借助概念圖 解答數(shù)學(xué)題

鐘志偉

摘 要：概念圖是一種直觀形象表征知識及展現(xiàn)知識關(guān)聯(lián)、思維過程的學(xué)習(xí)工具.通常概念圖由鏈接、節(jié)點、有關(guān)文字標(biāo)注等組成，往往作為一種學(xué)習(xí)策略應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題.對于數(shù)學(xué)題而言，其標(biāo)準(zhǔn)形式涵蓋條件（已知與前提）、結(jié)論（未知、求作、求證、求解）等基本要素，其中解決問題的初始與目標(biāo)分別為條件與結(jié)論.事實上，解題即在明確題目已知與未知條件的基礎(chǔ)上運用推理與運算等方式求出正確答案.運用概念圖解答數(shù)學(xué)題有利于梳理思路，提升解題效率.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；概念圖；解題教學(xué)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）08-0064-03

初中數(shù)學(xué)在學(xué)生整個學(xué)習(xí)生涯中起著承上啟下的作用.通過解決數(shù)學(xué)問題，不但能夠考查學(xué)生對知識的理解和掌握情況，而且也是檢驗數(shù)學(xué)教師教學(xué)效果的重要方式.數(shù)學(xué)問題給出的條件是學(xué)生建構(gòu)解題思維的切入點，結(jié)論則是解決問題的目標(biāo).學(xué)生只有調(diào)動所學(xué)知識與技能，突破解題障礙，才能達成上述解題目標(biāo).概念圖作為展現(xiàn)知識間結(jié)構(gòu)關(guān)系與思維的圖形，將其應(yīng)用于解題中，可提升學(xué)生思維的靈活性，提升解題效率.

1 借助概念圖，串聯(lián)數(shù)學(xué)知識

概念圖具有顯著的層級結(jié)構(gòu)特征，即概念圖以分層形式直觀清晰地展示知識點間層級關(guān)系.部分領(lǐng)域的知識相互交叉連接，此交叉連接在創(chuàng)建新概念圖時直接表明知識概念間的跳躍性.與此同時，概念圖也能直觀展現(xiàn)師生情感狀態(tài)，反映概念圖創(chuàng)建者與學(xué)習(xí)者思想情感品質(zhì)[1].

事實上，在解題中應(yīng)用概念圖旨在幫助學(xué)生明確問題的前因與后果，其中解決問題前提條件為前因，后果即為運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識獲得的正確答案.教師指導(dǎo)學(xué)生運用概念圖時，需先列出題目設(shè)置問題和給出的前提條件，并在前提條件與設(shè)置問題間梳理所學(xué)數(shù)學(xué)知識點之間的關(guān)系，然后學(xué)生再自主繪制概念圖，梳理解題脈絡(luò)及探索知識點組合成解題方式.學(xué)生在繪制概念圖中可增強串聯(lián)知識能力，提升解題效率.在解答幾何證明題時應(yīng)用概念圖，可使其串聯(lián)知識點的優(yōu)勢得到充分體現(xiàn).

以“直角三角形全等的判定”為例，教師運用例題展示證明直角三角形全等的解答過程時，可運用概念圖劃分證明步驟，使學(xué)生清晰地認識每個步驟對應(yīng)的知識原理.即先證明三角形為直角三角形，然后證明任意一對對應(yīng)邊與對應(yīng)銳角相等，或兩條對應(yīng)邊相等，最后獲得全等結(jié)論，如圖1所示.教師在解題中按照最初劃分的解題步驟，形成完整性與系統(tǒng)化的知識體系.學(xué)生通過概念圖可直觀認識直角三角形全等證明方法.事實上，證明直角三角形全等時已將證明一般三角形全等的對應(yīng)角相等的條件省略，只需對任意一條對應(yīng)邊相等證明并從中獲得結(jié)論即可[2].教師運用概念圖梳理證明直角三角形全等的思路，當(dāng)學(xué)生在解題陷入困境時就可由概念圖將思維轉(zhuǎn)至題目，再按照順序解答.

