薄膜微盤激射性質(zhì)*

徐宇軒 姚泰宇 鄧?yán)?陳詩枚 徐辰堯 唐文軒

(華東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241)

基于半導(dǎo)體變形微腔的定向激射效應(yīng),在各向同性薄膜中制備變形微腔,將為多功能、高集成光子有源芯片提供新的解決方案.利用二維波動光學(xué)理論,以Z 切向摻餌鈮酸鋰薄膜蚶線形微盤中的TE20,1 模式為例,分析了不同變形因子 ε 微盤的模式分布、品質(zhì)因子Q、定向激射效果D 以及龐加萊截面圖.理論模擬結(jié)果顯示,微盤變形過程中微盤周長與諧振波長的比值近似為一定值.當(dāng) ε 大于0.24 時,微盤具有較好的單向激射性,Q 值大于105;當(dāng) ε 變形因子大于0.4 時,龐加萊截面圖幾乎被混沌海區(qū)域占據(jù),Q 值低于103.因此,薄膜蚶線形微盤變形因子 ε 在0.24—0.4 之間時,微盤不僅具有高的品質(zhì)因子(Q 值為103—105),激射方向性也較高(D 值為6.45—8.32).

1 引言

光學(xué)微腔將光波局域在微腔邊緣傳播形成回音壁模式(whispering gallery mode,WGM),因其具有較高的品質(zhì)因子Q和較小的模式體積,被廣泛應(yīng)用于傳感、光頻梳、量子信息、光動力學(xué)、低閾值激光產(chǎn)生等領(lǐng)域[1-4].標(biāo)準(zhǔn)圓形微盤的激射光輸出是各向同性的,通過將微腔結(jié)構(gòu)變形,微腔內(nèi)部的回音壁模式演化為噪聲模式,進一步發(fā)展成為星形模式或者多邊形模式,最后形成定向激射[5-7].然而,隨著變形微腔的激射方向性的提高,光損耗增大,微腔Q因子降低,腔內(nèi)模式增多,激射產(chǎn)生閾值增大,嚴(yán)重影響了微腔激光的低閾值定向激射,因此研制Q值高、激射定向性強的變形微腔成為制備高功率、低閾值片上微腔激光器的熱點研究方向之一.目前,產(chǎn)生定向激射的微腔有: 量子點裝載圓形微腔[8]、螺旋形(spiral)和圓角等腰三角形(rounded-isosceles-triangle shaped)微腔、蚶線形(limacon-shaped)微盤、面狀變形(face-shaped deformed)微環(huán)等[9].螺旋形微腔和圓角等腰三角形微腔的定向激射發(fā)散角為60°—80°,Q值僅為101量級[10,11].將量子點注入到微米量級的微腔中心,當(dāng)微腔內(nèi)泵浦光波長與裝載離子增益波長范圍相匹配時,腔內(nèi)部的WGM 得到放大產(chǎn)生定向激射,此時Q因子可以高達6000,定向激射發(fā)散角為30°—40°[12,13],但在實驗上實現(xiàn)精準(zhǔn)泵浦微米量級微腔中的裝載離子難度很高.對于微腔的某些特定激發(fā)模式,可以通過將高Q值模式耦合到低Q值模式產(chǎn)生定向激射,但存在近似簡并的遠場激發(fā)模式,大大降低輸出光的方向性[14].混沌腔的Q因子較低,混沌散射使腔內(nèi)激射光易泄漏,且輻射模式隨機,但在混沌腔內(nèi)激射光傳輸?shù)牟环€(wěn)定軌道附近,存在著一些高Q值、較強增益的疤痕模式(scar mode)可以產(chǎn)生激射,激射光沿著特定路徑傳輸然后逐漸擴散到泄漏區(qū),在角動量空間形成定向激射,該特性已被應(yīng)用于混沌微腔激光器的研究[15-17].2008 年,Wiersig 和Hentschel[18]設(shè)計出一種新型的蚶線形微盤,這種微盤輪廓由ρ=R(1+εcosθ)表示,ρ是徑向坐標(biāo),θ是極角,ε是變形因子,通過調(diào)整ε的大小可以改變微腔的輪廓.盡管蚶線形微腔內(nèi)的激射線以混沌模式為主,由于高Q值疤痕模式的存在,激射光經(jīng)過微腔壁出射后,行進路徑幾乎相同,因此可產(chǎn)生較好的定向激射.2009 年,Yi 等[19]制備出R=50 μm,ε=0.43 的InGaAsP蚶線形微盤,Q值高達22000,TE 模式在 0°和140°角位置處顯示出較好的定向激射特性.2009 年,Song 等[20]在尺寸小于5 μm 的GaAs 蚶線形微腔內(nèi),裝載InAs 量子點作為增益介質(zhì),Q值大約為23000,產(chǎn)生連續(xù)單模定向激射,且激射產(chǎn)生閾值較小.因此,蚶線形微腔成為單模、低閾值片上激光器的重要構(gòu)型之一[20-22].

