再談構(gòu)造法求an+1=kan+f(n)型遞推關(guān)系數(shù)列的通項(xiàng)

摘 要：針對(duì)an+1=kan+f（n）型遞推關(guān)系，以系數(shù)k是否為1和f（n）的類型為標(biāo)準(zhǔn)，以構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列和常數(shù)列為基本途徑，借助等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)現(xiàn)求數(shù)列通項(xiàng)公式的目的.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；遞推關(guān)系；通項(xiàng)公式；構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0053-04

數(shù)列遞推關(guān)系是考查學(xué)生探究能力的重要載體，探究數(shù)列的性質(zhì)，探究如何求數(shù)列的通項(xiàng).在解答題中，擔(dān)心學(xué)生能力不足，命題者一般會(huì)設(shè)置解題坡度，學(xué)生只需按圖索驥就能解決問題.但這并不影響我們對(duì)遞推關(guān)系的研究，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，不斷開拓視野，提升學(xué)生應(yīng)變和解決問題的能力.形如an+1=kan+f（n）的遞推關(guān)系是一類比較常見的問題，如何求數(shù)列的通項(xiàng)公式，方法是多樣的.下面以系數(shù)k為第一分類標(biāo)準(zhǔn)，分別討論f（n）的常見類型，統(tǒng)一采取構(gòu)造法，實(shí)現(xiàn)求數(shù)列通項(xiàng)的目的.

1 系數(shù)k=1的類等差型

an+1-an=f（n）是等差數(shù)列定義的升級(jí)版.當(dāng)

f（n）為常數(shù)時(shí)，遞推關(guān)系表明{an}就是等差數(shù)列，直接套用公式就可以得到通項(xiàng).下面主要考查f（n）不為常數(shù)的情形.

1.1 f（n）為一次式，構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)

例1 在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=7-2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析 我們知道，當(dāng)f（n）是關(guān)于n的一次式時(shí)，通常采取疊加法求數(shù)列的通項(xiàng).如果能將f（n）改寫成某個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差，則遞推關(guān)系重組后出現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)相等，從而得到一個(gè)常數(shù)列.設(shè)7-2n=g（n+1）-g（n），顯然，當(dāng)g（n）是關(guān)于n的一次式時(shí)，g（n+1）-g（n）為常數(shù)，不符合條件，這時(shí)必需“升級(jí)”g（n）為常數(shù)項(xiàng)為0的二次式[1].

解析 由an+1-an=7-2n，可設(shè)

an+1-［k（n+1）2+b（n+1）］=an-（kn2+bn）.

則an+1-an=［k（n+1）2+b（n+1）］-（kn2+bn）=2kn+k+b.

所以2kn+k+b=7-2n，

解得k=-1，b=8.

則an+1-［-（n+1）2+8（n+1）］=an-（-n2+8n）.

故數(shù)列an-（-n2+8n）是常數(shù)列.

所以an-（-n2+8n）=a1-（-1+8）=-6.

則an=-n2+8n-6.

小結(jié) 疊加是差為一次式的遞推關(guān)系求通項(xiàng)的通法，雖然構(gòu)造法看起來“復(fù)雜”，但如果差是二次式或更高次，除了需要應(yīng)用特殊公式（如前n個(gè)正整數(shù)的平方和公式）外，構(gòu)造應(yīng)該是比較合理又好操作的方法.一般利用相鄰高次式相減得低次式，待定系數(shù)完成多項(xiàng)式的“分配”[2].

1.2? f（n）為指數(shù)式的倍數(shù)，構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)

例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1-an=3·22n-1，則an=.

分析 由于同底數(shù)的高次冪減低次冪，結(jié)果為低次冪，因此，將指數(shù)冪的倍數(shù)分解給an+1和an，只需要配置一個(gè)系數(shù)即可.

解析 由an+1-an=3·22n-1，

設(shè)

an+1-k·22n+1=an-k·22n-1，

則an+1-an=k·22n+1-k·22n-1

=3k·22n-1.

所以k=1.

即an+1-22n+1=an-22n-1.

所以數(shù)列an-22n-1是常數(shù)列.

從而an-22n-1=a1-2=0.

即an=22n-1.

1.3 f（n）為指數(shù)式加常數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)

例3 在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=2n+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.

分析 通過疊加，借助等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是可以確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，但由于指數(shù)式可以對(duì)應(yīng)分解成相鄰兩項(xiàng)的差，因此可以構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列.

解析 因?yàn)?n=2n+1-2n，

所以由an+1-an=2n+1可得

（an+1-2n+1）-（an-2n）=1.

則數(shù)列an-2n是公差為1的等差數(shù)列.

因?yàn)閍1-2=-1，

所以an-2n=-1+（n-1）=n-2.

則an=2n+（n-2）.

1.4 f（n）為指數(shù)式加一次式，構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)

例4 若a1=1，an+1-an=2n-n，n∈N*，則an=.

分析 雖然疊加法可求通項(xiàng)，但這是類型1和2的合并，因此可以構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng).

