基于初中數(shù)學變式教學的研究

郭全生

［摘? 要］ 文章從變式的概念、類型以及對變式教學的理解出發(fā)，以“三角形三邊關(guān)系”的教學為例，具體從“課堂引入，激發(fā)興趣”“自主探索，主動獲取”“變式訓練，深化理解”三個方面展開教學，著重講述變式教學如何設(shè)計與實施，并從“橫向變式，多角度理解知識本質(zhì)”“縱向變式，多層次揭露知識屬性”“正反變式，多維度完善認知結(jié)構(gòu)”三個角度談幾點思考.

［關(guān)鍵詞］ 變式教學；思維；結(jié)構(gòu)

弗賴登塔爾提出：“再創(chuàng)造”是數(shù)學教育的核心，并一再強調(diào)“數(shù)學學習唯一正確的方法就是知識的再創(chuàng)造”［1］. 變式教學能引導學生自主發(fā)現(xiàn)并提出問題，讓學生主動將所學的知識從實踐中創(chuàng)造出來. 將變式教學應(yīng)用在初中數(shù)學課堂教學中，不僅能起到“減負增效”的教學成效，還能從一定意義上促進學生思維的發(fā)展，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

變式概述

變式教學的意圖在于帶領(lǐng)學生從多層次、多視角與多維度來理解教學內(nèi)容、提煉數(shù)學思想方法、豐富并建構(gòu)知識的表象、完善學生的認知結(jié)構(gòu)，為形成良好的數(shù)學體系奠定基礎(chǔ). 究竟什么是變式呢？

（一）變式的概念

變式是指改變同一類事物的非本質(zhì)表現(xiàn)形式與特征，讓觀察者從新的角度去觀察與分析事物的本質(zhì)，以凸顯事物本質(zhì)特征的一種方法，學習者常在變式中思維. 從心理學的角度出發(fā)，數(shù)學變式就是從不同的層面、維度與角度來改變數(shù)學事物的條件與結(jié)論（非本質(zhì)屬性），以揭露事物本質(zhì)的過程.

換一個角度理解，我們也可以將數(shù)學變式理解為一種范式，即對數(shù)學教材中所呈現(xiàn)的典型問題、具體知識或思維模式的變形，通過對問題情境、條件、結(jié)論等的變換，更改學生思維的角度，整個過程保持事物本質(zhì)不變. 也就是當數(shù)學事物的非本質(zhì)屬性不斷發(fā)生變化、遷移，其本質(zhì)屬性依然不發(fā)生任何變化.

（二）變式的類型

數(shù)學變式教學主要存在于如下兩類活動中：①陳述性知識的教學，如概念類；②程序性知識教學（過程性教學）.

第一種陳述性教學屬于靜態(tài)的教學模式，第二種程序性教學屬于動態(tài)的教學模式. 將靜止的概念性的變式教學模式應(yīng)用到程序性知識教學中，無法推進教學發(fā)展，因此對這兩類教學模式教師應(yīng)辨別清楚. 不過人們在應(yīng)用的過程中發(fā)現(xiàn)了過程性變式，也就是說變式存在概念性變式與過程性變式兩大類.

概念性變式一般是指借助概念與非概念的變式來揭露數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延，讓學生從多個角度對概念產(chǎn)生深刻理解，從而建構(gòu)完整的概念體系；過程性變式以變式的方式來凸顯數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生對數(shù)學知識的來龍去脈產(chǎn)生深刻理解，形成完整的知識網(wǎng)絡(luò).

（三）變式教學

所謂變式教學是指通過對數(shù)學概念的非本質(zhì)屬性的更換、對典型例題中條件與結(jié)論的變換、對問題形式或內(nèi)容的變化等，教師應(yīng)有計劃、有目的地帶領(lǐng)學生從各種形式的“變換”中發(fā)現(xiàn)其恒定“不變”的本質(zhì)，并從這種不變的本質(zhì)中探索出可以產(chǎn)生變化規(guī)律的教學過程.

新課標背景下的變式教學，應(yīng)將目光鎖定在“變”字上，引導學生明確“變”的價值與精髓，搞清楚“為什么要變”“變的意義是什么”“應(yīng)該往哪里變”等，如此則能從真正意義上發(fā)展學生的“四基”與“四能”，提升學生的“三會”能力.

教學過程設(shè)計

加里寧認為，數(shù)學是思維的體操. 數(shù)學解題的起源、認識與理解等方面蘊含著嚴謹?shù)耐评磉^程，因此解題屬于一項智力活動，需要通過對一個個問題的解決達成目標. 在此，筆者以“三角形三邊關(guān)系”的教學為例，來說明應(yīng)用變式教學激活學生思維的具體方法，讓學生體驗“數(shù)學地思維”帶來的樂趣.