對于變形微腔,為了解決非對稱微腔三維模擬運算量巨大的問題,通常將其簡化為有效折射率的二維計算[23,24],并且利用龐加萊截面圖(Poincaré surface of section,PSOS)可以模擬二維情況下微腔內(nèi)射線的動力學(xué)過程[18].目前,微擾理論同樣是分析微腔光子動力學(xué)的強有力工具,當(dāng)WGM 微腔出現(xiàn)變形結(jié)構(gòu)或者存在微擾物時[25,26],在理想回音壁模式線性疊加的基礎(chǔ)上,將微擾看作非線性疊加因子,使諧振波長的量子數(shù)發(fā)生分裂,形成不同的多邊形和星形模式[27,28].

本文研究了薄膜蚶線形微盤的定向激射性質(zhì),以Z切向摻餌鈮酸鋰薄膜蚶線形微盤中的TE20,1模式為例,利用COMSOL 建立二維模型,仿真計算品質(zhì)因子、諧振波長、遠場輻射通量角分布,方向性與變形腔的變形因子的關(guān)系,揭示了激射定向性的規(guī)律.利用Julia 編程仿真微腔內(nèi)部射線的動力學(xué)特性,得到對應(yīng)于不同變形因子ε的PSOS圖,揭示了微腔的形變對Q值的影響.理論模擬結(jié)果顯示: 相同TE20,1模式下,不同ε變形微盤的諧振波長與微盤周長之比近似為一常數(shù);當(dāng)ε ＜0.16時,Q值較高,約為107,D ＜5,微盤激射單向性較差;當(dāng)ε≥0.24時,Q值顯著降低,約為106,D≥6.45,微盤激射具有良好的單向性;當(dāng)ε≥0.4,Q小于103,D≥8,微盤激射方向性進一步增強,光場從ε較小時局域在微盤邊緣區(qū)域逐漸擴散到微盤中間區(qū)域.

2 薄膜中的二維微盤理論

2.1 二維微盤中的波動光學(xué)

在二維圓形微盤中,光僅在二維平面(x,y) 內(nèi)傳播,則kz=0 時,得到二維赫姆霍茲方程:

其中,n為微盤材料的折射率,k0是真空中圓形微腔內(nèi)的光波波數(shù),ψ(r) 表示對應(yīng)模式的波函數(shù),TM 模時ψ(r)=Ez,TE 模時ψ(r)=Hz;在柱坐標(biāo)內(nèi),該赫姆霍茲方程的解在微盤內(nèi)(圓柱面內(nèi))是m階第一類貝塞爾函數(shù),在微盤外(圓柱面外)是第一類漢克爾函數(shù),即

其中m=0,1,2,··· 為方向角量子數(shù).根據(jù)場的邊界連續(xù)條件,對于TE(TM)模有[29,30]:

其中,x=k0R,R為微盤半徑大小.在二維各向同性微盤中,折射率n與方位角模式數(shù)m確定后,由(3)式和(4)式可以得到相對應(yīng)的真空波數(shù)k0的大小.

2.2 品質(zhì)因子Q

品質(zhì)因子Q作為表征光學(xué)微腔儲能和頻率選擇能力的物理參數(shù),可以被描述為[31]

其中Re(ω) 為某個模式下的諧振頻率,W為微腔內(nèi)的光場能量,P為單位時間的光場能量損失.微腔中光強I隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減[30]:

式中τ為光子在微腔內(nèi)的壽命,ω為某種光波模式對應(yīng)的光波頻率,可以用復(fù)數(shù)表示為

將(7)式代入(6)式中可以得到:

對比(6)式和(8)式可知:

因此(5)式可以寫為

根據(jù)(9)式和(10)式可以得到Q的嚴(yán)格定義:

