混合策略改進(jìn)的蜣螂優(yōu)化算法及其工程應(yīng)用

摘要：針對(duì)原始蜣螂優(yōu)化算法（dung beetle optimizer， DBO）容易陷入局部最優(yōu)，收斂精度不夠等問(wèn)題，提出一種混合策略改進(jìn)的蜣螂優(yōu)化算法（TDBO）。運(yùn)用Tent 混沌映射策略初始化種群，使得初始蜣螂的位置分布更加均勻，提高種群的多樣性；在蜣螂繁衍階段使用自適應(yīng)慣性權(quán)重，提升尋優(yōu)能力；在蜣螂偷竊行為公式中引入萊維飛行，提高算法的搜索能力，使算法跳出局部最優(yōu)，平橫搜索多樣性與收斂準(zhǔn)確性之間的關(guān)系。在9 個(gè)測(cè)試函數(shù)上分別與基礎(chǔ)DBO 算法、4 種對(duì)比算法以及單一策略改進(jìn)的DBO 算法進(jìn)行比較，并通過(guò)Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)驗(yàn)證TDBO 算法的性能。結(jié)果證明，TDBO 算法在多個(gè)函數(shù)上速度和精度優(yōu)于對(duì)比算法，并具有顯著性差異。通過(guò)基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試、Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)，以及3 個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題的驗(yàn)證，TDBO 算法具有較優(yōu)的收斂精度和速度。

關(guān)鍵詞：蜣螂優(yōu)化算法；Tent 混沌映射；自適應(yīng)慣性權(quán)重；萊維飛行

中圖分類號(hào)：TP 301 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

蜣螂優(yōu)化算法（dung beetle optimizer，DBO）[1]作為2022 年提出的一種新型元啟發(fā)算法，其靈感來(lái)源于蜣螂的滾球、跳舞、覓食、偷竊和繁殖行為。與灰狼優(yōu)化算法（ GWO） [2]、鯨魚(yú)優(yōu)化算法（WOA）[3] 等其他學(xué)習(xí)算法相比，DBO 算法在基準(zhǔn)函數(shù)上具有更強(qiáng)的優(yōu)化能力和更快的效率。但是，DBO 算法和大部分智能算法一樣，在后期迭代中，很容易陷入局部最優(yōu)。為了進(jìn)一步提升DBO算法的性能，本文對(duì)該算法進(jìn)行了研究改進(jìn)。

對(duì)于類似的元啟發(fā)式算法，已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)各種算法的精度、速度和魯棒性等進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。王娟等[4] 使用Tent 混沌映射增加了算法種群的多樣性，有效提高了海鷗算法的求解精度和速度；Wang 等[5] 在螢火蟲(chóng)算法（FA）中引入慣性權(quán)重，平衡了FA 的收斂速度和局部尋優(yōu)能力，提升了算法的精度和速度；趙青杰等[6]應(yīng)用動(dòng)態(tài)自適應(yīng)慣性權(quán)重有效提升了算法局部和全局搜索能力；李陽(yáng)等[7] 在算法中引入萊維飛行策略，擴(kuò)大了種群的搜索范圍，一定程度上優(yōu)化了算法的性能；鄔貴昌等[8] 在麻雀算法中也使用了萊維飛行策略，有效提升了算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。

本文針對(duì)DBO 算法的精度和收斂速度進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，提出了混合策略改進(jìn)的蜣螂優(yōu)化算法（TDBO），從3 個(gè)方面對(duì)DBO 算法作出改進(jìn)：采用Tent 混沌映射策略使初始蜣螂種群在搜索空間中分布得更加均勻，以此增加種群多樣性；引入自適應(yīng)慣性權(quán)重改進(jìn)蜣螂繁衍公式，提升算法尋優(yōu)能力；在蜣螂偷竊行為公式中引入萊維飛行，產(chǎn)生隨機(jī)步長(zhǎng)，為解增加一個(gè)擾動(dòng)量，提高算法的搜索能力，使算法跳出局部最優(yōu)。通過(guò)上述3 方面的改進(jìn)，在基于9 個(gè)經(jīng)典基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試， 且進(jìn)行Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)，并通過(guò)3 個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題的驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了TDBO 算法在性能上的優(yōu)越性。

1 蜣螂優(yōu)化算法介紹

蜣螂優(yōu)化算法是基于蜣螂的滾球、跳舞、覓食、偷竊和繁殖行為而提出的一種元啟發(fā)式算法，主要包括蜣螂滾球、覓食、繁衍、偷竊4 個(gè)優(yōu)化過(guò)程。

