二次函數(shù)綜合題的解法探究與啟示

相晨晨

摘 要：二次函數(shù)綜合題一直是各地中考的熱點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn).文章以南充市2023年中考數(shù)學(xué)試題中的一道二次函數(shù)壓軸題為例，通過(guò)探求多種解法，立足核心素養(yǎng)，明晰思維路徑，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力及提高學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；綜合題；解法探究；啟示

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）08-0002-04

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn).由于其涉及的知識(shí)面廣，思維難度大，通常以中考?jí)狠S題的形式呈現(xiàn)，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.解決這類問(wèn)題需要學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力.2023年南充市中考數(shù)學(xué)第25題是一道以二次函數(shù)為背景的壓軸題，具有一定的選拔功能.本文立足核心素養(yǎng)，明晰思維路徑，探究多種解法，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)K（1，3）的直線（直線KD除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線DG，DH分別交x軸于點(diǎn)M，N，試探究EM·EN是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

2 試題分析

不論是從知識(shí)的綜合性還是思維的層次性來(lái)看，二次函數(shù)都當(dāng)之無(wú)愧地占據(jù)著初中數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的“制高點(diǎn)”，是中考?jí)狠S題的命題熱點(diǎn)[1].本題是一道二次函數(shù)的綜合題，以二次函數(shù)為背景并結(jié)合圖形與幾何進(jìn)行命題，不僅能考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)和圖形與幾何相關(guān)知識(shí)的掌握情況，還能考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力及靈活處理問(wèn)題的心態(tài).問(wèn)題的難度層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的心理特征及由易到難的解題模式.本題以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》所提出的命題原則，即實(shí)現(xiàn)對(duì)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查[2].

本題主要考查的核心概念有二次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)、線段定值等，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，主要有方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和模型思想等.綜合考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力和創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng).

問(wèn)題（1）難度較小，考查二次函數(shù)的解析式，學(xué)生只要熟知二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)及求解方法，就能很容易解出正確答案.此問(wèn)題主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.問(wèn)題（2）難度上升，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來(lái)看，只要學(xué)生認(rèn)真審清題目，提取有關(guān)信息，采用“爬山法”，一步一步分析題目，也能很快解決問(wèn)題.而本題是從平行四邊形的性質(zhì)出發(fā)，最終落腳到點(diǎn)的坐標(biāo)，解題最關(guān)鍵的一點(diǎn)是學(xué)生能夠考慮到分類討論的思想，想到固定點(diǎn)B，C組成的線段，而點(diǎn)P在拋物線上，通過(guò)拋物線的圖象來(lái)看，點(diǎn)P有可能在x軸的上方，也有可能在x軸的下方，然后采用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題.此問(wèn)題主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力、幾何直觀、推理能力等，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.問(wèn)題（3）難度要比前兩個(gè)問(wèn)題高，學(xué)生要根據(jù)題目的信息先提出猜想，再進(jìn)行證明，最后得出結(jié)論，并借助尺規(guī)將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為實(shí)際圖形，促進(jìn)學(xué)生理解和思維的轉(zhuǎn)變.此問(wèn)題需要學(xué)生解出三個(gè)一次函數(shù)的解析式，并通過(guò)方程思想，解出兩根之間的關(guān)系，再通過(guò)射影定理模型得出結(jié)論，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的要求相對(duì)較高，知識(shí)的綜合性更強(qiáng)，這不僅考查學(xué)生的“四基”和“四能”，更考查學(xué)生是否具有穩(wěn)定的心態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

3 試題解答

3.1 問(wèn)題（1）的解法

解法1 （代入法）將A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)

解法2 （對(duì)稱法）因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，從而得出拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，所以b=2a.將A（-1，0）代入拋物線中a-b+3=0，從而得出a=-1，b=2，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

解法3 （兩點(diǎn)式）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，從而得出-3a=3，解得a=-1，進(jìn)而得出拋物線的解析式為y=-x2+2x+3（a≠0）.

3.2 問(wèn)題（2）的解法

根據(jù)已知條件，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，但并沒(méi)有明確說(shuō)明P的位置，所以要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，分為兩種情況，第一種是P在x軸的上方，第二種是P在x軸的下方.

第一種情況：P在x軸的上方.

解法1 （平行四邊形的性質(zhì)）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CP∥BQ，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OQ，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），因?yàn)樗倪呅蜝CPQ為平行四邊形，所以BC=PQ，CP=BQ進(jìn)而得出Q（t，0），OQ=3+t，ON=t，NQ=3，所以PQ2=PN2+NQ2，即（-t2+2t+3）2+9=18，當(dāng)-t2+2t+3=3，解得t=0（舍去）或t=2;當(dāng)-t2+2t+3=-3，因?yàn)镻在x軸的上方，所以-t2+2t+3=-3舍去，從而只有t=2符合題意，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）.

