比較冪的大小的幾種方法

文／南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué) 王梓琦

比較冪的大小是我們經(jīng)常遇到的題目。于是，我總結(jié)了一些常用的冪的大小比較方法，與小伙伴們進(jìn)行分享。

方法一：直接運(yùn)算，再比較

1.比較23與32的大小。

我比較喜歡此類題目，因?yàn)橐容^的數(shù)值小，只需口算就行。像這類冪的數(shù)值比較小的題目，我們可以直接先運(yùn)算，計(jì)算式子結(jié)果，然后再比較即可。23=8，32=9。因?yàn)?＜9，所以23＜32。

方法二：統(tǒng)一指數(shù)，比底數(shù)

2.已知a=350，b=440，c=530，則a、b、c的大小關(guān)系是________。

仔細(xì)對比，我發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)字的指數(shù)都有因數(shù)10，于是想到將指數(shù)先統(tǒng)一成三個(gè)指數(shù)的最大公因數(shù)，然后比較底數(shù)，問題就迎刃而解了。a=（35）10=24310，b=（44）10=25610，c=（53）10=12510。因 為125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即c＜a＜b。

方法三：統(tǒng)一底數(shù)，比指數(shù)

3.已知a=8131，b=2741，c=961，則a、b、c的大小關(guān)系是________。

有了方法二的經(jīng)驗(yàn)，我想到老師說的類比思想，于是試著將所有的底數(shù)都統(tǒng) 一。a=8131=（34）31=3124，b=2741=（33）41=3123，c=961=（32）61=3122。因 為124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122。即a＞b＞c。該方法需要我們對數(shù)字有較高的敏感性，能看到指數(shù)、底數(shù)之間的關(guān)聯(lián)哦。

方法四：作差法

4.已知M=62001+72003，N=62003+72001，比較M、N的大小。

這種類型的題目顯然無法用以上三種方法解題，但我觀察到M、N均有底數(shù)6 與7，想到：若a-b＞0，則a＞b。也就是說，若M-N＞0，則M＞N。于是我將M、N作差，M-N=62001+72003-62003-72001=72001×（72-1）+62001×（1-62）=72001×48-62001×35＞0，所以M＞N。

方法五：作商法

像這類指數(shù)龐大、底數(shù)有一定聯(lián)系的題目，我們可以采用作商法進(jìn)行比較。

所以P=Q。

當(dāng)然，這道題也可以通過化簡P直接得到結(jié)論，感興趣的小伙伴可以試一試。

方法六：放縮法

6.已知a=1996，b=9618，c=1996，d=6199，則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為________。

若要證明a＞b，可以尋找一個(gè)中間量c，證明a＞c且c＞b，從而得到a＞b。這道題目要比較的數(shù)比較多，于是我試著尋找中間量。因?yàn)?199＞6198，而6198=3699＞1996，1996=36148＞9618，而9618=（963）6＞1996，所以d＞a＞b＞c。

感悟：在求解比較冪的大小相關(guān)的題目時(shí)，我們不能被龐大的數(shù)字嚇到，而應(yīng)該勤練習(xí)、多總結(jié)，積累更多的答題方法，從而游刃有余地解決各類問題。

教師點(diǎn)評

小作者通過“冪的運(yùn)算”一章的學(xué)習(xí)，比較系統(tǒng)地總結(jié)出六種“冪的大小比較”題型的解法，從最簡單的“直接運(yùn)算法”到較復(fù)雜的“放縮法”，循序漸進(jìn)，思維縝密。其實(shí)，我們研究其他類型的數(shù)學(xué)題時(shí)，也需要由淺入深，自然也會(huì)收到“水到渠成”“撥云見日”的效果。