2.3 薄膜微盤的折射率分布

目前制備變形微腔的材料主要有Si[13],InGaN[9],AlGaAs[5,6,20],Ga0.47In0.53As/Al0.48In0.52As[32],AlGa InAs/InP[33],InGaAsP[19]等各向同性半導(dǎo)體材料.利用鈮酸鋰制備的圓形微環(huán)以及圓形微盤諧振腔,Q值已經(jīng)高達到107或108量級[34-36].并且已經(jīng)在Z切向鈮酸鋰薄膜中制備出變形腔,其幾何形狀為R(φ)=,φ表示極角,R0表示微腔尺寸參數(shù),a0是形狀參數(shù),該變形腔的Q值高達106,遠場輻射集中在180°處與0°附近[37];也可以在X切向鈮酸鋰薄膜中制備圓形微腔,利用鈮酸鋰薄膜X切向的雙折射效應(yīng),產(chǎn)生與變形腔相似的定向激射效果,此時Q值達到1.2×106,遠場輻射則集中在0°與180°的角位置方向[38].因此,以Z切向摻鉺鈮酸鋰薄膜為例,研究蚶線形微腔的品質(zhì)因子、諧振波長、遠場輻射通量角分布,方向性與變形腔的變形因子的關(guān)系,不僅可以了解各向同性材料的微腔變形對定性激射的影響,也可以為鈮酸鋰薄膜變形腔的設(shè)計提供參考.

Z切向鈮酸鋰晶體薄膜切割面垂直Z軸[39-41],光被耦合進入XOY平面?zhèn)鬏?圖1 展示了鈮酸鋰晶體的XOY平面結(jié)構(gòu)具有一定對稱性,呈現(xiàn)出各向同性的特點.作為負(fù)單軸晶體,鈮酸鋰的折射率橢球為[39]

圖1 Z 切向鈮酸鋰XOY 面結(jié)構(gòu)的示意圖Fig.1.Structure diagram of Z-cut LN XOY plane.

其中,no為尋常光折射率,ne為非尋常光折射率.在Z切向鈮酸鋰微盤中,光在微盤中傳輸即相當(dāng)于在如圖所示的XOY平面內(nèi)傳播,此時鈮酸鋰微盤可以近似看作折射率為no的各向同性介質(zhì).

2.4 變形微盤定向激射及PSOS 圖像

各向同性的均勻圓形微盤產(chǎn)生的激射不具有定向性,采用非對稱的變形微盤引入內(nèi)部射線混沌模式,可以破壞激射分布的對稱性,產(chǎn)生單向性較好的定向激射[42].

PSOS 圖像是微盤內(nèi)部射線動力學(xué)情況的半經(jīng)典分析手段.PSOS 圖像中,橫坐標(biāo)為射線在微盤邊緣上反射點所對應(yīng)的方向角?與2π 的比值,縱坐標(biāo)為射線反射角χ的正弦值.PSOS 圖像只與微盤的輪廓形狀有關(guān)系,而與微盤半徑等其他參數(shù)無關(guān)[29],因此蚶線形微盤的PSOS 的分布只與決定微盤形狀的變形因子ε有關(guān).PSOS 圖像（如圖2 所示）主要包含: 混沌海(chaotic sea)、“島嶼”(islands)、KAM曲線(Kolmogorov-Arnol’d-Moser torus,KAM torus).其中,區(qū)別于混沌海模式下的射線軌跡不規(guī)則分布,“島嶼”以及KAM 曲線的形成,對應(yīng)于射線在微盤內(nèi)傳輸軌跡呈現(xiàn)周期、準(zhǔn)周期性分布;混沌海區(qū)域的射線對于初始條件非常敏感,射線經(jīng)過一定時間的傳輸,微腔邊緣對射線的反射角度會大于全反射臨界角而射出微腔.混沌海、“島嶼”、KAM曲線在PSOS 圖中相互鄰接[43,44].KAM 曲線將PSOS 圖像分割成不同的帶狀區(qū)域,最低的一條KAM 曲線將大部分混沌海區(qū)域與規(guī)則區(qū)域分割開,Q值較高模式區(qū)域位于該KAM 曲線上方,對應(yīng)sinχ較大;Q值較低模式區(qū)域則位于該KAM曲線下方,對應(yīng)sinχ較小[43,45].

