例談高中數(shù)學(xué)的解題技巧

數(shù)學(xué)是高中教育的重要組成部分，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和綜合能力具有重要作用。但高中的數(shù)學(xué)知識大多較為抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會遇到許多困難。為了幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，教師應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科優(yōu)勢，創(chuàng)新教學(xué)方式和方法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考問題。

解題技巧是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，它在很大程度上影響了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的提高。在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師要加強(qiáng)對解題技巧的分析和研究，并在日常的教學(xué)中加以滲透，以幫助學(xué)生掌握科學(xué)高效的解題技巧。此外，隨著新課改的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重心發(fā)生了較大變化，從注重知識傳授轉(zhuǎn)變?yōu)橐耘囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力為核心。在這樣的教學(xué)背景下，高中數(shù)學(xué)教師不僅要向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識，還要讓學(xué)生掌握高效的解題方法，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維能力。基于此，筆者從函數(shù)、數(shù)形結(jié)合思想、分類和歸納法、方程思想四個方面出發(fā)，分析高中數(shù)學(xué)的解題技巧，以期幫助學(xué)生掌握高效的解題方法，提高學(xué)生的解題能力。

一、高中數(shù)學(xué)常見解題技巧

（一）運(yùn)用函數(shù)方法，妙解數(shù)學(xué)題

1.利用函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)分析題目。利用函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)分析題目是教師在講解函數(shù)知識時常用的解題方法，可以幫助學(xué)生通過分析函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)提取題目中所包含的信息。

例如，在為學(xué)生講解函數(shù)y=f（x）時，教師可以利用函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生將題目中所給的信息進(jìn)行分類，接著分析函數(shù)y=f（x）的圖象，并了解x和y所代表的含義。

2.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式。利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小的例子已屢見不鮮，而其作為證明不等式的重要方法，關(guān)鍵在于判斷所選函數(shù)的單調(diào)性。在教學(xué)中，教師常用如下的導(dǎo)數(shù)判別法。

若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，當(dāng)x∈I時，有f'（x）≥0，則f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增；若

f'（x）≤0，則f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減。

例如，求證不等式lnx≤x-1（x＞0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時二者相等。

證明：作輔助函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x＞0，則f'（x）=-1=，當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，

f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，

f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，故x＞0時，f（x）max=f（1）=0，即當(dāng)x＞0時，f（x）≤f（1）=0，從而lnx≤x-1（x＞0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時二者相等。

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，巧解難題

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，數(shù)形結(jié)合思想中的“形”是指每一個幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，反之，數(shù)量關(guān)系通?？梢杂脦缀螆D形直觀地反映和描述。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，利用三角形、長方形、圓形等平面圖形描述題目中的數(shù)量關(guān)系，直觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)世界的客觀規(guī)律，使抽象思維和形象思維結(jié)合，找到解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的最佳思路和技巧。

數(shù)形結(jié)合思想是比較重要的解題方法之一，它能夠幫助學(xué)生快速找到解題思路和突破口。在教學(xué)過程中，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生探究問題和解決問題。在高中數(shù)學(xué)解題過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時，教師需要注意以下四個方面：一是注重培養(yǎng)學(xué)生的圖像分析能力；二是引導(dǎo)學(xué)生將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體形象問題；三是引導(dǎo)學(xué)生建立空間觀念；四是引導(dǎo)學(xué)生深入理解題目中所包含的實(shí)際意義。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答數(shù)學(xué)問題，以提高解題效率。在解答幾何題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析幾何圖形，幫助學(xué)生掌握正確的解題思路。

（三）運(yùn)用分類和歸納法，化解難題

1.分類法。分類討論思想是指在解題過程中，根據(jù)題目內(nèi)容將已知條件分類，并分析和探討分類結(jié)果，從而找到最優(yōu)解。分類討論思想在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中都有應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也較為廣泛。教師可以利用分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，從而提高解題效率。例如，在講解立體幾何時，教師可以運(yùn)用分類討論思想，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，在很大程度上縮短學(xué)生的解題時間。

