧狀環(huán)形結(jié)構(gòu)各自形成氣泡輸運循環(huán).

圖3 環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)演化時間序列(代表幀選自補充材料視頻1(online)),圖中紅色虛線用于區(qū)分上環(huán)狀結(jié)構(gòu)分布的不同區(qū)域形貌Fig.3.Ring-like cavitation structure evolution time series (representative frame selected from supplementary video 1 (online)),the red dotted line in the figure is used to distinguish the topography of different regions of the upper ring-like structure distribution.

由于駐波場中波節(jié)兩側(cè)聲壓相位相反,因此,當(dāng)上側(cè)氣泡處于膨脹期時,下側(cè)氣泡可能處于坍縮期,所以,波節(jié)線兩側(cè)氣泡聚集區(qū)內(nèi)圖案顏色深淺具有較為顯著的差異.在我們展示的代表幀內(nèi),主要表現(xiàn)為波節(jié)線上側(cè)氣泡處于膨脹期且有明顯的氣泡聚集成小泡團(tuán)的現(xiàn)象,聚集的小泡團(tuán)數(shù)量會隨著結(jié)構(gòu)存續(xù)時間的增加而小幅增加.為驗證包絡(luò)波的影響,選取間隔約為10 ms 的代表幀進(jìn)行對比分析,如圖4 所示.需要說明的是,氣泡聚集區(qū)分布位置在圖片中采用虛線橢圓進(jìn)行了標(biāo)示,氣泡聚集區(qū)內(nèi)的小泡團(tuán)的位置用實線圓予以標(biāo)示,系列圖片中深色影跡代表氣泡群結(jié)構(gòu)分布.基于照片的時序分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),環(huán)狀結(jié)構(gòu)具有較好的周期性演變特征,主要表現(xiàn)為氣泡聚集區(qū)分布位置具有一致性,當(dāng)聚集區(qū)內(nèi)周期性振動氣泡的崩潰期到來時,環(huán)結(jié)構(gòu)顏色變淺乃至消失.聚集的小泡團(tuán)的數(shù)量和分布位置可能會發(fā)生變化,由于介質(zhì)中聲壓幅值受調(diào)制波影響周期性變化,其可能減小至低于空化閾值,從而導(dǎo)致空化泡振動減弱且聚集的小泡團(tuán)消失(圖4(c),(f)).結(jié)構(gòu)可在較長時間內(nèi)穩(wěn)定地重復(fù)出現(xiàn),在一個包絡(luò)波周期內(nèi)會經(jīng)歷建立、穩(wěn)定、消失3 個階段.

圖4 包絡(luò)波周期對環(huán)形結(jié)構(gòu)演化行為的影響(虛線橢圓用于標(biāo)注氣泡聚集區(qū),實線圓圈用于標(biāo)注氣泡聚集區(qū)內(nèi)的小泡團(tuán),代表幀選自補充材料視頻1 (online))Fig.4.Influence of envelope wave period on evolution behavior of ring structure (the dotted ellipse is used to mark the bubble aggregation area,and the solid circle is used to mark the bubble clusters in the bubble aggregation area,representative frame selected from Supplementary Video 1 (online)).