圖2 PSOS 圖像,圖中散點區(qū)域為混沌海區(qū)域,橢圓形區(qū)域為“島嶼”,虛線為KAM 曲線Fig.2.PSOS image.The scattered area in the figure is a chaotic area;the elliptical area is called an “island”,the dashed line represents the KAM curve.

3 理論模擬

3.1 Matlab 輔助COMSOL 的理論模擬

利用COMSOL 仿真軟件可以模擬鈮酸鋰微盤腔內(nèi)的光傳輸模式分布.由于微盤中可以存在多個光傳播模式,因此需要對光模式所對應(yīng)的特征頻率的基準(zhǔn)值進行設(shè)置.該特征頻率基準(zhǔn)值可以通過求解(3)式或(4)式第一個解(徑向量子數(shù)為1)對應(yīng)的真空波數(shù)k0的實部得到.

以(4)式(TE 模式)中等式左側(cè)函數(shù)為例,在二維笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi),(4)式的實部(藍色線表示)與虛部(橙色線表示)的函數(shù)曲線如圖3 所示.當(dāng)橫坐標(biāo)x為實數(shù)時,(4)式實部與虛部的第一個零點相距較近(如圖3 中紅點所示),說明在該零點附近可能存在復(fù)數(shù)解,使得(4)式實部和虛部的值分別為0.雖然該零點為近似解,但是完全可以用于COMSOL 特征頻率基準(zhǔn)值的估計.通過Matlab的fzero 函數(shù)先求解(3)式或(4)式中左側(cè)函數(shù)的虛部在實數(shù)域內(nèi)的零點值,進而確定基準(zhǔn)值,再結(jié)合COMSOL 有限元法法求解特征頻率實現(xiàn)簡便、高效的仿真.

圖3 (4)式的實部與虛部在 y=0 附近的圖像Fig.3.Illustration of the real part and imaginary part of Eq.(4) near y=0 .

3.2 COMSOL 仿真參數(shù)的設(shè)置

相比于大尺寸微腔,納米量級的微腔(直徑在1.5—5 μm之間)具有較低的激射閾值、更大的自由光譜區(qū)、更高的品質(zhì)因子,對于高階的模式有很好的抑制效果[46,47].考慮到現(xiàn)實的微腔加工工藝限制與真實實驗情況,在仿真中取微盤直徑為5 μm 左右,諧振波長設(shè)為1530 nm附近,當(dāng)m=20 時,(4)式計算結(jié)果逼近于0,且在蚶線形微盤中TE偏振模式相比TM 偏振模式有更好的定向激射效果[18],因此在仿真采用蚶線形微盤中的TE20,1模式進行模擬分析.用Matlab 軟件編程求解(3)式和(4)式得到:

將計算得出的值作為COMSOL 的特征頻率,作為求解基準(zhǔn)值的依據(jù).在具體實驗中可以通過(13)式揭示的k0與R的關(guān)系,調(diào)整光的波長與微盤的加工半徑.

為了計算遠場分布,COMSOL 中提供的完美匹配層(perfectly matched layer,PML)和遠場域(far-field domain,FFD)可以實現(xiàn)有限元法對遠場模式分布的計算.考慮到實驗中摻鉺鈮酸鋰微盤光的激射波長λ在1530 nm 附近,因此取該波長對應(yīng)的鈮酸鋰折射率no=2.2118[48].蚶線形微盤輪廓表達式為

其中,R由λ的實驗值通過(13)式計算得到,x=11.3582時,λ=1530 nm,R=2.7658 μm .值得說明的是,由于x是近似估計值,并非由實際的特征頻率計算得出,且不同ε下的特征頻率大小也會發(fā)生變化,因此在實際實驗與計算中,當(dāng)R為固定值,為了產(chǎn)生TE20,1模,λ應(yīng)當(dāng)為一變量,且no的取值會隨λ變化而不同.在仿真過程中,計算得到的λ變化區(qū)間內(nèi),no的大小在2.21 附近,因此將no設(shè)置為2.2118 是合理的.