2.數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納思想。例如，對于含有n（n∈N）的不等式，當(dāng)n取第一個值時不等式成立，再假設(shè)不等式在n=k（n∈N）時成立，若能證明其在n=k+1時也成立，那么可以得到這個不等式在n取第一個值以后的一切自然數(shù)時都能成立。

證明如下。

當(dāng)n=1時，不等式 ＜=成立。

假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即， + +…

＜，那么，當(dāng)n=k+1時， + +… ＜+ ＜

+=，即當(dāng)n=k+1時不等式亦成立，故該不等式對于一切n∈N+都成立。

（四）運(yùn)用方程思想，巧解疑難點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識，還要將解題方法滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)中。在具體的數(shù)學(xué)解題過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用方程思想解決問題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。方程思想是一種解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，這種思想方法主要包括代數(shù)方程、等式方程和不等式方程三種類型。

教師可以運(yùn)用均值不等式（基本不等式）解答具體的題目，如設(shè)a1，a2，…，an是n個正實(shí)數(shù)，則≥ ≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1=

a2=…=an時取等號，即算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)。

例如，已知a，b，c∈R+，求證：++≥

。

該題是一個對稱不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立，此時，=，所以該題構(gòu)造數(shù)組的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是和。

證明如下。

因?yàn)閍，b，c∈R+，由均值不等式得出+≥

a，同理：+≥b，+≥c。以上三個不等式兩邊累加可得+++（a+b+c）≥

a+b+c。故++≥。

二、解題過程中要注意的問題

（一）掌握基礎(chǔ)知識，為解題做好鋪墊

基礎(chǔ)知識是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，教師在教學(xué)過程中要注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的把握，引導(dǎo)學(xué)生打好知識基礎(chǔ)，為其后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。教師還要引導(dǎo)學(xué)生適時回顧和復(fù)習(xí)所學(xué)知識，讓學(xué)生在回顧過程中加深對基礎(chǔ)知識的理解，為后續(xù)的題目解答做好知識鋪墊。

（二）學(xué)會舉一反三，化繁為簡

掌握數(shù)學(xué)解題技巧能夠幫助學(xué)生提高解題能力和解題效率。在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會舉一反三，化繁為簡，從不同角度思考問題。對于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為簡單的問題再進(jìn)行解答，幫助學(xué)生更好地掌握知識點(diǎn)，提高解題能力。例如，在講解“立體幾何”的相關(guān)知識點(diǎn)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形再進(jìn)行分析，從而解決相關(guān)的難題。

（三）做題時要細(xì)心，避免馬虎

數(shù)學(xué)在生活中無處不在，其重要性不言而喻。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是關(guān)鍵所在。如果學(xué)生在做題時不能做到細(xì)心和耐心，很容易導(dǎo)致題目理解錯誤或者計(jì)算錯誤，這些都會影響學(xué)生的解題效率和學(xué)習(xí)效率。因此，教師要重視學(xué)生的做題態(tài)度，讓學(xué)生在做題時養(yǎng)成細(xì)心檢查的習(xí)慣。

（四）反復(fù)練習(xí)，提高效率

解題技巧是在分析題目和不斷練習(xí)的基礎(chǔ)上總結(jié)而成的，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況，正確合理運(yùn)用解題技巧，并讓學(xué)生通過反復(fù)練習(xí)不斷提高自身的解題能力和學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

結(jié)語

在新課改背景下，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難度變大，教師在教學(xué)過程中要注重教授解題技巧，幫助學(xué)生掌握更多解題技巧，并向?qū)W生強(qiáng)調(diào)在解題時的注意事項(xiàng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。此外，教師還要加強(qiáng)對學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，鼓勵學(xué)生多做一些具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)題目，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，使學(xué)生積極主動地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)能力，形成科學(xué)的思維方式。

（作者單位：甘肅省武山縣第三高級中學(xué)）