幾何圖形面積計(jì)算的幾種常用方法

吳仕為

摘 要：幾何圖形面積問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)部分，該部分知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中也同樣占據(jù)著重要地位.因此，對(duì)于初中學(xué)生而言，必須打好幾何知識(shí)基礎(chǔ).在幾何圖形面積問(wèn)題中，不規(guī)則圖形面積或陰影部分面積的求解是十分常見(jiàn)的，學(xué)生在面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往找不到正確的解題思路與方法.針對(duì)此種情況，便需要學(xué)生靈活應(yīng)用常見(jiàn)幾何圖形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解.基于此，文章主要分析與研究幾何圖形面積計(jì)算的幾種常用方法，以期為廣大師生提供解題參考與借鑒.

關(guān)鍵詞：幾何圖形；面積；常用方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）08-0052-03

與幾何圖形面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與計(jì)算能力，由于幾何圖形的變化靈活多樣，從而導(dǎo)致大部分學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題感到困難與茫然，尤其是在計(jì)算不規(guī)則圖形的面積時(shí)，學(xué)生很難快速獲取解題突破口.實(shí)際上，解決與幾何圖形有關(guān)的面積問(wèn)題時(shí)，只要充分掌握常用方法，熟悉常用解題套路，便能夠高效完成問(wèn)題解答.鑒于此，文章圍繞典型的幾何圖形面積計(jì)算問(wèn)題，分析求幾何圖形面積的幾種常用方法.

1 巧用平移法計(jì)算幾何圖形的面積

平移法，顧名思義是通過(guò)圖形的橫向、縱向水平運(yùn)動(dòng)進(jìn)行解題，即把幾何圖形中的部分進(jìn)行切割，然后使其橫向或縱向水平運(yùn)動(dòng)到恰當(dāng)位置，進(jìn)而重新組合成常見(jiàn)的規(guī)則幾何圖形，然后利用規(guī)則圖形的面積公式求解，以此達(dá)到簡(jiǎn)化解題難度的目的[1].在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生可以通過(guò)觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，快速判斷是否需要利用平移法計(jì)算面積.

例1 如圖1，現(xiàn)有一塊長(zhǎng)度為32 m、寬度為20 m的矩形地面，需在地面上按照陰影區(qū)域設(shè)計(jì)修建道路，其余非陰影區(qū)域用于綠化設(shè)計(jì)，若綠化設(shè)計(jì)面積為540 m2，請(qǐng)問(wèn)道路修建的寬度應(yīng)為m.

學(xué)生在遇到此類(lèi)不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題時(shí)，通過(guò)觀察已知圖形便能夠快速發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)特征，可考慮利用平移法，將不規(guī)則幾何圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的基本圖形，然后利用規(guī)則圖形的面積公式求解面積.基于此，本題有兩種求解計(jì)算方法，求解過(guò)程如下.

方法1 如圖2，將不規(guī)則圖形經(jīng)過(guò)平移變?yōu)槿齻€(gè)規(guī)則的矩形，通過(guò)平移與組合陰影部分的圖形，能夠得到兩個(gè)規(guī)則的陰影矩形.假設(shè)道路的寬度為x m，結(jié)合題目條件能夠列出（20-x）（32-x）=540，這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，解此方程即可得到問(wèn)題的答案.

解法1 設(shè)道路寬度為x m.根據(jù)題意，得（20-x）（32-x）=540，即x2-52x+100=0，解得x1=50（不合題意，舍去），x2=2.故道路的寬度應(yīng)為2 m.

方法2 如圖3，將不規(guī)則圖形平移變換為四個(gè)規(guī)則的矩形，此時(shí)綠化設(shè)計(jì)面積被分成四個(gè)規(guī)則的矩形，根據(jù)題目中的已知條件能夠得到20×32-（20+32）x+x2=540，這是關(guān)于x的一元二次方程式，解此方程即可得到問(wèn)題的答案.

解法2 設(shè)道路寬度為x m.根據(jù)題意，得20×32-（20+32）x+x2=540，即x2-52x+100=0，解得x1=50（不合題意，舍去），x2=2.故道路修建的寬度應(yīng)為2 m.