3.3 Julia 編程繪制PSOS 圖像

Julia 是一個面向科學(xué)計算的高性能動態(tài)高級程序設(shè)計語言.DynamicalBilliards.jl 庫可以模擬二維系統(tǒng)中任何一種粒子與障礙物之間的碰撞.為了計算蚶線形微盤邊界曲線方程,我們對原庫中部分函數(shù)進行重構(gòu): 重構(gòu)normalvec 函數(shù)計算碰撞內(nèi)邊界法向量;重構(gòu)distance 函數(shù)計算光子位置到微盤邊界的最短距離;重構(gòu)cellsize 函數(shù)獲取微盤邊界縱橫坐標(biāo)的最大值和最小值;使用Homotopy-Continuation 庫新建collision 函數(shù),將粒子的直線運動方程與蚶線形微盤的曲線方程聯(lián)立得到非線性方程組,計算下一次碰撞所需時間和碰撞位置的坐標(biāo);重構(gòu) _ξ函數(shù),使碰撞返回對應(yīng)的弧長函數(shù)變?yōu)榕鲎卜祷貢r對應(yīng)的方位角,作為PSOS 圖像的橫坐標(biāo);重構(gòu)bdplot_boundarymap_remake 函數(shù)并修改obstacle_axis! 獲得所需要的相圖.操作步驟中的前三項可以通過聯(lián)立蚶線形微盤方程修改碰撞邊界條件參數(shù)來實現(xiàn).在仿真中,采用200 個粒子碰撞200 次模擬200 條射線的200 次反射,然后得到PSOS 圖像.

3.4 仿真結(jié)果

3.4.1 鈮酸鋰微盤中的遠場輻射通量密度、光場模式及PSOS 模擬

利用遠場的玻印亭矢量的大小S(φ) 來描述輻射通量密度:

式中,ε0為真空介電常數(shù),μ0為真空磁導(dǎo)率,E(φ)為光波的電場分量.繪制S(φ) 可以得到遠場輻射通量密度的角分布圖,直觀反映變形微盤的定向激射效果.計算可知當(dāng)ε ＞0.45,PSOS 圖中整個區(qū)域都成為混沌海區(qū)域,因此取ε分別為0,0.04,0.08,0.12,0.16,0.20,0.24,0.28,0.32,0.36,0.40,0.45,根據(jù)(15)式計算出最大遠場輻射通量密度S(φ)max及對應(yīng)定向角φ隨ε的變化情況,計算結(jié)果如表1 所示.

表1 不同 ε 的最大遠場輻射通量密度 S(φ)max 對應(yīng)的定向角φTable 1.S(φ)max and φ with different ε .

在仿真模擬中,選取ε值為0,0.16,0.24,0.28,0.45,繪制其TE20,1模式分布圖、遠場輻射通量角分布圖和PSOS 圖,如圖4 所示.對于PSOS,因為射線具有空間反演對稱性,所以繪制sinχ ＞0 部分的圖像,即可反映射線的整體空間分布.PSOS圖中的上方紅線,對應(yīng)于TE20,1模在圓形微盤內(nèi)射線分布反射角χ0的估計值,sinχ0=0.7961,下方紅線則對應(yīng)于全反射角χc的正弦值,sinχc==0.4521[29].由圖4(e)可知,ε=0.45時,PSOS 圖中整個區(qū)域都成為混沌區(qū),因此選取ε在0—0.40范圍內(nèi),每間隔0.04 取值,同時考慮ε=0.45的情況,研究變形微腔中的諧振波長λε、微盤周長Lε、Q值、方向性D與變形因子ε之間的關(guān)系.

3.4.2 變形微腔的微盤周長Lε、諧振波長λε與變形因子ε間的關(guān)系

變形因子ε的變化直接影響微盤形狀,為了保持光場模式不變,諧振波長λε會隨ε的變化相應(yīng)發(fā)生改變.對于TE20,1模式,根據(jù)諧振頻率可以計算出與ε對應(yīng)的波長:

其中,c為光速.對(14)式進行積分,可以得到微盤周長Lε、微盤諧振波長λε隨變形因子ε增大而變化的情況,如圖5(a),(b)所示.圖5(c)中顯示λε與Lε呈線性變化關(guān)系,利用公式Lε=kλε+b擬合,得到斜率k=11.73;截距b=-0.5963 .

圖5 TE20,1 模式分布(a)微盤周長 Lε 與變形因子 ε 間的關(guān)系;(b) 諧振波長 λε 與變形因子 ε 間的關(guān)系;(c) 諧振波長 λε 與微盤周長 Lε 間存在線性變化關(guān)系Fig.5.Under the TE20,1 mode: (a)resonant wavelength λε variation with ε ;(b) microdisk’s perimeter Lε variation with ε ;(c) resonant wavelength λε variation with perimeter Lε and linear fitting.