解法2 直線CB的斜率為kCB=-1，又因?yàn)镃B∥PQ，所以kPQ=-1，-t2+2t+3=3，解得t=0（舍去）或t=2，只有t=2是符合題意，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）.

第二種情況：P在x軸的下方.

評(píng)析分類討論是二次函數(shù)綜合題常用的方法之一，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須掌握的解題思想.解決本題的關(guān)鍵是對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，從已知條件出發(fā)，可以把點(diǎn)P分為在x軸的上方和在x軸的下方.

3.3 問(wèn)題（3）的解法

評(píng)析這類解法思路很明確，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而計(jì)算EM·MN的值.雖然運(yùn)算量較大，需要明確三條直線的解析式，但是解題的思路比較清晰.

評(píng)析 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理的逆定理即可判定△MDN是直角三角形，最終利用直角三角形和相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

解法3 如圖6所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線解析式為y=kx+b，將D（1，4）代入直線解析式，得出y=kx+3-k，因?yàn)镚，H在拋物線上，可設(shè)G（x1，kx1+3-k），H（x2，kx2+3-k），從上面可知x1+x2=2-k，x1x2=-k，過(guò)點(diǎn)G作GF

評(píng)析 根據(jù)圖形特征，一條線段上有垂直線，并求EM·EN，要能夠想到射影定理，利用三角形相似，證明兩個(gè)三角形相似要從角或者線段成比例角度考慮，同時(shí)解題的關(guān)鍵是要證明出∠MDN=90°.

解法4 在上面的解法中已經(jīng)求出了直線DG解析式為y=-（x1-1）x+x1+3，同理可求出直線DN的解析式為y=-（x2-1）x+x2+3，從而可以得出kDG=-（x1-1），kDN=-（x2-1），又因?yàn)閤1+x2=2-k，x1x2=-k，所以kDG·kDN=（x1-1）×（x2-1）=-1，則直線DG與直線DN互相垂直，進(jìn)而∠MDN=90°，所以∠MDE+∠EDN=90°，所以∠MDE=∠DNE，所以△EMD△EDN，從而得出ED2=EM·EN=16.因此，EM·EN是定值.

評(píng)析 通過(guò)對(duì)圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵是要證明∠MDN=90°，兩直線的夾角為直角，說(shuō)明兩直線互相垂直，則可以通過(guò)斜率關(guān)系進(jìn)行證明，最后能求出EM·EN的值.

4 解題反思

4.1 重視變式訓(xùn)練，發(fā)展思維能力

題目不在于多，而在于精.一道題目不僅是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它還可以是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合.在教學(xué)中教師可以圍繞著一個(gè)問(wèn)題向多個(gè)方向發(fā)散，把一道題變成一類題.就如本題中的二次函數(shù)，在方法上，對(duì)于點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，通過(guò)變式的形式可以從B，C所組成的線段是邊還是對(duì)角線進(jìn)行分類討論，打破學(xué)生的常規(guī)思維.在內(nèi)容上，除了可以考查線段乘積的定值和點(diǎn)的存在性，還可以與中點(diǎn)問(wèn)題、線段的最值問(wèn)題、面積定值、一次函數(shù)特殊角等問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合.基于此，在教學(xué)中要不僅要培養(yǎng)學(xué)生能夠靈活選擇數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的習(xí)慣，還要通過(guò)“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題和靈活變通的意識(shí)，而“一題多解”不僅有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，更有利于學(xué)生問(wèn)題解決策略的形成、關(guān)鍵問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)[3].所以，在教學(xué)中教師可以通過(guò)變式進(jìn)行教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

4.2 構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高運(yùn)算能力

綜合題往往不是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，而是多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合，所以在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，要提高學(xué)生搭建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的能力，形成知識(shí)框架，在教學(xué)中可以通過(guò)主題式學(xué)習(xí)，將知識(shí)進(jìn)行整合.知識(shí)是解決問(wèn)題的前提，而解決問(wèn)題的成敗關(guān)鍵在于學(xué)生的運(yùn)算能力，它不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力[4]，教師在教學(xué)中可以通過(guò)日常的運(yùn)算訓(xùn)練來(lái)發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思考問(wèn)題的品質(zhì)和養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版） [M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3] 高巖.二次函數(shù)背景下三角形面積最值問(wèn)題的解法探究：由一道九年級(jí)期末壓軸題引發(fā)的思考[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（9）：20-22.

[4]金小亞.借助幾何直觀 培養(yǎng)運(yùn)算能力[J].教育實(shí)踐與研究（A），2019（1）：25-28.