通過(guò)典型例題講解可以發(fā)現(xiàn)，利用平移法解決不規(guī)則幾何圖形的面積問(wèn)題時(shí)，平移的方式不同，可能會(huì)得到不同的解題思路.教師應(yīng)抓住典型例題的“一題多解”思路，進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生突破固有思維限制.

2 巧用旋轉(zhuǎn)法計(jì)算幾何圖形面積

旋轉(zhuǎn)法主要應(yīng)用于構(gòu)造直角三角形、全等三角形等基本圖形求面積問(wèn)題，這種解法的基本原理是面積的旋轉(zhuǎn)不變性[2].

例2 如圖4，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，則△ABC的面積是（）.

根據(jù)總結(jié)的旋轉(zhuǎn)法解題技巧，應(yīng)找到旋轉(zhuǎn)中心.根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)的性質(zhì)易知AB=BC，故可考慮以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，可得到△BEA，如圖5所示.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BP=4，∠PBE=60°，進(jìn)而能夠判斷△BPE是等邊三角形，PB=PE=4，∠BPE=60°.此時(shí)，在△AEP中，AE=5， AP=3，PE=4，利用勾股定理的逆定理能夠判斷△APE是直角三角形，即∠APE=90°，進(jìn)而能夠計(jì)算出∠APB的度數(shù). 過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用三角函數(shù)可計(jì)算出AF及PF邊長(zhǎng)，再次利用勾股定理可得出AB邊長(zhǎng)，最終利用三角形面積公式計(jì)算得到△ABC的面積.

解 因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以BA=BC.以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把△BPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BEA，連接EP，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BE=BP=4，PC=AE=5，∠PBE=60°，所以△BPE是等邊三角形，所以PB=PE=4，∠BPE=60°.

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，所以AE2=PE2+PA2，所以△APE是直角三角形，∠APE=90°，所以∠APB=150°，所以∠APF=30°.

3 巧用分割法計(jì)算幾何圖形面積

在計(jì)算幾何圖形面積的過(guò)程中，分割法較為常用，其本質(zhì)是對(duì)原圖添加合適的輔助線，從而達(dá)到將原圖分隔為若干個(gè)規(guī)則的幾何圖形，如直角三角形、等腰三角形、正方形、長(zhǎng)方形等，然后利用規(guī)則圖形的面積公式解決問(wèn)題，從而求得原圖形的面積.

例3 已知⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，其中F、D、E分別是AB、BC、AC邊上的切點(diǎn)，若BC=x、AC=y、AB=z，⊙O的半徑為R，請(qǐng)計(jì)算△ABC的面積S.

4 巧用“補(bǔ)”法計(jì)算幾何圖形面積

“補(bǔ)”方式與“割”方式相反，“割”是指將原幾何圖形分割為若干個(gè)常見(jiàn)的規(guī)則圖形，而“補(bǔ)”是指利用添加輔助線方式，將原不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，利用規(guī)則圖形的面積公式直接求解，從而達(dá)到降低實(shí)際解題難度的目的.同時(shí)也能夠根據(jù)不同的“補(bǔ)”的方式，將原不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為多樣化的規(guī)則圖形，進(jìn)而為學(xué)生提供多元化的解題路徑.

分析 本題目主要考查正方形性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，故借助圖形的旋轉(zhuǎn)不變性、正方形的性質(zhì)即可實(shí)現(xiàn)求解.如圖8所示，這是基于“補(bǔ)”方式處理后的示意圖.圖8中AECB為直角梯形，基于此便可以利用題目中所給條件與直角梯形相關(guān)公式完成陰影部分面積的分析與計(jì)算.

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，解決幾何圖形面積計(jì)算問(wèn)題，對(duì)提高初中生數(shù)學(xué)成績(jī)、強(qiáng)化學(xué)生解題能力與數(shù)學(xué)思維十分有利.因此，教師應(yīng)積極通過(guò)典型的幾何圖形面積計(jì)算問(wèn)題的講解與解析，幫助學(xué)生充分掌握常用的幾何圖形面積計(jì)算方法，進(jìn)而總結(jié)解題方法和技巧，熟悉常規(guī)題型的解題套路，實(shí)現(xiàn)快速、正確解題.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 蔣艷，楊品方.例析解幾中涉及三角形面積的多種題型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2020（7）：59-61.

[2] 李宏杰.關(guān)注幾何面積探尋考查方式：以中考試題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（3）：73-75.