3.4.3Q值與變形因子ε間的關(guān)系

利用有限元法計算光波TE20,1模式不同ε對應(yīng)的特征頻率,代入(11)式計算得到相應(yīng)的Q值.圖6 為蚶線形微盤處在TE20,1模式的Q值隨變形因子ε的變化曲線.

圖6 Q 值與變形因子 ε 間的變化關(guān)系Fig.6.Q variation with ε .

3.4.4 方向性D與變形因子ε間的關(guān)系

利用COMSOL 計算出TE20,1模式不同ε對應(yīng)的遠場模分布.通過遠場模的分布可以研究蚶線形微盤的定向激射問題[2,46].在天線研究中,采用遠場輻射功率最大值與平均值之比來描述定向性D,D越大說明輻射定向性越好,可以借鑒該定義描述微盤的定向激射[46]:

其中,E(φ)為φ角時遠場模的大小.(17)式中,將2π劃分成n等分時,采用離散求和形式替代積分式,由(18)式可以得到D:

其中,|E(φ)為遠場模平方的平均值.本文中取劃分?jǐn)?shù)n=721.取ε間隔值為0.01,利用(18)式計算得到如圖7 所示的曲線,揭示了定向性D隨ε的變化關(guān)系.D隨ε增大而增大,但在ε=0.16 附近,D值出現(xiàn)拐點.當(dāng)0.16＜ε ＜0.24 時,D值逐漸減小,取ε為0.16,0.18,0.20,0.22,0.24,模擬出如圖8 所示的全局遠場輻射通量S(φ) 角分布圖 .

圖7 方向性 D與ε 間的關(guān)系,ε間隔取為0.01Fig.7.Directivity D variation with ε ,ε increasing at intervals of 0.01.

圖8 ε 分別為0.16,0.18,0.20,0.22,0.24 時,以S(φ)max歸一化的 (a)全局遠場輻射通量 S(φ) 角分布圖,(b)角度在90° —270° 之間的遠場輻射通量 S(φ) 的角分布圖Fig.8.(a)Global far-field radiation flux angular distribution diagram;(b) the angular distribution of far-field radiation flux at angles between 90° and 270°,with the deformation factor ε taken as 0.16,0.18,0.20,0.22,0.24,according to the normalization of S(φ)max .

4 討論分析

4.1 微盤形變中的諧振頻率變化

由(14)式可知,蚶線形微腔的形狀由變形因子ε決定,為了保持模式分布為TE20,1,所對應(yīng)的諧振波長(頻率)會隨ε的取值不同而變化[46].根據(jù)經(jīng)典駐波近似條件,圓形微盤赤道面上的模式方向角量子數(shù)m,可以由下式計算得到[31]:

其中,λ0為真空中圓形腔內(nèi)的波長.計算m的近似值,得到m ≈25,其值大于令(4)式趨近等于0時所得的m=20.兩者間有區(qū)別是因為(19)式是在經(jīng)典駐波近似條件下計算得到的.在半經(jīng)典和量子情況下,對方向角量子數(shù)m近似值估計并不準(zhǔn)確[29],但(19)式中等式可以推廣到變形腔,可寫為

圖4 顯示諧振波長λε隨Lε的變化呈線性關(guān)系,(20)式說明了當(dāng)光波模式不變,雖然微盤形狀發(fā)生改變,但是微盤內(nèi)諧振波長λε與微盤周長Lε之比近似為一常數(shù).

4.2 微盤形變中的模式分布、Q 值及方向性D

圖4(a)中,ε=0 對應(yīng)于圓形微盤,Z切向摻餌鈮酸鋰薄膜微盤折射率分布呈現(xiàn)各向同性,光波TE20,1模式分布均勻,屬于典型的WGM,Q值高達到107以上,遠場輻射通量密度S(φ) 分布均勻,但D值小定向性差.基于半經(jīng)典理論的PSOS圖,對于圓形微盤不同角位置φ的射線,反射角χ相同,sinχ為一定值,因此圖中顯示為一條直線,全反射角以上區(qū)域(即sinχ ＞sinχc)未出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.