使用開源軟件 Tracker 追蹤小氣泡團(tuán)的運動軌跡,如圖5 所示,其中被追蹤的小泡團(tuán)用紅色實線圓圈予以標(biāo)注,其他顏色點狀標(biāo)志線代表小泡團(tuán)運動軌跡,箭頭表示運動方向.從整體趨勢看,處于波節(jié)線上側(cè)的氣泡脫離聚集區(qū)向環(huán)內(nèi)側(cè)運動的同時,還有向與主聲場波節(jié)線垂直的環(huán)對稱軸聚集的趨勢.小泡團(tuán)間的相互吸引效應(yīng)增加了氣泡聚并概率.同理,波節(jié)線下側(cè)小泡團(tuán)也向環(huán)中心運動,即存在與上側(cè)氣泡團(tuán)相似的運動行為.不僅如此,小泡團(tuán)還可能沿著環(huán)線小幅漂移,這可能與局域聲場改變導(dǎo)致的較高氣泡密度聚集中心在環(huán)上的位置轉(zhuǎn)移有關(guān).為此,對補充材料視頻1 (online)中出現(xiàn)的空化環(huán)狀結(jié)構(gòu)的直徑、波節(jié)線上側(cè)弧形部分最高點、下側(cè)弧形部分最低點、以及不同時刻結(jié)構(gòu)上泡團(tuán)出現(xiàn)的數(shù)量和位置進(jìn)行了追蹤,追蹤總時間為6 ms,即240 個聲周期.視頻中小泡團(tuán)出現(xiàn)位置的標(biāo)注方法說明如下: 采用按30°依次對環(huán)形結(jié)構(gòu)分區(qū)并將在各區(qū)段內(nèi)環(huán)狀結(jié)構(gòu)上出現(xiàn)的小泡團(tuán)在刻度線上集中標(biāo)注,如圖6(a),(b)所示.從圖6(c)給出的z坐標(biāo)變化趨勢可以看出,環(huán)結(jié)構(gòu)的最高點和最低點位置存在一定的起伏變化,上半段弧平動距離大約1.1 cm,下半段弧平移距離約0.6 cm,因此,上半段弧受到的擾動影響更為顯著.隨著時間的推移,z方向直徑可在一定時間范圍(圖6(d)中兩垂直虛線對應(yīng)間隔)內(nèi)保持相對穩(wěn)定,但在1.5 ms和4.5 ms 附近之間出現(xiàn)了兩次階躍現(xiàn)象,表明結(jié)構(gòu)可能在上下移動或者旋轉(zhuǎn).從視頻分析看,環(huán)狀結(jié)構(gòu)并不是一個在豎直面內(nèi)結(jié)構(gòu),其與豎直面間的夾角可能隨時間發(fā)生變化,因此,這種起伏變化可能源于結(jié)構(gòu)的小幅上下移動等因素導(dǎo)致的觀察誤差.由于界面、自身氣泡次級聲輻射以及周圍氣泡或泡群結(jié)構(gòu)的次級聲輻射的影響,環(huán)結(jié)構(gòu)兩半弧段分界線可能發(fā)生偏轉(zhuǎn),結(jié)構(gòu)本身也可能發(fā)生旋轉(zhuǎn).通過跟蹤環(huán)形結(jié)構(gòu)上小泡團(tuán)出現(xiàn)的角度區(qū)域(圖6(e))我們發(fā)現(xiàn),上半段弧結(jié)構(gòu)內(nèi)小泡團(tuán)分布主要集中在30°—120°之間,下半段弧結(jié)構(gòu)內(nèi)小泡團(tuán)分布主要集中在-30°— -120°之間,具有較好的對稱性,但是,從分布的時間段看,二者之間存在較為顯著的相位差異.從分布的均勻性看,上半弧段更為均勻,這可能是因為該部分結(jié)構(gòu)更接近水面,更易于受到水面擾動影響和吸收上部區(qū)域分布的泡核有關(guān)[25,26].

圖5 小氣泡團(tuán)在環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)中的運動軌跡追蹤(代表幀選自補充材料視頻1 (online)),紅色圓圈標(biāo)注被追蹤的小泡團(tuán),其他帶箭頭的標(biāo)志線代表各氣泡團(tuán)的運動方向和軌跡Fig.5.Trajectory tracking of small bubble clusters in ring-like cavitation structures (representative frame selected from Supplementary Video 1 (online)).The red circle marks the tracked bubble clusters,and other marked lines with arrows represent the movement direction and trajectory of each bubble cluster.

