中學“三度”數(shù)學課堂的構建與實施

【摘 要】在中學數(shù)學新知課中的概念課和命題課教學中，教師可以嘗試構建“教之有溫度、引之有廣度、導之有深度”的數(shù)學課堂（簡稱“有溫度、有廣度、有深度”的“三度”數(shù)學課堂），提高數(shù)學課堂教學質量，提升數(shù)學課堂教學效率，增強數(shù)學課堂教學育人功能，以促進學生全面發(fā)展。

【關鍵詞】中學數(shù)學；核心素養(yǎng)；“有溫度、有廣度、有深度”數(shù)學課堂；概念課；命題課

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）11-0007-04

【作者簡介】嚴虹，貴州師范大學（貴陽，550025）數(shù)學科學學院教授，博士生導師。

筆者致力于中小學優(yōu)質數(shù)學課堂的探索，基于優(yōu)質課堂的基本特征以及數(shù)學學科的本質特點，初步構建了中小學優(yōu)質數(shù)學課堂的一種呈現(xiàn)樣態(tài)，即“有溫度、有廣度、有深度”數(shù)學課堂（簡稱“三度”數(shù)學課堂）。已有研究對“三度”數(shù)學課堂內(nèi)涵、邏輯關系、課堂特征以及實施途徑進行了探索。［1］［2］本文將在前期研究的基礎上，分別以中學數(shù)學新知課當中的概念課、命題課為例具體闡述“三度”數(shù)學課堂的教學策略。

一、中學“三度”數(shù)學課堂的內(nèi)涵

中學“三度”數(shù)學課堂是指在中學數(shù)學教學過程中致力于構建“教之有溫度、引之有廣度、導之有深度”的課堂（簡稱“有溫度、有廣度、有深度”的“三度”數(shù)學課堂），增強數(shù)學學科育人功能，提升數(shù)學課堂教學質量，以促進學生全面發(fā)展、培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為最終目標。

其中，“有溫度”的數(shù)學課堂能夠以情促動學生的內(nèi)心世界，充分挖掘數(shù)學課堂的德育功能，引導學生在長期課堂浸潤過程中逐步形成正確的世界觀、人生觀、價值觀；“有廣度”的數(shù)學課堂能夠促進學生良好數(shù)學認知結構的形成；“有深度”的數(shù)學課堂能夠促進學生對于數(shù)學思想方法的良好感悟，從而逐步培養(yǎng)解決綜合性數(shù)學問題的能力，逐步引導深度學習的發(fā)生，進而培育學生核心素養(yǎng)。“有溫度”“有廣度”“有深度”三者之間既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體。

二、核心素養(yǎng)視閾下中學“三度”數(shù)學課堂概念課的教學策略

數(shù)學概念是進行數(shù)學推理和證明的基礎和依據(jù)，數(shù)學中的推理和證明實質上由一些連貫的概念、判斷和原理組成，而數(shù)學中的原理又是由一些概念構成的。［3］由此可見，數(shù)學概念是組成數(shù)學學科這一“生命體”的“細胞”。數(shù)學概念課是中學數(shù)學新知課當中非常重要的組成部分。核心素養(yǎng)視閾下中學“三度”數(shù)學課堂概念課的主要教學策略如下。

1.巧設概念探究，精選概念應用，凸顯數(shù)學概念課的“溫度”

概念探究是指“在特定的背景下，通過合理設置的腳手架，探究概念的本質屬性”［4］。在特定的知識背景下，教師可以通過巧妙設計問題情境，在問題情境中凸顯數(shù)學課堂的“溫度”：既可以是包含顯性德育內(nèi)容的理想信念教育、社會主義核心價值觀教育、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育等內(nèi)容，也可以是包含隱性德育內(nèi)容的科學精神、科學方法、科學態(tài)度等內(nèi)容［5］；既可以是生活情境、文化情境中蘊含中國特色社會主義建設取得的成就、社會關愛、人格修養(yǎng)、生態(tài)文明等德育內(nèi)容，也可以是在數(shù)學情境、科學情境中蘊含不畏艱難、勇攀科學高峰的科學精神，以及觀察、歸納、類比、遷移等科學方法。

概念應用是指“鞏固概念，應用概念的定義進行簡單的應用”［4］129。概念應用的目的在于鞏固概念，在概念應用所涉及的例題、課堂習題、課后習題中，教師可以通過精選問題內(nèi)容，在問題情境中滲透德育內(nèi)容，進而潛移默化地融入“溫度”。

2.建構數(shù)學聯(lián)結，拓展概念應用，展現(xiàn)數(shù)學概念課的“廣度”

數(shù)學聯(lián)結是指“構建該概念表征體系，并將獲得的概念與相關的概念廣泛聯(lián)系”［4］。數(shù)學聯(lián)結的過程，實質上是將新概念順應到原有的數(shù)學認知結構中，甚至是個人的跨學科認知結構中。在課堂教學中，教師可以通過概念圖的形式建立概念的表征體系：可以由教師繪制概念圖并進行講解，讓學生初步獲得該概念與相關概念的聯(lián)系；也可以由學生自行繪制概念圖，教師進行點評，在了解學生概念學習情況的同時展現(xiàn)數(shù)學課堂的“廣度”；還可以設計針對概念圖的生生互評，讓學生加深對該概念的認知，形成良好的數(shù)學概念認知結構。