解析 因?yàn)?n=2n+1-2n，且

所以由an+1-an=2n-n，可得

2 系數(shù)k≠1的類等比型

當(dāng)系數(shù)k不等于1時(shí)，遞推關(guān)系是等比數(shù)列的升級(jí)版.

2.1 f（n）為常數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)

例5 已知數(shù)列{an}中，an+1=4an-6，則an=.

列的首項(xiàng).如果首項(xiàng)是0，則所有項(xiàng)都為0；如果首項(xiàng)不為0，則新數(shù)列為等比數(shù)列.求出an+m的通項(xiàng)，就可以得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析 由an+1=4an-6，得

an+1-2=4（an-2）.

當(dāng)a1-2=0，即a1=2時(shí)，由遞推關(guān)系得an-2=0，所以an=2；

所以an-2是首項(xiàng)為a1-2，公比為4的等比數(shù)列.

因此an-2=（a1-2）·4n-1.

即an=（a1-2）·4n-1+2.

顯然a1=2時(shí)也符合上式.

因此，an=（a1-2）·4n-1+2.

2.2? f（n）為一次式，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)

例6 已知數(shù)列{an}滿足a1=5，an+1=3an-4n+2（n∈N*）.數(shù)列bn滿足bn=an-2n，則數(shù)列bn，{an}的通項(xiàng)公式分別為.

解析 由an+1=3an-4n+2，得

an+1-2（n+1）=3［an-2n］.

即bn+1=3bn.

因?yàn)閎1=a1-2=3≠0，

所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.

所以bn=3n.

從而an=3n+2n.

評(píng)析 為求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，需要對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系式進(jìn)行重構(gòu).設(shè)置數(shù)列bn，既是解題梯度，也是構(gòu)造方向.為了“處理”掉一次項(xiàng)，相對(duì)于系數(shù)為1的遞推關(guān)系，為什么是一次式而不是二次式，主要原因就在于系數(shù).由于an+1和an兩項(xiàng)的系數(shù)不相等，因此相鄰一次項(xiàng)的差運(yùn)算后就不會(huì)抵消掉一次項(xiàng).故只需設(shè)an+1-［k（n+1）+b］=3［an-（kn+b）］，待定系數(shù)得到f（n）的分解，即an+1-2（n+1）=3（an-2n）[3].

2.3 f（n）為指數(shù)式，指數(shù)式的底數(shù)與系數(shù)相等，構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)

例7 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an+3n，則an=.

則an=n·3n-1.

2.4 f（n）為指數(shù)式，指數(shù)式的底數(shù)與系數(shù)不相等，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)

例8 數(shù)列{an}中，已知a1=26，an=3an-1+2·5n（n∈N*，n≥2）.求證：數(shù)列an-5n+1是等比數(shù)列.

分析 當(dāng)系數(shù)和冪底數(shù)不相等時(shí)，指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化有兩種方式，一是同時(shí)除以冪，轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系，兩次轉(zhuǎn)化求解；二是分解冪，直接得到等比結(jié)構(gòu).

證法1 （同除構(gòu)造）等式an=3an-1+2·5n兩邊同時(shí)除以5n，得

證法2 （分解構(gòu)造）設(shè)an-k·5n+1=3（an-1-k·5n），則an=3an-1+2k·5n.

所以k=1.

又a1-52=1，

所以an-5n+1是公比為3的等比數(shù)列.

所以an-5n+1=3n-1.

即an=5n+1+3n-1.

2.5 f（n）為指數(shù)式加常數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)

證明 依題意，得an-1=2（an-1-1）+2n.

小結(jié) 由于系數(shù)和冪底數(shù)相等，先處理常數(shù)，再采取同除構(gòu)造法比較簡(jiǎn)單；如果系數(shù)和冪底數(shù)不相等，先分解指數(shù)冪，轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系，再處理常數(shù).

至于說f（n）的其他結(jié)構(gòu)如分式，構(gòu)造方式大同小異，本文不再贅述，讀者可自行參閱相關(guān)文獻(xiàn).

3 結(jié)束語

關(guān)于an+1=kan+f（n）型數(shù)列遞推關(guān)系，系數(shù)k為1是等差數(shù)列升級(jí)版，系數(shù)不為1則是等比數(shù)列的升級(jí)版.等差型遞推關(guān)系一般采取疊加法，僅僅只能解決f（n）為一次式或可裂項(xiàng)的分式結(jié)構(gòu)，等比型遞推關(guān)系一般采取累乘法，解決的類型也不多.以等差和等比數(shù)列的定義為核心，基于構(gòu)造法，通過改變遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，巧妙構(gòu)造等差（常）數(shù)列和等比數(shù)列，實(shí)現(xiàn)求通項(xiàng)公式的自由.

參考文獻(xiàn)：

［1］李秀元，夏志超.升冪裂項(xiàng)法在數(shù)列中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2017（01）：19.

[2] 李秀元，夏志超.例談構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)公式[J].數(shù)理化解題研究，2016（25）：18.

[3] 李秀元.an+1+an=f（n）型數(shù)列問題的求解策略[J].數(shù)理天地（高中版），2021（03）：14-16.