（一）課前分析

本節(jié)課教學的重點與難點在于如何推理三角形三邊關(guān)系，此過程不僅需要學生明確三角形三邊關(guān)系的大小，還要學生判斷組成一個三角形三邊應(yīng)具備怎樣的標準.

教學經(jīng)驗告訴我們，學生在本章節(jié)容易出現(xiàn)的問題有以下幾類：①按照邊對三角形分類時，不少學生容易將等邊三角形與等腰三角形劃分成兩大類，導致解題出現(xiàn)失誤；②在利用三角形三邊關(guān)系的定理解決實際問題時，有些學生對于“兩邊之和大于第三邊”的理解不夠透徹，解題中出現(xiàn)以偏概全的現(xiàn)象；③解題過程中的分類討論也是學生的難點之一.

（二）教學過程

1. 課堂引入，激發(fā)興趣

課堂起始階段，要求學生根據(jù)教師所提供的導學案閱讀教材，并思考教師所設(shè)計的問題，讓學生從根本上理解“什么是按照邊分類”，確保分類過程不重復、不遺漏，著重強化等邊三角形屬于等腰三角形的特例，從屬于等腰三角形.

閱讀指導時，引導學生從定義出發(fā)提出自己的疑慮，對于教材所提供的文字、符號與圖形語言要做到“一一對應(yīng)”的理解，將抽象的數(shù)學語言內(nèi)化成自身的理解，提高學生的自主學習能力與數(shù)學語言水平，為接下來的變式教學夯實理論基礎(chǔ).

2. 自主探索，主動獲取

要求基礎(chǔ)較好的學生將之前學過的與三角形三邊關(guān)系定理相關(guān)的公理與證明說一說，以勾起全體學生的回憶，讓學生從原有的認知信息庫中提取這部分知識，為本節(jié)課的學習奠定基礎(chǔ).

從定理的理解中獲得“判斷三條線段構(gòu)建三角形的方法具體有哪些”后，學生很快就能得到相應(yīng)的“推論”，此刻則能順理成章地實施推論的探索與研究.

3. 變式訓練，深化理解

適當?shù)睦}教學與課堂小練能深化學生對定理及推論的理解，讓學生從中體會到數(shù)學的魅力. 尤其是變式的應(yīng)用，能引導學生從不同的角度去思維與分析問題，訓練學生思維的敏捷度、靈活性、發(fā)散性與深度等. 在此過程中，教師需適當?shù)靥岢觯罕竟?jié)課涉及的定理與推論不僅為“三條線段”能否構(gòu)建成一個三角形提供依據(jù)，還為后續(xù)“字母取值”問題的研究做鋪墊.

例題已知△ABC為等腰三角形，其中AB=AC=5，BC=6，求該三角形的周長.

對初中學生而言，這道題的起點相當?shù)?，學生很快就能給出“周長為16”的結(jié)論. 此問僅僅作為教學的門檻，讓所有學生都能夠開開心心地邁進來. 接下來，教師則將主動權(quán)交給學生，要求學生變更概念非本質(zhì)特征，提出相應(yīng)的變式.

變式1已知△ABC為等腰三角形，其中腰AB=5，周長為16，求底邊BC的長度.

師：如果將問題中的腰長與底邊長進行置換，可以獲得怎樣的變式？

變式2已知△ABC為等腰三角形，其中一條邊的長為5，還有一條邊的長為6，求△ABC的周長.

此變式看似簡單，實則將問題變得復雜了很多，此時若不加思考地直接給出“周長為16”的結(jié)論，顯然回答是不夠完整的. 一些思維比較靈活的學生很快就反應(yīng)過來，此題存在兩種情況，即腰分別為5或者6，那么周長存在兩種情況：16或17.

變式3已知△ABC為等腰三角形，其中兩條邊的邊長分別為5和16，求該三角形的周長.

隨著變式3的落地，不少學生馬上聯(lián)想到變式2中存在兩種情況，思量著本題和上一題只有一個數(shù)據(jù)的差別，或許處理問題的方法也類似. 若這么想，則掉入了本題的“坑”里，從三角形三邊關(guān)系來看，本題只能存在一種情況，即腰長為16.

巡視發(fā)現(xiàn)，大部分學生在解決這個變式時思考得比較周全，教師充分肯定了學生的思維，并趁熱打鐵，要求學生嘗試轉(zhuǎn)變問題的內(nèi)容與形式，看看能獲得怎樣的變式并解決之.