圖6 環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)的演化規(guī)律,追蹤時間段為補充材料視頻1 (online)的前6 ms (a),(b)環(huán)狀結(jié)構(gòu)氣泡追蹤示意圖;(c)環(huán)狀結(jié)構(gòu)弧形頂端和底端位置變化;(d)結(jié)構(gòu)直徑變化(左右垂直虛線用于標(biāo)注直徑相對穩(wěn)定變化時間段);(e)小泡團(tuán)聚集位置所在的環(huán)結(jié)構(gòu)角度分布Fig.6.The evolution law of the ring-like cavitation structure and the tracking period are in the first 6 ms of Supplementary Video 1(online): (a),(b) Schematic diagram of ring-like structure bubble tracking;(c) changes in the position of the top and bottom of the arc of the ring structure;(d) changes in structural diameter (the left and right vertical dashed lines are used to mark the period of relatively stable change in diameter.);(e) angle distribution of a ring-like structure where small bubble clusters gather.

事實上,結(jié)構(gòu)并不是圓環(huán)狀,因此,環(huán)形氣泡結(jié)構(gòu)的直徑等參量估計只是從結(jié)構(gòu)演化的角度粗略地反映了其變化特征,但對氣泡間相互作用的認(rèn)識以及氣泡在結(jié)構(gòu)內(nèi)生長、崩潰以及輸運行為的分析具有重要的參考意義.結(jié)構(gòu)中心距離水面約為18 mm,非常接近水中40 kHz 超聲波的半波長,水面作為聲軟界面,為主聲場的波節(jié)面,因此,可推斷結(jié)構(gòu)中心位置在與水面相鄰的波節(jié)面附近.波節(jié)面兩側(cè)氣泡的動力學(xué)行為分析有利于認(rèn)識結(jié)構(gòu)本身的穩(wěn)定性和演化行為,因此,我們將以雙氣泡和環(huán)狀氣泡鏈模型為基礎(chǔ)研究氣泡的振動特性.

3 理論模型

3.1 波節(jié)兩側(cè)雙氣泡間的相互作用

設(shè)一對耦合振動氣泡對稱分布在駐波波節(jié)兩側(cè),如圖7 所示,氣泡中心連線中點C處在波節(jié)線上.此時氣泡振動方程為[27,28]

圖7 波節(jié)兩側(cè)雙泡相互作用示意圖Fig.7.Diagram of two bubbles located on both sides of the wave node.

下標(biāo)i,j是氣泡編號,且i,j ∈(1,2),ij;(1)式等號右側(cè)最后一項代表氣泡j作用在氣泡i上的次級輻射聲壓,可記為Pint/ρ;ρ和c分別為水的密度和聲速;p∞為無窮遠(yuǎn)處的靜壓強;Ri為氣泡瞬時半徑;Mi=/c為馬赫數(shù).氣泡壁外側(cè)液體壓力pli=pg(R,t)-/Ri-2σ/Ri,其中η和σ分別是液體黏度系數(shù)和表面張力系數(shù);pg=/(Vi-b)+pv為泡內(nèi)氣體壓力,μ為泡內(nèi)氣體摩爾數(shù),b為泡內(nèi)氣體的范德瓦耳斯常數(shù),T為泡內(nèi)氣體溫度,為理想氣體常數(shù),Vi為氣泡體積,pv為泡內(nèi)氣體的飽和蒸氣壓.驅(qū)動聲壓pz=2pAsin(kx)sin(2πft),其中k=2πf/c為波數(shù),f為驅(qū)動頻率,pA為壓力幅值,tRi=Ri/c.R0為氣泡初始半徑.氣泡所受的主Bjerknes 力、次Bjerknes力以及其合力分別為[29]

其中dij為從氣泡i指向氣泡j的矢量,其模表示氣泡間距,〈·〉 為時間周期平均.