1.1 蜣螂滾球

a. 無(wú)障礙模式。

當(dāng)蜣螂前行無(wú)障礙時(shí)，蜣螂在滾動(dòng)過(guò)程中通過(guò)太陽(yáng)來(lái)導(dǎo)航，以保持糞球在直線上滾動(dòng)。滾球蜣螂的位置更新如式（1） 所示。

式中：t表示當(dāng)前迭代次數(shù)；xti表示第t次迭代時(shí)第 i只蜣螂的位置信息；k∈（0，0.2]是一·個(gè)常數(shù)量，表 示偏轉(zhuǎn)系數(shù)，本文取0.1； b是屬于（0，1）的常數(shù) 值，本文取0.3；α是自然系數(shù)，取1或-1，當(dāng) α取1時(shí)表示無(wú)偏差，取-1時(shí)表示偏離原來(lái)方 向，α的具體取值根據(jù)概率方法確定，用來(lái)模擬復(fù) 雜的環(huán)境；xw表示全局最差位置；Δx是蜣螂當(dāng)前 位置與全局最差位置的絕對(duì)距離，用以模擬光強(qiáng) 度變化，越大表示光源越弱，該參數(shù)可以提升算 法搜索的性能，盡可能地使算法探索整個(gè)空間。

b. 跳舞。

當(dāng)蜣螂遇到障礙物而無(wú)法前進(jìn)時(shí)，它會(huì)通過(guò)跳舞來(lái)重新定向自己，以獲得新的路線。因此，蜣螂的位置更新如式（2）所示。

2.3 萊維飛行

萊維飛行[12] 是通過(guò)隨機(jī)交替大、小步長(zhǎng)使得算法跳出局部最優(yōu)的方法。由上述偷竊蜣螂的更新公式可以發(fā)現(xiàn)，其搜索步長(zhǎng)是固定的，因此算法可能會(huì)陷入局部最優(yōu)的情況。引入萊維飛行后可以避免搜索空間的逐步縮小，使算法跳出局部最優(yōu)解。改進(jìn)后的蜣螂偷竊位置更新函數(shù)如式（10）所示。

式中：y符合萊維分布。

因?yàn)槿R維飛行過(guò)程的復(fù)雜性， 所以使用Mantegna算法模擬其過(guò)程[13]， y步長(zhǎng)大小的公式如下：

式中，Γ為Gamma函數(shù)，參數(shù)β= 1.5。

2.4 算法流程

a. 算法參數(shù)初始化，如：種群數(shù)量，空間維度和最大迭代次數(shù)等；

b. 種群初始化，通過(guò)式（6）的tent 混沌映射，得到初始化蜣螂位置；

c. 計(jì)算種群的適應(yīng)度值，獲得最優(yōu)個(gè)體；

d. 通過(guò)式（1）或（2）更新滾球蜣螂的位置；通過(guò)式（9）更新繁衍蜣螂的位置；通過(guò)式（4）更新覓食蜣螂的位置； 通過(guò)式（ 10） 更新偷竊蜣螂的位置；

e. 更新蜣螂種群信息，找出并保存適應(yīng)度最優(yōu)的蜣螂位置；

f. 當(dāng)滿足迭代條件時(shí)，輸出算法最優(yōu)結(jié)果，否則繼續(xù)進(jìn)行從d～f的流程。

2.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

假設(shè)DBO算法的種群大小為N，空間維度為 M，那么該算法的初始化時(shí)間復(fù)雜度為O（1），計(jì) 算適應(yīng)度為〇（N），總的迭代過(guò)程的復(fù)雜度為 O（NM），DBO算法總的時(shí)間復(fù)雜度為

O（1）+O（N）+O（NM） = O（NM）

在TDBO 算法中，Tent 混沌映射的初始化時(shí)間復(fù)雜度為O（NM），計(jì)算適應(yīng)度為 O（N），萊維飛行和自適應(yīng)慣性權(quán)重對(duì)位置更新的時(shí)間復(fù)雜度分別為O（NM） ，總的迭代過(guò)程的復(fù)雜度為O（NM），TDBO 算法總的時(shí)間復(fù)雜度為

O（NM）+O（N）+O（NM）+O（NM）+O（NM） = O（NM）

綜上所述，TDBO 算法的時(shí)間復(fù)雜度并沒(méi)有提升。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文將從以下3 個(gè)部分進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：a. 將TDBO 算法與GWO 算法、麻雀搜索算法（SSA）[14]、WOA 算法、北方蒼鷹優(yōu)化算法（NGO）[15] 和DBO算法這5 個(gè)基本元啟發(fā)式算法進(jìn)行對(duì)比， 驗(yàn)證TDBO 算法的尋優(yōu)能力和魯棒性; b. 將TDBO 算法與單獨(dú)策略改進(jìn)型的DBO 算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證不同改進(jìn)策略的有效性; c. 采用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的方法驗(yàn)證TDBO 算法與對(duì)比算法的差異性。