2 借助概念圖，培養(yǎng)解題習(xí)慣

初中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生針對不同類型題目積累解題經(jīng)驗.一道題目的解答分為四個步驟：第一步即理解題意，該環(huán)節(jié)也稱為審題，明確題目給出哪些條件，需要解答什么問題，從題目中獲取解答此題目的邏輯起點、推理目標(biāo)等信息；第二步為探索解題思路，即挖掘題目條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，將條件與結(jié)論的推理驗算作為重點；第三步為書寫表達，即梳理解題思路后運用文字表達；第四步為回顧反思，所謂反思即脫離自身認知，作為“第三者”觀察自身在剛才做了哪些事情，把自身活動作為思考對象，再從解題層面和學(xué)會解題層面進行回顧反思.

例1 如圖2，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，對角線AC⊥BD，垂足為點F，過點F作EF∥AB，交AD于點E.求證：四邊形ABFE是等腰梯形.

解析 按照上述四大解題步驟進行解題，解題過程如圖3所示.

首先，理解題意.需明確題目共有幾個條件以及有何數(shù)學(xué)含義.此題條件很長，有四個獨立條件：四邊形ABCD為直角梯形；兩底邊滿足AB=2DC；對角線AC⊥BD；EF∥AB.本題需證明的結(jié)論為：四邊形ABFE為等腰梯形，其涵蓋的數(shù)學(xué)含義有三個：①EF∥AB；②直線BF與AE不平行；③AE=BF.其中①②是已知條件，故證明本題的關(guān)鍵是證明③成立.顯然，需明確題目條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系以及屬于何種結(jié)構(gòu).其次，探索思路.運用分析法，挖掘多余條件.如圖2所示，因為AD和BD的交點是D，因此，欲證四邊形ABEF為梯形，可通過證明△DAB是等腰三角形來證明梯形ABFE為等腰梯形.如圖2，過點D作DG⊥AB于點G.因為四邊形ABCD為直角梯形，所以GD∥BC，CD∥BG，所以四邊形BCDG為平行四邊形.因為AB=2CD，所以BG=AG.由此可見，在△DAB中，DG既是AB邊上的高，又是AB邊上的中線，所以△DAB為等腰三角形.上述解題思路中尚未應(yīng)用對角線，說明其為多余條件.再次，書寫表達.如圖2所示，過點D作DG⊥AB于點G.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，所以四邊形BCDG為平行四邊形，所以BG=CD，因為AB=2CD，所以BG=AG，所以點G是AB的中點.又因為DG垂直AB，AE與BF相交于點D，所以四邊形ABFE為等腰梯形.最后，回顧反思.解答此題時分為兩大步驟，先證明四邊形BCDG為平行四邊形，再證明梯形ABFE為等腰梯形.整個證明過程運用理解題意、探索思路、書寫表達等步驟，明確思考方向，思維也呈現(xiàn)可視化，同時在解題中運用轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想，有效積累解答圖形問題的經(jīng)驗，從而提升解題能力.

3 借助概念圖，實現(xiàn)舉一反三

在解答初中數(shù)學(xué)主觀題時，應(yīng)用概念圖的目的是讓學(xué)生捋順數(shù)學(xué)知識點之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系.根據(jù)順序明確標(biāo)注解題步驟及需開展的解題工作，順利剝離解題過程，形成系統(tǒng)解題體系，促使學(xué)生歸納總結(jié)適合自身學(xué)情的解題方式，提升其解題能力.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運用概念圖指導(dǎo)學(xué)生解題時，要結(jié)合圖形理清已知條件與所求量之間的關(guān)系，規(guī)范概念圖繪制，明確邏輯關(guān)系推理方向，使學(xué)生總結(jié)正確、規(guī)范且適合自身學(xué)情的解題技巧，避免在解題初期就出現(xiàn)方向性錯誤.與此同時，教師需積極鼓勵學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中盡可能嚴謹規(guī)范地利用繪制概念圖的方式分析和解答問題，熟練梳理知識點之間的邏輯關(guān)系，增強運用概念圖分析問題的能力，提升學(xué)生舉一反三的解題能力.例如，在解答與勾股定理相關(guān)的題目時，學(xué)生只需根據(jù)勾股定理即可簡單分析解答方式與順序等問題，再利用概念圖的方式在問題旁邊羅列知識點及對應(yīng)的解題步驟，從而順利解答問題.