3.2 波節(jié)處的環(huán)形氣泡鏈

位于yoz平面內(nèi)的環(huán)形氣泡鏈如圖8(a)所示.假設(shè)N個互相耦合的初始狀態(tài)一致的氣泡在環(huán)形氣泡鏈圓周上均勻分布,兩氣泡之間的距離對圓心的張角為θ0,環(huán)鏈上氣泡振動的方程為

圖8 環(huán)形氣泡鏈的結(jié)構(gòu)示意圖(a)氣泡在環(huán)形氣泡鏈上的分布示意圖;(b)計算等效勢能θ 方向分布的示意圖;(c)計算等效勢能徑向分布的示意圖Fig.8.Structural diagram of the ring bubble chain: (a)Distribution diagram of the bubble on the ring bubble chain;(b) schematic diagram for calculating the distribution of the equivalent potential in the direction of θ;(c) schematic diagram for calculating the radial distribution of the equivalent potential.

其中下標(biāo)i,j代表氣泡的編號,且i,j ∈(1,2,···,N),ij;rij為氣泡i指向氣泡j的矢量,其模表示氣泡間距.Pint為除氣泡i外的所有氣泡的次級輻射聲壓在氣泡i處的疊加,則氣泡i處的等效勢能和其所受次Bjerknes 力為[27]

圖8(b),(c)給出了考慮氣泡在環(huán)鏈方向或者徑向發(fā)生偏離時的等效勢能計算示意圖,數(shù)值計算參數(shù)設(shè)置如下[1]:c=1500 m/s,ρ=1000 kg/m3,p∞=1 atm (1 atm=1.01×105Pa),η=0.001 Pa·s,σ=0.072 N/m,b=0.032 L/mol,pv=2338 Pa,=8.314 J/(mol·K),R0=4.5 μm.

4 結(jié)果討論

4.1 波節(jié)兩側(cè)氣泡受力特征分析

為更好地與前文實驗結(jié)果對照,基于圖2 信號分析結(jié)果,后文中數(shù)值計算所取聲波頻率為38.15 kHz.根據(jù)圖4 中展示的環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)在10 ms 周期中穩(wěn)定存在的時間占比,結(jié)合圖2(a)中的空化信號幅度分析估算超聲清洗機以最大功率運行下環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)穩(wěn)定存在時波腹處的平均有效聲壓約為1.310 atm,故取pA=0.655 atm .在駐波場中λ/4 范圍內(nèi)空化泡所受主Bjerknes 存在4 個零點,即存在主Bjerknes 符號變化的3 個區(qū)間,因此處在駐波場相鄰波腹波節(jié)間的氣泡隨位置變化可表現(xiàn)出不同的運動變化趨勢[30].圖9(a)顯示波節(jié)(z=20.7 cm)附近主Bjerknes 力較小且基本呈線性增長,波節(jié)兩側(cè)氣泡受力方向相反,在環(huán)狀結(jié)構(gòu)分布的范圍內(nèi)波節(jié)面兩側(cè)還各存在一個力零點,即力可能在此位置附近改變方向,氣泡相對于波節(jié)面的運動速度變化趨勢將受到影響.由圖9(b)知次Bjerknes 力遠(yuǎn)小于主Bjerknes 力,但是在波節(jié)位置處次Bjerknes 力隨氣泡間距的減小而迅速增強并會超過主Bjerknes 力.因此,在波節(jié)面附近極小的區(qū)域內(nèi),氣泡間的相互作用主要由次Bjerknes 力控制,且兩氣泡受力方向相反,二者之間表現(xiàn)為吸引作用,然而,隨著距離的小幅增大,氣泡間的相互作用很快過渡到主Bjerknes 力占主導(dǎo)地位且表現(xiàn)為相互排斥的情形,這就是在波節(jié)附近較難以觀察到氣泡聚集的原因,如圖9(c)內(nèi)放大圖所示.并且,在波節(jié)以外的區(qū)域,隨兩氣泡間距增大,氣泡間的相互作用力有增大的趨勢,即二者排斥作用增強,但在超過距離波節(jié)約8 mm后(即波節(jié)(z=20.7 cm)右側(cè)的第一個峰值點),排斥力的影響減弱,逐漸過渡到吸引區(qū),由此,我們預(yù)測環(huán)半徑小于8 mm,實際觀察到環(huán)半徑約為3 mm,小于理論預(yù)測半徑,這可能與我們設(shè)置的驅(qū)動壓力幅值和氣泡平衡半徑有關(guān),還可能與環(huán)面傾斜有關(guān).基于雙氣泡在駐波場內(nèi)相互作用的理論分析能夠很好地解釋環(huán)鏈結(jié)構(gòu)尺寸形成的內(nèi)在機制.