在概念應用的過程中，例題、課堂習題、課后習題設置上應該呈現(xiàn)一定的階梯性。第一層次表現(xiàn)為概念的數(shù)學應用，主要圍繞單一概念進行簡單的應用；第二層次表現(xiàn)為概念的情境應用，在某一特定情境（生活類、社會類、科學類、文化類等）中圍繞單一概念進行簡單的應用；第三層次表現(xiàn)為概念的綜合應用，要求學生能夠綜合運用已學相關數(shù)學知識，分析和解決綜合性數(shù)學問題；第四層次表現(xiàn)為概念的跨學科應用，要求學生能夠綜合運用已學知識，分析和解決跨學科問題。在逐層問題的解決過程當中，既展現(xiàn)了數(shù)學課堂的“廣度”，又為后續(xù)數(shù)學聯(lián)結階段做好準備。

3.注重概念深化，深挖概念應用，顯露數(shù)學概念課的“深度”

概念深化是指“對概念進行多角度的辨析，揭示概念的內(nèi)涵和外延”［4］。在概念深化的過程中，通過對概念進行多角度的辨析，可以使學習具有本質與變式、活動與體驗、聯(lián)想與結構等深度學習的基本特征。教師可以通過概念的非標準變式不斷變換概念的非本質屬性，幫助學生實現(xiàn)對概念本質屬性的深度把握；也可以通過非概念變式教學，有效預防學生在理解概念時容易出現(xiàn)的錯誤，使其通過明確概念的外延，深入把握概念的本質屬性，從而彰顯數(shù)學課堂的“深度”。

在概念應用的過程中，教師可以通過在例題、課堂習題、課后習題中設置具有挑戰(zhàn)性的學習問題，引導學生經(jīng)歷積極參與、體驗成果、獲得發(fā)展的有意義的學習過程。具有挑戰(zhàn)性的學習問題，可以設置在上述第三層次和第四層次的問題中。學生通過綜合性數(shù)學問題、跨學科應用問題的練習，能夠結合數(shù)學特色，充分應用正向遷移策略，在已有知識的基礎上，分析和解決問題。同時，學生體會到所解決數(shù)學問題的價值，并在教師引導下進行學生自評、生生互評，多方面反思解決問題的方式方法，使得評價再次反向促進學生深度學習。

三、核心素養(yǎng)視閾下中學“三度”數(shù)學課堂命題課的教學策略

命題是由概念組成的，數(shù)學中的命題包括公理、定理、公式、法則、數(shù)學對象的性質等。［6］由此可見，數(shù)學命題是組成數(shù)學學科這一生命體的器官。數(shù)學命題課亦是中學數(shù)學新知課當中非常重要的組成部分。核心素養(yǎng)視閾下中學“三度”數(shù)學課堂命題課的主要教學策略如下。

1.豐富命題引入，精選命題應用，凸顯數(shù)學命題課的“溫度”

在中學數(shù)學課堂中，命題（除公理之外）引入既可以直接由定義、公理等原始命題推理得到，也可以通過觀察、實驗、測量等實踐性活動猜想出該命題再進行證明或驗證。前者可以直接通過嚴格的推理和計算得到，在此過程中，教師可以引導學生體會相關的科學精神、科學態(tài)度，掌握相關的科學方法，逐步發(fā)展邏輯思維能力；也可以引導學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，進而引導學生體會數(shù)學學習的價值。后者可以通過歸納推理、類比推理、直覺思維活動等猜測出數(shù)學命題，在此過程中逐步發(fā)展學生的科學探究能力；也可以通過命題相關的科學情境、生活情境、文化情境等，引導學生深入體會數(shù)學學科的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，從而提高學生學習數(shù)學的興趣，增強學生學習數(shù)學的自信心。

應用命題解決有關的數(shù)學問題和實際問題是數(shù)學命題課的重要環(huán)節(jié)之一，命題應用的過程可以充分體現(xiàn)數(shù)學學科的科學價值和應用價值。教師精選命題應用的情境，有助于凸顯數(shù)學命題課的“溫度”。比如，命題應用中恰當?shù)臄?shù)學情境有助于學生掌握相關的科學方法，培養(yǎng)科學精神、科學態(tài)度，進一步發(fā)展歸納與演繹、分析與綜合、抽象與概括等邏輯思維能力；命題應用中合適的科學情境有助于學生對于數(shù)學學科科學價值的感悟；命題應用中巧妙的生活情境有助于學生不斷提高實踐應用能力；命題應用中適當?shù)奈幕榫?，可以讓學生體會數(shù)學家遇到挫折時永不言敗的堅韌品格，可以讓學生了解我國數(shù)學家取得的輝煌成就，潛移默化地增強他們的國家認同感，樹立民族自信、文化自信等。

