形式冪級數(shù)環(huán)中的循環(huán)碼

劉修生

（黃石理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003）

1 引言

循環(huán)碼是一類非常重要的碼，首先是在二元域F2中研究循環(huán)碼，然后擴充到有限域 Fq上( q = pr, p為素數(shù)， r ≥ 1 )。由于有限域 F 上長度為qn的循環(huán)碼可以看成環(huán) Fq[ x] xn- 1 的一個理想，在文獻[1]中給出了這種域上循環(huán)碼的構(gòu)造。在文獻[2]中，Norton 和 S alagean應(yīng)用環(huán)同構(gòu)技術(shù)擴充了文獻[1]與文獻[3]得到的定理推廣到有限鏈環(huán)。接下來，Dinh和Lopez-permouth在文獻[4]中用不同于文獻[2]的方法研究了有限鏈環(huán)上循環(huán)碼的生成元。近年來，Dougherty等研究了形式冪級數(shù)環(huán)R∞上循環(huán)碼的投影碼的循環(huán)性，得到了一系列的結(jié)果[5]。本文的目的是：由形式冪級數(shù)環(huán)R∞上碼C投影碼的循環(huán)性來研究碼C的循環(huán)性，以及含有形式冪級環(huán)R∞的中國積中循環(huán)碼來研究它的投影碼的循環(huán)性。

2 有限鏈環(huán)與形式冪級數(shù)環(huán)

一個環(huán)R稱為鏈環(huán)，如果它的所有理想在包含關(guān)系上是線性有序的，顯然鏈環(huán)上的理想都是主理想，且是局部主理想環(huán)，因此它有唯一的最大理想。

設(shè)R是一個有限鏈環(huán)，I是它唯一的最大理想，讓γ是的I生成元，則

于是

由于R為有限環(huán)，所以在式(1)中的鏈不可能是無限的。因此，存在正整數(shù)i使設(shè)e是使= { 0}的最小正整數(shù)，這個數(shù)e叫做γ的冪零指數(shù)。使用R×表示R中所有在乘法運算下的單位作為的集合。記則F是一個域，稱為主理想環(huán)I的剩余類域。設(shè)它的特征為素數(shù)p，則存在正整數(shù)q和r，使顯然

下面給出2個引理[6]。

引理1[6]記號如上，對任意0≠r∈R，存在唯一整數(shù)i且0≤i≤e，使得r=μγi，這里μ是一個單位且在模γe-i下是唯一的。

引理2[6]設(shè)R是具有最大理想I=γ 的有限鏈環(huán)，γ的冪零指數(shù)為e。設(shè) V?R 是R中元素在γ的模同余關(guān)系的等價類的代表元作成的集合。則：

1) ?r∈R,存在唯一的r0,r1, … , re-1∈V ，使得

從引理2知道?a∈R有唯一的表達式。

其中，ai∈F。

下面2個定義是由Dougherty和劉宏偉在文獻[5]中給出的。

定義1[5]設(shè)i是一個任意正整數(shù)，令

其中，在 R 中，γi-1≠0，但γi=0。在R中，定義ii2種運算

則 Ri是一個有限環(huán)。

注意到，當(dāng)i=1時，R1=F；當(dāng)i=e時，Re?R。

易證明，對于任意i＜∞，環(huán) Ri是有唯一最大理想γ的有限鏈環(huán)。

定義2[5]記號如上，設(shè)

則稱R∞為形式冪級數(shù)環(huán)，顯然且R∞為主理想數(shù)環(huán)。

定義3對于任意正整數(shù)i＜∞，定義映射

稱Ψi為R∞到Ri的投射映射。

對于任意?a,b∈R∞，易驗證

注意到，映射Ψi可以很自然地擴充成R∞n到 Rin的映射。

定義 4 如果C是R∞上碼，對于任意i＜∞，稱Ψi( C )是碼C在環(huán) Ri上的投影碼。有時，用 Ci表示Ψi( C )。

由于循環(huán)碼與多項式的剩余類環(huán)有密切關(guān)系。為此將等式（5）定義的映射引入到形式冪級數(shù)環(huán)R∞與有限鏈環(huán) Ri的多項式中。

設(shè)