圖9 波節(jié)兩側(cè)對稱耦合雙泡在駐波場中的受力情況(a)所受的主Bjerknes 力;(b)次Bjerknes 力;(c)主Bjerknes 力與次Bjerknes 力的合力Fig.9.The force of a symmetrically coupled double bubble on both sides of the node in a standing wave field: (a)The primary Bjerknes force;(b) the secondary Bjerknes force;(c) the resultant of the primary Bjerknes force and the secondary Bjerknes force.

4.2 駐波場中環(huán)形氣泡鏈結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析

雙氣泡模型能有助于預(yù)測環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)可能的最大半徑,但結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性存在的機制還不清晰,因此,基于圖8 所示環(huán)鏈模型進(jìn)一步討論氣泡間的耦合作用.數(shù)值計算參數(shù)與4.1 節(jié)相同.根據(jù)圖3 中的分析,假設(shè)環(huán)形氣泡鏈的直徑D為λ/4 .為簡化分析,設(shè)環(huán)形氣泡鏈上均勻分布80 個氣泡,利用(6)式計算等效勢能在θ 方向與徑向分布.圖10中藍(lán)色空心圓點代表氣泡所處位置,黑色點線為等效勢分布,0°和180°處為波節(jié)平面.對直徑為λ/4的環(huán)鏈而言,其上每個氣泡都位于等效勢的勢阱中,即氣泡可在半徑一定的環(huán)鏈上保持位置穩(wěn)定;但是不同位置處等效勢能值存在較大差異.波節(jié)附近的氣泡的等效勢能幾乎為0;隨著偏離波節(jié)距離的增加,由于聲壓增大,氣泡的振動增強,等效勢隨之增大.此外,等效勢的變化還與氣泡間的相互作用密切相關(guān),氣泡間耦合振動的彼此增強或抑制效應(yīng)也會影響等效勢的大小.因此,在±90°處氣泡振動最強,等效勢最高.振動較強區(qū)域氣泡聚并機率變大,形成的大氣泡可能吸引周圍小氣泡向其匯集,進(jìn)而出現(xiàn)實驗觀察到的氣泡輸運現(xiàn)象.

圖10 等效勢在環(huán)形氣泡鏈圓周上θ 方向的分布(a)圓周上的分布;(b) 90°附近的分布;(c) 270°附近的分布Fig.10.The distribution of the equivalent potential in the θ direction along the circumference of the ring bubble chain: (a)The distribution on the circumference;(b) distribution near 90°;(c) distribution near 270°.

在r ∈(0,D) 范圍內(nèi)計算每個氣泡的等效勢能的徑向分布以及每個氣泡的歸一化等效勢能的徑向分布.為了進(jìn)一步探索超聲清洗機輸出功率對環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響,在數(shù)值計算中分別取pA為0.217 atm,0.655 atm,0.755 atm,所得結(jié)果如圖11 所示.等效勢能在圓周上的徑向分布呈現(xiàn)良好的類環(huán)形結(jié)構(gòu),總體表現(xiàn)為±90°附近角度范圍內(nèi)等效勢最強.從歸一化的等效勢分布圖看,隨著聲壓的增加,環(huán)形結(jié)構(gòu)越完整,而0.217 atm 的低聲壓情形下環(huán)形結(jié)構(gòu)主要分布在波節(jié)線的上部,且存在多個同心的平行半環(huán).低聲壓下氣泡振動弱,氣泡相對難以聚集,若能形成環(huán)狀聚集,可能極不穩(wěn)定,有向平面結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的趨勢[16].隨著聲壓增加到0.655 atm,觀察到不完整的分段弧形組成的環(huán)狀結(jié)構(gòu),在更高聲壓0.755 atm 作用下,可觀察到完整的環(huán)結(jié)構(gòu).實驗比較了超聲波清洗機不同輸入電功率情形下距離水面約一個波長處的環(huán)狀聚集行為,發(fā)現(xiàn)在較低的聲功率下可以觀察到氣泡數(shù)密度較低的類環(huán)狀空化結(jié)構(gòu),且隨著輸入電功率的增大,結(jié)構(gòu)越來越完整,但是,過高的輸入功率也可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)潰散或演化成球狀泡團(tuán)聚集結(jié)構(gòu),詳見補充材料視頻2 (online).需要特別說明的是,從實驗觀察看,氣泡的數(shù)密度和我們選定的環(huán)鏈氣泡數(shù)N=80 相比要高得多,但是,基于環(huán)鏈理論模型的分析與實驗觀察具有很好的一致性,說明此簡化模型在一定程度上可以反映環(huán)鏈上氣泡間相互作用以及氣泡與聲場間的相互作用機制.