如表1 所示，本文選取了多個(gè)常用的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)。其中，F(xiàn)1～F5 為多維單峰值函數(shù)，F(xiàn)6 和F7 為多峰函數(shù)，F(xiàn)8 和F9 為固定維度多峰函數(shù)。為了避免實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，算法的最大迭代次數(shù)設(shè)置為500，種群規(guī)模大小均設(shè)為30，每個(gè)算法依據(jù)相應(yīng)的參考文獻(xiàn)設(shè)置其他的參數(shù)。

3.1 與其他基準(zhǔn)算法進(jìn)行對(duì)比

為了驗(yàn)證改進(jìn)后DBO 算法的收斂性以及穩(wěn)定性， 將本文提出的TDBO 算法與WOA， GWO，SSA，NGO，DBO 算法在9 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

各個(gè)算法在上述函數(shù)上都獨(dú)立運(yùn)行30 次，避免一次運(yùn)行結(jié)果的偶然性。每個(gè)算法所得數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2 所示。

從表2 可以看出， 在多維單峰值函數(shù)F1～F5 中，TDBO 函數(shù)的性能遠(yuǎn)優(yōu)于其他對(duì)比函數(shù)，并且除了F4 函數(shù)，其他均達(dá)到了理論最優(yōu)值。在多峰函數(shù)F6～F7 中，TDBO 算法也展現(xiàn)了不錯(cuò)的性能，均達(dá)到了理論最優(yōu)值。其中的F6 和F7 函數(shù)，SSA 和NGO 算法也都達(dá)到理論最優(yōu)，無(wú)法比較TDBO 算法與這兩者的性能，但是相對(duì)于未改進(jìn)的初始DBO 算法，TDBO 算法的性能均有較大提升。在固定多峰值函數(shù)F8 和F9 中，TDBO算法相較于基礎(chǔ)DBO 算法均有所改善，但是在F8 函數(shù)中，無(wú)法比較與SSA 算法的性能；在F9 函數(shù)中，性能不及NGO 算法和SSA 算法。

3.2 算法收斂曲線對(duì)比分析

本文給出了算法在上述測(cè)試函數(shù)上的曲線收斂圖，用來(lái)直觀地比較TDBO 算法和對(duì)比算法的收斂速度。

由圖1 可知，在多維單峰值函數(shù)F1～F5 和多峰值函數(shù)F6～F7 中，TDBO 算法的收斂速度和精度明顯高于其他對(duì)比算法。說(shuō)明TDBO 算法具有較好的性能并且可以跳出局部極值點(diǎn)，收斂到最優(yōu)值。在固定多峰函數(shù)F8 上，TDBO 算法相對(duì)于對(duì)比算法也展現(xiàn)出了極快的收斂速度。雖然在F9 上精度和速度略低于NGO 算法和SSA 算法，但是相對(duì)于未改進(jìn)的DBO 算法，TDBO 算法的精度和速度均有所提升。

3.3 消融實(shí)驗(yàn)

通過(guò)將TDBO 算法與基于Tent 映射改進(jìn)的DBO1 算法、融合萊維飛行的DBO2 算法和融合自適應(yīng)慣性權(quán)重的DBO3 算法在9 個(gè)測(cè)試函數(shù)中作性能比較，進(jìn)一步研究單個(gè)改進(jìn)策略的有效性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表3。

由表3 可知，在函數(shù)F1～F4 和F8 中TDBO 算法的性能均優(yōu)于單一策略改進(jìn)的DBO 算法和基本DBO 算法。在函數(shù)F5 中，TDBO 算法尋優(yōu)精度和DBO2 算法相同，在F6 中，TDBO 算法的精度和DBO2， DBO3 算法相同，都達(dá)到了理論最優(yōu)值。在F7 中，TDBO，DBO1 和DBO2 算法均到達(dá)最優(yōu)值。在F9 中，DBO2 算法展現(xiàn)出了最優(yōu)的性能。在所有的函數(shù)中，單一策略改進(jìn)的DBO 算法和多策略改進(jìn)的TDBO 算法均優(yōu)于基本DBO 算法。由此可知，經(jīng)過(guò)3 種改進(jìn)策略的TDBO 算法，尋優(yōu)精度和魯棒性明顯優(yōu)于單一策略改進(jìn)的算法，能夠有效彌補(bǔ)單一策略的不足，從而最大限度地提升基本DBO 算法的性能。