在教師的肯定與鼓勵下，學生很快又提供了新的變式：

變式4已知△ABC為等腰三角形，其中腰的長度為x，則底邊的長y的取值范圍是多少？

觀察這個變式，可見學生的思維越來越深刻，此時的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化成稍有難度的函數(shù)關(guān)系問題，拓展問題的外延，解題難度自然增加，對學生的思維要求也越來越高. 基于以上變式，結(jié)合已有的知識結(jié)構(gòu)，學生亦能獨立解決本題. 為了進一步彰顯變式教學的作用，激活學生的思維，讓課堂充滿智慧與活力，教師提出如下變式：

變式5已知△ABC是一個腰長為x，底邊長為y，周長為16的等腰三角形，嘗試寫出x，y的函數(shù)關(guān)系式，并在平面直角坐標系內(nèi)畫出此函數(shù)圖象.

原本很簡單的一個問題，通過幾個變式的應(yīng)用，直指初中階段重要的教學內(nèi)容——函數(shù)，并要求學生將問題與平面直角坐標系關(guān)聯(lián)思考，使得數(shù)形結(jié)合思想得以進一步強化.

縱觀整個教學過程，學生在教師的引導與點撥下，主動地參與教學活動，開動腦筋、積極探索與交流，并在跌宕起伏的氛圍中逐步深化對問題的理解與認識. 學生的思維隨著變式的發(fā)展而逐漸深刻、通透，學生也在愉悅的教學氛圍中有效發(fā)展學習能力.

幾點思考

（一）橫向變式，多角度理解知識本質(zhì)

數(shù)學學科具有系統(tǒng)性特征，想要把握它的結(jié)構(gòu)，就要分辨它與其他事物是如何關(guān)聯(lián)的. 想讓學生從真正意義上理解并掌握知識本質(zhì)，就需要帶領(lǐng)學生從諸多關(guān)聯(lián)性的元素中實施意義建構(gòu). 橫向變式就是在具有典型特征或類型的基礎(chǔ)上，改變問題的外在形式，但本質(zhì)卻不發(fā)生變化. 簡而言之，學生要從不同角度對材料進行類比分析，以更好地理解知識的內(nèi)涵.

當然，橫向變式的問題可以源自教師設(shè)計的問題、課堂生成的問題、學生提出的問題等. 本節(jié)課在變式教學環(huán)節(jié)的初始階段，教師明確要求學生“變更概念非本質(zhì)特征，提出相應(yīng)的變式”. 學生的思維局限于這個條件，所提出的變式符合教學要求，學生也從中體驗到自主變式、探索與解題帶來的樂趣. 隨著變式問題的解決，學生對“三角形三邊關(guān)系”的本質(zhì)有了更深層次的理解.

（二）縱向變式，多層次揭露知識屬性

不同形式的材料或問題能進一步闡明知識的本質(zhì)屬性，改變知識的非本質(zhì)特征可凸顯其本質(zhì)特征，讓學生深層次理解知識的內(nèi)涵. 皮亞杰提出，所有的數(shù)學知識都可以從結(jié)構(gòu)建立的角度來考慮，這種建構(gòu)是開放的，可以通過“更強的結(jié)構(gòu)”來結(jié)構(gòu)化它［2］.

初中數(shù)學教學中，結(jié)構(gòu)化的元素關(guān)聯(lián)一般體現(xiàn)在知識結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展的基礎(chǔ)上，對教學內(nèi)容進行重組與分析，通過對其表征形式的變化，促使知識的縱向關(guān)聯(lián)，為意義建構(gòu)奠定基礎(chǔ). 本節(jié)課的變式教學，在教師循循善誘的引導與啟發(fā)下，學生的思維隨著問題的難度拾級而上，不僅從多層次揭露了“三角形三邊關(guān)系”定理的屬性，還進一步加強了學生對知識結(jié)構(gòu)的認識.

（三）正反變式，多維度完善認知結(jié)構(gòu)

奧蘇貝爾認為，當學材存在邏輯意義，且學生具備相應(yīng)的知識基礎(chǔ)，那么這一類學材對學生而言就具有潛在意義. 當我們?yōu)閷W生提供的學材具有一定的結(jié)構(gòu)性與邏輯意義，且與學生的認知水平相匹配時，那么學生的認知便能跟學材形成連結(jié)，讓學生由內(nèi)而外地理解知識的內(nèi)涵.

正反變式是指正例變式與反例變式兩類，當學生較好地掌握了某個知識點后，教師可通過正反變式來強化學生的認知，讓學生在“由反得正”中進一步鞏固、深化知識結(jié)構(gòu).

總之，不論是縱向、橫向，還是正反變式教學，其目的都是為了讓學生通過不同的視角來分析問題，對知識形成全方位的認識，實現(xiàn)知識的“再建構(gòu)”. 事實告訴我們，變式教學不僅利于學生對知識的自主建構(gòu)，讓學生更好地理解知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，還能促進學生數(shù)學思維能力的螺旋式上升，從真正意義上發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］皮亞杰. 結(jié)構(gòu)主義［M］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務(wù)印書館，2011.