2021年鹽城市中考?jí)狠S題的解法探究與啟示

劉敏

摘 要：本文以2021年鹽城市中考?jí)狠S題為例，探究圖形旋轉(zhuǎn)變換的另一類題型——在平面直角坐標(biāo)系下，通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)變換.抓住旋轉(zhuǎn)變換中的變量與不變量，抓住特殊角，解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用逆向思維和轉(zhuǎn)化思想，以靜制動(dòng)解決此類問(wèn)題.通過(guò)研究這一類問(wèn)題，有助于學(xué)生在空間觀念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力.

關(guān)鍵詞：點(diǎn)的坐標(biāo)變換；逆向思維；轉(zhuǎn)化思想；以靜制動(dòng)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）08-0006-04

近年來(lái)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換已成為中考試題的熱點(diǎn)之一，現(xiàn)有大量文章基于旋轉(zhuǎn)變換多種模型進(jìn)行研究，常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)模型有“手拉手”模型、“夾半角”模型和“對(duì)角互補(bǔ)”模型[1].經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)變換的這一類題型中隱含著“手拉手”模型.“手拉手”模型指共頂點(diǎn)且兩個(gè)頂角相等的等腰三角形（或等邊三角形）組成的圖形，圖形中兩個(gè)頂角相等，若它們減去（或加上）公共部分后所得的角相等[2]，則可構(gòu)造全等三角形.本文研究的題型中隱含“手拉手”全等三角形模型.

1 原題呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形.

初步感知

如圖1，設(shè)點(diǎn)A（1，1），α=90°，P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（-1，1）.

（1）點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)P′1的坐標(biāo)為；

（2）若點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)P′2（2，1），求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

2 解題思路分析

初步感知

（1）在旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角度.本題基于旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，巧用90°角，可知△P1AP′1為等腰直角三角形，即可求出點(diǎn)P′1的坐標(biāo).在思考該題時(shí)，可緊扣“巧用旋轉(zhuǎn)角，構(gòu)造特殊圖形”.

（2）P是一次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到P′，其運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)P′2，可以抓住“圖形的旋轉(zhuǎn)變換就是關(guān)鍵點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)”這一本質(zhì)，該問(wèn)題可以將一次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)視作定點(diǎn)P2的旋轉(zhuǎn)，已知點(diǎn)P2繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)P′2的坐標(biāo)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前P2的坐標(biāo)，即可求出一次函數(shù)表達(dá)式.在思考該題時(shí)，可緊扣“抓住旋轉(zhuǎn)本質(zhì)，巧妙轉(zhuǎn)化”.

深入感悟

由旋轉(zhuǎn)可知，本題應(yīng)分類討論點(diǎn)P的位置，分為三種情況，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于-1時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于-1小于0時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于-1時(shí).由于P是反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)用中學(xué)知識(shí)很難求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于-1時(shí)，基于旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得OP=OP′，∠P′OP等于直線OM與x軸形成的銳角，則它們減去公共部分∠MOP后所得的角仍相等，聯(lián)想到構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型，添加同樣的輔助線，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，抓住“手拉手”模型的兩個(gè)等腰△OP′P和△OMN，構(gòu)造全等三角形，以靜制動(dòng)，將無(wú)法確定的動(dòng)點(diǎn)P′轉(zhuǎn)化為已知運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)點(diǎn)P，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即將△OMP′的面積轉(zhuǎn)化為求△ONP的面積，再運(yùn)用反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到答案.當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于-1小于0時(shí)，∠MOQ和∠P′OP加上公共部分∠MOP后所得的角仍相等，即∠POQ=∠P′OM，同理可構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型.在思考該題時(shí)，可緊扣“以靜制動(dòng)，構(gòu)造全等，巧妙轉(zhuǎn)化”.

靈活運(yùn)用

運(yùn)用中學(xué)知識(shí)，很難求出二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡，故“反其道而行之”，運(yùn)用逆向思維，將點(diǎn)B、C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到點(diǎn)B′、C′，將求△BCP′面積的最小值轉(zhuǎn)化為求△B′C′P面積的最小值.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ACC′和△ABB′是等邊三角形，頂角∠B′AB和C′AC減去公共部分∠C′AB后所得的角仍相等，則構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型，即△ABC和△AB′C′全等，即可求出線段B′C′的長(zhǎng)度和B′C′的函數(shù)表達(dá)式.需求△B′C′P面積的最小值，即求點(diǎn)P到直線B′C′的距離最小值，因?yàn)辄c(diǎn)到直線之間垂線段最短，從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)平行與B′C′的直線與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線B′C′的距離最小，此切點(diǎn)與點(diǎn)B′、C′組成的三角形面積最小.在思考該題時(shí)，可緊扣“逆向思考，巧妙轉(zhuǎn)化”.