2.重視命題明確，拓展命題應用，展現(xiàn)數(shù)學命題課的“廣度”

明確命題“是為了運用的需要，可提高學生使用命題的目的性和準確性”［7］。教師要重視命題明確環(huán)節(jié)，明確命題的有關概念、圖形特征、符號意義，這一方面有助于學生再次回顧學過的相關概念、命題，進一步鞏固已有的相關概念、命題的數(shù)學認知結構；另一方面，明確命題的過程，亦是將命題融入已有數(shù)學認知結構中，是進一步優(yōu)化知識結構的過程。在數(shù)學命題課教學過程中，教師要重視命題明確環(huán)節(jié)，細致解析命題的具體內(nèi)容，讓學生再次深入理解與該命題相關的概念、命題之間的邏輯架構，理順數(shù)學對象之間的關系（上位關系、下位關系、并列關系等），展現(xiàn)數(shù)學命題課的“廣度”。

在命題應用過程中，教師可以適度拓展命題應用的外延，不局限于課堂例題講解和習題練習，還可以引導學生通過歸納總結，利用思維導圖等形象化工具將已經(jīng)學習過的相關概念、命題系統(tǒng)化，以幫助學生進一步明晰本命題在整個知識體系中的地位和作用，在數(shù)學認知結構中與各個概念、命題之間的邏輯關系。拓展命題應用，進一步展現(xiàn)數(shù)學命題課的“廣度”特征，既可以幫助學生鞏固對本命題的掌握，又可以回顧關聯(lián)的知識體系，為解決綜合性數(shù)學問題作鋪墊。

3.探尋命題證明，深挖命題應用，顯露數(shù)學命題課的“深度”

命題證明是為了進一步確認猜想結論的正確性，是數(shù)學命題課的關鍵環(huán)節(jié)。探尋命題證明環(huán)節(jié)，教師可以引導學生通過分析法和綜合法不斷搭建已知條件和命題結論之間的邏輯通道。教學中，教師既可以將命題證明過程適當劃分為若干個任務鏈，以任務方式驅動學生深度思考，培養(yǎng)學生“愛思考”的學習品質；也可以通過引導學生閱讀自學、動手實踐、自主探索、合作交流等多種方式，讓學生在學習過程中充分體驗，培養(yǎng)學生“重體驗”的學習品質；還可以在說理表述中鼓勵學生多種形式表達，比如小組內(nèi)個人陳述、班級內(nèi)闡釋觀點、展示規(guī)范書寫證明過程等，從口頭和書面雙渠道培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力，培養(yǎng)學生“善表達”的學習品質，顯露數(shù)學命題課的“深度”特征。

在命題應用過程中，教師可以在課堂例題講解、習題練習中設置具有挑戰(zhàn)性的學習問題，深化命題應用。課堂例題的選擇需要注重其典型性特征，給予學生充分的思考空間后再進行講解。課堂習題的選擇需要注重其階梯性特征，從該節(jié)課命題的直接套用，到該命題的變式應用，再到該命題的逆用。課后習題的選擇需要注重其差異性特征，基礎性題目為全體學生皆需完成題目，應充分利用命題變式設計題目；拓展性題目供學有余力的學生選擇性完成，可以考慮一些包含該命題的綜合性數(shù)學問題、跨學科應用問題；銜接性題目供學習有一定困難的學生完成，通過練習將本命題和相關已學概念、命題進行銜接。深化命題應用，既可以作為本節(jié)課的延續(xù)，又可以作為下節(jié)課的預備，從而顯露數(shù)學命題課的“深度”特征。

中學“三度”數(shù)學課堂的構建致力于當前核心素養(yǎng)視閾下的中學優(yōu)質數(shù)學課堂理論探索。然而，“優(yōu)質”常常需要與“高效”相互映照，中學“三度”數(shù)學課堂是否同時符合高效數(shù)學課堂的基本特征，還有待在今后的研究當中進一步驗證。

【參考文獻】

［1］嚴虹.核心素養(yǎng)視閾下中小學“三度”數(shù)學課堂構建的一些思考［J］.數(shù)學通訊，2023（9）：6-9.

［2］李龍梅，嚴虹.核心素養(yǎng)視閾下中小學“三度”數(shù)學課堂構建的再思考［J］.興義民族師范學院學報，2023（4）：64-69.

［3］何小亞，姚靜.中學數(shù)學教學設計（第三版）［M］.北京：科學出版社，2020：47.

［4］葉立軍.中學數(shù)學教學設計［M］.北京：高等教育出版社，2015：129.

［5］教育部.教育部關于印發(fā)《中小學德育工作指南》的通知［EB/OL］.（2017-08-17）［2023-11-08］http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A06/s3325/201709/t20170904_313128.html.

［6］顧繼玲.中學數(shù)學教學設計［M］.北京：北京師范大學出版社，2015：177.

［7］熊惠民.中學數(shù)學教學設計與案例研究［M］.北京：科學出版社，2014：132.