是環(huán)R∞上的多項式環(huán)。由于R∞為整環(huán)，因此 R∞[x]也為整環(huán)。

3 R∞上的循環(huán)碼與負循環(huán)碼

本節(jié)利用R∞上碼C的投影碼Ψi( C )的循環(huán)性來研究碼C的循環(huán)性。

設(shè)λ是R∞上的任一單位，令對于若且則從而因此或

定義映射Pλ如下

特別地，如果取λ=1或λ=-1，得到下面2個映射P1和 P-1。

設(shè)C是 R∞n的任意集合，記

定義5 設(shè)C是R∞上長度n的線性碼，如果對于任意有cn-2)∈C ，則稱C為R∞上的λ循環(huán)碼。 當(dāng)λ=1時，稱C為R∞上的循環(huán)碼。當(dāng)λ=-1時，稱C為R∞上的負循環(huán)碼。

引理3R∞上一個長度為n的線性碼C是λ循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng) Pλ(C)是的理想。

證明設(shè)線性碼C是R∞上λ循環(huán)碼，則對于任意有cn-2)∈ C 。于是∈ Pλ(C)，由于

反之，當(dāng) Pλ(C)是的理想時，線性碼C是R∞上一個長度為n的λ循環(huán)碼，這是顯然的事實。

推論1

1) R∞上一個長度為n的線性碼C是循環(huán)碼，

當(dāng)且僅當(dāng) P1(C)是的理想；

2) R∞上一個長度為n的線性碼C是負循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng) P-1(C)是的理想。

接下來，研究R∞上循環(huán)碼與負循環(huán)碼以及這類碼的投影碼。

設(shè)

有了以上準(zhǔn)備，就可以證明下面定理。

定理1記號如上。R∞上一個長度為n的線性碼C是循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有i＜∞，Ψi( C )是Ri上的循環(huán)碼。

證明先證明必要性。設(shè)C是R∞上的循環(huán)碼，

則由推論1知 P1(C)是的理想。再由同態(tài)式(6)及上面的交換圖，知道 Ψi(P1(C))是的理想。從而對于所有i＜∞，Ψi( C )是 Ri上的循環(huán)碼。

同理可證如下定理及推論。

定理2記號如上，R∞上一個長度為n的線性碼C是負循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有i＜∞，Ψi(C)是 Ri上的負循環(huán)碼。

推論2設(shè)其中p為素數(shù)，則 ZP∞上的線性碼為循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)對所有i＜∞，Ψpi( C)為ZPi上的循環(huán)碼。這里，ZP∞到 ZPi的映射Ψpi由定義。

4 中國積中的循環(huán)碼

中國剩余定理在環(huán)上碼的研究中有非常重要的應(yīng)用[1,5,7]。在這一節(jié)，將用中國剩余定理研究中國積在什么條件下為循環(huán)碼。

設(shè)R是一個環(huán)， I1,I2,… ,Is是R中兩兩互質(zhì)的理想，且顯然，映射

是一個自然同態(tài)，它可以自然擴充為下面映射：

易驗證Φ是一個R模同構(gòu)。記這個同構(gòu)的逆為

如果 Rj= R Ij，則記對j = 1 ,2,… ,s ，設(shè) Cj是 Rj上的碼。讓 C = C RT(C1,…,那么稱C為碼 C1,… ,Cs的中國積。

設(shè) R1,… ,Rs是鏈環(huán)，其中Rj有唯一最大理想

e1esejγj和γj的冪零指數(shù)為ej，記

對于任意正整數(shù)i＜∞，由等式(4)定義的映射Ψi，可以得到下面映射（仍記為Ψi）：

于是，有下面交換圖

因此，環(huán) Aij可以看成環(huán) A∞j的投影。對1≤i＜ ∞ ，設(shè)Cij是 Rij上的碼，而 C∞j是 R∞j上的碼。記則由交換圖(10)得到下面交換圖

因此，對于所有i＜∞，在 Aij上的碼 Cij可以看作 A∞j上碼 C∞j的投影。

定理 3設(shè)分別是1的長為n的線性碼是 A∞j上長為n循環(huán)碼，對所有是 Aij長為n的循環(huán)碼。

證明記號如上，有交換圖

設(shè) Cj是 Aj上的循環(huán)碼，則 P(Cj)是∞∞1∞上的理想，故對于任意正整數(shù)i＜∞，結(jié)合同態(tài)式(5)及交換圖(12)知道是的理想。再由交換圖(11)知，是 Ai

j的循環(huán)碼。

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