3 問(wèn)題解析

如圖6，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于-1時(shí)，即P在二、四象限角平分線上，點(diǎn)P′在y軸上.過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸與點(diǎn)H.同理可證，△OHP≌△OMP′，所以

4 解題反思

關(guān)于上述解題過(guò)程中，所提到的以靜制動(dòng)，并不是把動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，此時(shí)的“靜”并不是絕對(duì)的靜止，而是運(yùn)用逆向思維的方法后，此時(shí)的點(diǎn)可能還是動(dòng)點(diǎn)，但更易于掌握，也就相當(dāng)于“靜”了[4].例如，在[靈活運(yùn)用]中，我們難以求出動(dòng)點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡，但我們已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，因此保持二次函數(shù)不動(dòng)，將點(diǎn)B、C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后可得到B′、C′將求解△BCP′的面積最小值轉(zhuǎn)化為求解△B′C′P的面積最小值，大大降低了求解的難度.因此，這里提到的“以靜制動(dòng)”的實(shí)質(zhì)就是將難以掌握的“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為已知的“動(dòng)”，最終化繁為簡(jiǎn)，將直線的“動(dòng)”和函數(shù)圖像的“動(dòng)”，最終都看作是點(diǎn)的“動(dòng)”.

5 教學(xué)啟示

5.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，注重知識(shí)的綜合運(yùn)用，組織專題復(fù)習(xí)

一道壓軸題蘊(yùn)含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，例如上述試題綜合考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、一元二次方程的根、三角形面積求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).教師研讀教材時(shí)如果能夠從系統(tǒng)角度思考，著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系與規(guī)律，把表面看來(lái)不相同的概念、定理、法則，通過(guò)數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，使之處于一個(gè)統(tǒng)一體中，會(huì)有意外的收獲［5］.因此，教師在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)要組織專題復(fù)習(xí)，注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，運(yùn)用框架法梳理知識(shí)，幫助學(xué)生進(jìn)行有效的知識(shí)遷移，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的同化.

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解關(guān)鍵還是在學(xué)生的自我建構(gòu)，為了促成這種建構(gòu)，通過(guò)對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的系列變式、深度探究就是一條有效的途徑.教師的教學(xué)不能“照本宣科”完全按照教材去教，要結(jié)合學(xué)生實(shí)際，對(duì)教材內(nèi)容再創(chuàng)造，再組織.為了防止題型的機(jī)械練習(xí)，教師應(yīng)圍繞考點(diǎn)創(chuàng)造性地挑選試題，分析題干的條件和結(jié)論，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與、拓展思維、合作探究、歸納總結(jié)，提高復(fù)習(xí)效率，做到“解一道題會(huì)一類題”，真正實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.

5.2 抓住解題關(guān)鍵，深入探究解題思路

通過(guò)上述研究，“圖形旋轉(zhuǎn)—點(diǎn)的坐標(biāo)變換”這一類題型，解題的關(guān)鍵主要有以下幾點(diǎn)：一是當(dāng)難以求出旋轉(zhuǎn)后P′的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，會(huì)用轉(zhuǎn)化思想和逆向思維，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題.二是抓住旋轉(zhuǎn)的特殊角45°，60°，90°，120°等，巧用旋轉(zhuǎn)角，構(gòu)造特殊圖形（等腰直角三角形、等邊三角形等）簡(jiǎn)便計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的構(gòu)造思想.例如，在[深入探究]中，巧用45°角，直線y=-x繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后恰好與x軸重合，大大降低了畫(huà)圖和計(jì)算難度.三是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造圖形中隱含的“手拉手”全等三角形模型，利用全等三角形面積相等的性質(zhì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的求解.在課堂中，教師可以運(yùn)用信息技術(shù)的演示或者實(shí)物的操作，讓學(xué)生感悟圖形變化的基本特征，并且知道平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀.

5.3 巧用逆向思維，探索解題新路徑

首先，逆向思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的，應(yīng)滲透于平時(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié)中.例如，幾何性質(zhì)定理和判定定理中存在許多互逆命題，如角平分線定理，在教學(xué)中，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間存在的雙向關(guān)系.其次，逆向思維應(yīng)在數(shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程中培養(yǎng)，例如數(shù)學(xué)運(yùn)算中存在很多互逆思想，加法法則可以轉(zhuǎn)化為減法法則.最后，反證法也是一種常見(jiàn)的逆向思維的運(yùn)用.

6 結(jié)束語(yǔ)

逆向思維的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一段時(shí)間的訓(xùn)練，讓學(xué)生在潛移默化中形成雙向思考，突破思維定式，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，以獲得解題的新途徑，最終提高學(xué)生的逆向思維能力.

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