圖11 環(huán)形氣泡鏈上等效勢的徑向分布(a),(b),(c) 等效勢的徑向分布;(d),(e),(f)歸一化等效勢的徑向分布;(a),(d) pA=0.217 atm;(b),(e) pA=0.655 atm;(c),(f) pA=0.755 atmFig.11.The radial distribution of the equivalent potential on the ring bubble chain: (a),(b),(c) The radial distribution of the equivalent potential;(d),(e),(f) the radial distribution of the normalized equivalent potential;(a),(d) pA=0.217 atm;(b),(e) pA=0.655 atm;(c),(f) pA=0.755 atm.

5 結(jié) 論

本文基于高速攝影和圖像分析技術(shù)對環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)在超聲空化場中的演化行為進(jìn)行實驗觀察,發(fā)現(xiàn)環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)中心通常位于波節(jié)處,可以較長時間內(nèi)穩(wěn)定地重復(fù)出現(xiàn),在一個包絡(luò)波聲周期內(nèi)會經(jīng)歷建立、穩(wěn)定、消失3 個階段.環(huán)形結(jié)構(gòu)上與環(huán)內(nèi)區(qū)域形成氣泡輸運循環(huán),即在主聚集區(qū)形成的小泡團(tuán)向環(huán)內(nèi)運動至聲壓較低處消失形成許多離散的空化泡或泡核又重新回到環(huán)狀結(jié)構(gòu)中.基于波節(jié)兩側(cè)的雙氣泡模型分析了結(jié)構(gòu)生成的物理機制,發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與駐波聲場分布以及氣泡相互作用密切相關(guān).基于簡化的環(huán)狀鏈?zhǔn)娇栈Y(jié)構(gòu)理論模型,從耦合振動的氣泡間的等效勢能出發(fā),分析了駐波場中環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.結(jié)果表明,半徑接近1/8 波長的環(huán)形氣泡鏈等效勢能分布可使每個氣泡都穩(wěn)定于勢阱中,徑向分布呈現(xiàn)類環(huán)形勢壘結(jié)構(gòu),與氣泡環(huán)狀空化結(jié)構(gòu)形狀一致.高聲壓可激發(fā)更劇烈的氣泡振動形成更高的等效勢分布,此處氣泡聚集事件更易發(fā)生.過強的聲場可能破壞等效勢能徑向分布的類環(huán)形結(jié)構(gòu),即環(huán)形氣泡結(jié)構(gòu)崩潰.氣泡環(huán)狀聚集行為的觀察和理論分析有利于認(rèn)識聲空化場中氣泡的聚集演化行為,也可為空化場的調(diào)控提供參考.此外,市電信號可形成工頻干擾使超聲清洗機內(nèi)液體的空化信號存在約100 Hz 的調(diào)制波,評估工頻干擾對聲空化場的時間均勻性的影響以及探究如何避免工頻干擾將成為我們后續(xù)研究的關(guān)注點之一.