3.4 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證TDBO 算法相較于對(duì)比算法的優(yōu)越性，運(yùn)用Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)[16] 的方法來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，顯著性水平p設(shè)置為5%。將算法對(duì)立運(yùn)行的30 次結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，當(dāng)p值小于5% 的情況下，說(shuō)明兩種算法顯著性明顯，否則兩種算法之間的性能相差不大。當(dāng)TDBO 算法與對(duì)比算法得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差不大時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)算法之間性能相當(dāng)，則Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的結(jié)果表示為NaN。

由表4 可知， TDBO 算法和GWO 算法在F9上性能顯著性差異不明顯；和SSA 算法在測(cè)試函數(shù)F6～ F8 上性能相當(dāng)； 和WOA 算法在F6 和F9 上性能沒(méi)有顯著性差異；和NGO 算法在函數(shù)F6～F7 上性能相當(dāng)，和DBO 算法在F6，F(xiàn)7 和F9上性能沒(méi)有顯著性差異。除此之外，其余值均小于5%?？傮w看來(lái)，本文提出的TDBO 算法相較于其他對(duì)比算法具有顯著性差異。

4 工程優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)用

4.1 壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題描述

壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題是在4 個(gè)約束條件下使得總成本最小。它包括4 個(gè)變量，分別為殼體厚度x1、封頭厚度x2、殼體半徑 x3以及圓柱形截面長(zhǎng)度，其具體數(shù)學(xué)模型如下所示。

目標(biāo)函數(shù)：

如表5 所示，在壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題優(yōu)化中，TDBO 算法求解出的最優(yōu)值是6 種算法之中最小的，說(shuō)明TDBO 算法在求解該工程設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)具有較好的性能。

4.2 懸臂梁設(shè)計(jì)問(wèn)題描述

懸臂梁設(shè)計(jì)問(wèn)題是在滿足開(kāi)口端垂直位移上限的條件下使得懸臂梁的重量最小化。x1，x2，x3， x4， x5分別表示5 個(gè)空心方塊的長(zhǎng)度，具體數(shù)學(xué)模型如下所示。

目標(biāo)函數(shù)：

min f （x） = 0.06224（x1 + x2 + x3 + x4 + x5）

約束條件：

如表6 所示，TDBO 算法的最優(yōu)值以較小的優(yōu)勢(shì)達(dá)到最小。相較于初始DBO 算法，尋優(yōu)結(jié)果得到了較好的改善。

4.3 工字鋼設(shè)計(jì)問(wèn)題描述

工字鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題是通過(guò)調(diào)整其長(zhǎng)和高以及兩個(gè)厚度來(lái)達(dá)到最小的垂直撓度。其具體數(shù)學(xué)模型如下所示。

目標(biāo)函數(shù)：

如表7 所示，除了GWO 算法和WOA 算法的最優(yōu)值稍差之外，其余4 個(gè)算法達(dá)到了相同的最優(yōu)值。以此得出，改進(jìn)后的TDBO 算法并未降低初始DBO 算法的性能。

5 結(jié) 論

根據(jù)DBO 算法易陷入局部最優(yōu)，可能存在收斂精度不夠的問(wèn)題。本文依據(jù)Tent 映射策略、自適應(yīng)慣性群權(quán)重和萊維飛行策略，提出一種混合策略改進(jìn)的蜣螂優(yōu)化算法（TDBO），從而有效提高了算法的搜索能力，使算法較容易跳出局部最優(yōu)，更好地平衡搜索多樣性與收斂準(zhǔn)確性之間的關(guān)系。在9 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與GWO，SSA， WOA， NGO 和DBO 算法進(jìn)行對(duì)比得出，TDBO 算法的收斂速度、精度和魯棒性都表現(xiàn)較好，且通過(guò)秩和檢驗(yàn)證明了TDBO算法與其他算法具有差異性。最后，在3 個(gè)工程優(yōu)化問(wèn)題中，TDBO 算法也取得了不錯(cuò)的效果。當(dāng)然，算法的改進(jìn)策略不局限于本文所提出的幾種方法。未來(lái)的研究，一方面會(huì)嘗試更多的改進(jìn)策略，另一方面也會(huì)把TDBO算法用于解決實(shí)際問(wèn)題，如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超參數(shù)優(yōu)化、路徑優(yōu)化等。

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（編輯：丁紅藝）

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