例2 工人在一塊直角梯形的草坪邊修建一條從點A至點D再至點C的小路，其中AB為直角梯形兩個直角的公共邊，已知AD=4 m，AB=12 m，BC=9 m，部分行人為減少路程，沿路線AC行走，但此方式對草坪造成破壞，請問路人少走了多少米路？

分析 上述題目可得知，問題重點考查勾股定理知識.若將直角梯形補為長方形，即可運用勾股定理獲得DC=13 m.連接AC，則△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理得出AC=15 m，所以路人少走的路為4 m+13 m-15 m=2 m.學(xué)生運用概念圖解答可有效降低題目難度，有利于學(xué)生分析題目中的已知條件和所求量之間的關(guān)系，然后基于邏輯順序順利完成問題解答.

例3 如圖4，點C為線段A與B的中點，點D在線段BC上，其中DB=4，AD=6，求CD長度.

在教學(xué)中，可借助如圖5所示的概念圖分析思考問題.

結(jié)合題目條件，運用以下思路分析解決.其一，采取綜合法.從已知條件至所求結(jié)論思考問題.根據(jù)線段AD與DB的長即可求得線段AB的長，添加中點條件可獲得AC的長，再根據(jù)AD的長可求出CD的長.其二，采取分析法.即從所求結(jié)論過渡至已知條件.由AD-AC即可獲得CD的長，只需求得AC或BC的長，即可求出AB的長.其中AB=AD+DB，AD與DB為已知條件.其三，通過已知與結(jié)論進行分析，通過線段AD與DB長獲取線段AB的長，運用中點定義求出線段AC與BC的長，然后求出AD-AC即可求出線段CD的長.在此過程中已求出AC、AD、BC、DB.上述三種思路均可順利解題，以下為規(guī)范解題表達方式.

因為AD=6，BD=4，所以AB=10.因為點C為線段AB的中點，所以AC=5，所以CD=1.

為強化學(xué)生思維，教師可對原題進行變式，然后要求學(xué)生運用概念圖分析解答.

變式1 如圖4，點C為線段AB的中點，點D位于線段BC上，AD=6，CD=1，求線段BD長度.

變式2 如圖4，點C為線段AB中點，點D位于線段BC上，BD=4，CD=1，求線段AD的長.

上述變式題能夠鍛煉學(xué)生運用概念圖分析問題和解決問題的能力.最重要的是，學(xué)生在解題中能夠充分感悟互逆命題，發(fā)展其思維能力，提升其解題水平.學(xué)生在解答部分常見題目時，會不可避免地出現(xiàn)思維定式.為此，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了教師的指導(dǎo)和督促外，更需要學(xué)生自我不懈堅持與努力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，受應(yīng)試觀念的影響，學(xué)生接觸的題型較為單一，且鮮少有變化，這不利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題思維.概念圖作為清晰、直觀的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)知識導(dǎo)圖，應(yīng)用于解題過程中，可發(fā)揮梳理知識與理解知識作用，促使學(xué)生高效解題.

4 結(jié)束語

總之，在初中數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)用概念圖可概括加工各種數(shù)學(xué)概念，直觀形象地反映知識點間組織結(jié)構(gòu)與邏輯關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生在腦海中構(gòu)建系統(tǒng)化數(shù)學(xué)知識體系，深入理解數(shù)學(xué)知識點.

參考文獻：

［1］ 張正澤.概念圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].河南教育（基教版），2022（12）：64-64.

[2] 王倩.概念圖在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2022（11）：22-24.