數(shù)學建模核心素養(yǎng)視域下的高考試題評析

鄧雯靜

摘 要：2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷從多個角度對學生的思維能力、創(chuàng)新能力等方面進行考查，凸顯數(shù)學建模核心素養(yǎng).通過對2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷的評析，體會如何在教學中滲透數(shù)學建模核心素養(yǎng)，給高中數(shù)學的教學提供一些啟示.

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模；新高考；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0079-03

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：數(shù)學建模作為數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，要求學生能夠在實際情境中運用所學習的知識抽象出數(shù)學問題，結(jié)合邏輯推理、直觀想象的能力建立數(shù)學模型，并計算求解，最終解決實際問題［1］.2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷充分體現(xiàn)了新課標對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要求，從多個角度對數(shù)學建模核心素養(yǎng)進行考查，下面以試題為例進行剖析.

1? 數(shù)學模型在現(xiàn)實情境中的構(gòu)建

2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷部分試題背景素材緊密聯(lián)系社會生活實際.例如，人們越來越重視噪聲污染，高考試題便在這個方面有所體現(xiàn)，第10題以燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車三種聲源產(chǎn)生的聲壓為背景材料，將實際問題抽象為構(gòu)建有關(guān)聲壓的數(shù)學模型，讓學生初步體會運用數(shù)學模型解決實際問題.

1.1 現(xiàn)實情境下的函數(shù)模型

例1 （2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷第10題）噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp=20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0>0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓，不同聲源的聲壓級見表1：

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10 m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（? ）.

A. p1≥p2?? B.p2>10p3

C. p3=100p0D.p1≤100p2

分析 本題是在一個社會問題背景下，將聲壓級數(shù)學模型通過函數(shù)解析式給出，需要學生在閱讀理解下抓取關(guān)鍵信息，梳理清楚各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，結(jié)合選項合理運用條件中的數(shù)學模型探究p1，p2，p3之間的關(guān)系，并利用對數(shù)運算性質(zhì)展開計算［2］.

解法1 根據(jù)題意可知Lp1∈［60，90］，Lp2∈［50，60］，Lp3=40.

選項A：將對應(yīng)函數(shù)值相減可得

解法2 根據(jù)題意可得

即p2≤1 000p0≤p1，故A正確.

故選ACD.

1.2 現(xiàn)實情境下的概率模型

例2 （2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

分析 本題從投籃實例出發(fā)，從題干中分析出概率模型進行求解，需要學生理解條件概率與全概率公式模型之間的關(guān)系以及兩點分布模型的特點，在遞推的過程中使用數(shù)列模型求解，不僅體現(xiàn)了數(shù)學建模核心素養(yǎng)，還考查了學生的數(shù)學運算能力.

解析 （1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

（2）設(shè)P（Ai）=pi，依題可知P（Bi）=1-pi，

則P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）

=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）

=0.4pi+0.2.

構(gòu)造等比數(shù)列 {pi+λ}，

（3）設(shè)第i次投籃時甲投籃次數(shù)為Xi，且Xi的可能取值為0或1，Xi服從兩點分布，則P（Xi=1）=pi，P（Xi=0）=1-pi，E（Xi）=pi.

前n次中甲投籃的次數(shù)

Y=X1+X2+X3+…+Xn，

則 E（Y）=E（X1+X2+X3+…+Xn）

=p1+p2+p3+…+pn.

2 幾何、代數(shù)模型在數(shù)學情境中的整合

2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷第16題是在雙曲線、向量、余弦定理公式模型下進行探究求解，更體現(xiàn)了數(shù)學模型綜合性的運用.

分析 根據(jù)雙曲線的概念性質(zhì)、向量運算以及幾何意義得到|AF2|，|BF2|，|BF1|，|AF1|關(guān)于a，m的表達式，利用勾股定理求得a=m，通過余弦定理得到a，c的齊次方程，從而求得雙曲線離心率.也可依題意設(shè)出各點坐標，利用向量坐標運算求解點A坐標，將點A代入雙曲線C 得到關(guān)于a，b，c的齊次方程，求得離心率.

在Rt△ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，

即a=m或a=-3m（舍去）.

整理，得5c2=9a2.

3 結(jié)束語

在新課標的背景下，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模核心素養(yǎng)成為教學的重點，傳統(tǒng)課堂已經(jīng)滿足不了教學的需要，因此高中數(shù)學教師必須轉(zhuǎn)變教學方式，在課堂中逐漸滲透數(shù)學建模素養(yǎng).在教學中無論是探究初等基本函數(shù)，還是向量、立體幾何、圓錐曲線等，都通過構(gòu)建數(shù)學模型，引導學生探究其性質(zhì)特點，再進一步在實際問題中加以運用.在探究過程中，可以運用信息技術(shù)手段如幾何畫板GeoGebra等，引導學生小組合作繪制圖象，構(gòu)建模型，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生在整個分析、構(gòu)建、計算、檢驗、改進、解決的過程中，體會數(shù)學建模的應(yīng)用價值.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 許正川.高中數(shù)學建模中問題的作用及發(fā)揮機制[J].數(shù)學教學通訊，2023（09）：38-39.