隨著變形因子ε增大,當(dāng)ε=0.16 時,如圖4(b)中的遠場輻射角分布圖所示,微腔的輻射呈現(xiàn)出一定的定向激射效果,圖7 中曲線的紅色部分顯示在ε=0.16附近,方向性D出現(xiàn)極值,D并未隨著ε的增大而單調(diào)遞增,反而在出現(xiàn)極大值后呈現(xiàn)下降趨勢.圖8(a)中顯示,在0.16 ≤ε≤0.24 之間,歸一化后的遠場輻射通量密度在0 ≤φ≤90°以及270°≤φ≤360°幾乎不變,但在90°≤φ≤270°之間卻變化明顯(如圖8(b)所示),ε=0.16時,在φ=0°和180°處都有較強的定向激射,呈現(xiàn)雙向激射;隨著ε值進一步增大,在φ=180°附近的激射減弱,在φ=135°,225°附近的激射增大,使得90°≤φ≤270°之間的激射總量增大,從而導(dǎo)致D的降低,激射效果從雙向激射轉(zhuǎn)變?yōu)閱蜗蚣ど?在ε=0.24附近,D對應(yīng)于極小值,180°方向上的輻射通量幾乎消失,之后隨著ε值持續(xù)增大,在φ=0°處的激射顯著增強(如表1 中所示),方向性增強的同時表現(xiàn)出單向激射.圖6 顯示了Q值隨ε值增大而變化的情況,ε ＜0.16時,Q值穩(wěn)定在107量級;ε ＞0.16時Q開始呈現(xiàn)指數(shù)式下降;當(dāng)ε=0.45 時Q值低于103.

從圖4 不同ε所對應(yīng)的PSOS 圖可以看出,ε=0.16時(如圖4(b)所示),全反射角χc以上無混沌區(qū)域,但是sinχc與sinχ0所對應(yīng)的兩條KAM 曲線已經(jīng)受到擾動產(chǎn)生變形.當(dāng)ε=0.24 時(如圖4(c)所示),sinχc已經(jīng)逼近最低一條KAM,KAM 附近的區(qū)域出現(xiàn)混沌海區(qū)域,而sinχ0附近的KAM 波動更加劇烈,其對應(yīng)的Q值降低至382618.當(dāng)ε=0.28時(如圖4(d)所示),PSOS 圖中的混沌海區(qū)域幾乎彌漫了整個區(qū)域,sinχ0與sinχc(紅色虛線)全部位于混沌海區(qū)域內(nèi),光射線經(jīng)過一段時間碰撞無法滿足全反射條件而射出微盤,導(dǎo)致了微盤內(nèi)光子壽命τ減小,Q值降低,此時微盤的Q值僅為64579,遠小于107量級.當(dāng)0.24 ≤ε≤0.28 時,微盤的Q值和相應(yīng)PSOS 圖變化較大.ε=0.45時(圖4(e)所示),PSOS 圖中整個區(qū)域都成為混沌海,僅在sinχ ≈1 附近存在規(guī)則模式,射線很容易從微盤中射出,光子壽命小,Q值進一步降低至346.61,但激射的方向性和單向性最好.與WGM不同的是,射線處于混沌狀態(tài)時,射線不僅存在于微盤邊緣區(qū)域,微盤的內(nèi)部區(qū)域也存在大量射線,相應(yīng)模式分布從僅在邊緣分布擴展至微盤的內(nèi)部.

對于變形微盤,要達到與圓形微盤相同的模式,需要增大腔內(nèi)諧振波長.高階模式對應(yīng)的nk0R值較大,且由形變引起的諧振波長偏移量更大,此時應(yīng)考慮n值的變化,其解會隨之發(fā)生相應(yīng)改變.

5 結(jié) 論

本文研究了薄膜微盤的定向激射性質(zhì),以Z切向摻餌鈮酸鋰薄膜為例,利用COMSOL 軟件的波動光學(xué)模塊,仿真模擬了蚶線形微盤的TE20,1模式強度分布、品質(zhì)因子Q、遠場輻射通量密度S(φ)、方向性D與變形因子ε的關(guān)系;基于經(jīng)典散射理論,通過優(yōu)化Julia 中DynamicalBilliards.jl庫,模擬了不同變形因子ε對應(yīng)的PSOS 圖.根據(jù)理論模擬結(jié)果可知: 在保證薄膜微盤Q值較高的情況下,為了獲取更好的定向激射及單向性,將蚶線形微盤變形因子設(shè)置在0.24 ≤ε≤0.4,此時Q值可以達到103—105,方向性D高達6.45—8.32 .該理論結(jié)果將為薄膜變形微腔的實驗研究提供一定理論參考.